Yleistetty hetkien menetelmä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 5. maaliskuuta 2017 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Momenttien yleinen menetelmä ( GMM ; englanniksi GMM-Generalized Method of Moments ) on matemaattisessa tilastossa ja ekonometriassa käytetty menetelmä jakaumien ja ekonometristen mallien tuntemattomien parametrien estimoimiseksi, joka on klassisen momenttimenetelmän yleistys . Hansen ehdotti menetelmää vuonna 1982. Toisin kuin klassisessa momenttimenetelmässä, rajoitusten määrä voi olla suurempi kuin arvioitujen parametrien määrä.

Metodin olemus

Olkoon satunnaisvektorin x jakauma riippuvainen jostain tuntemattomien parametrien vektorista b (parametrien lukumäärä on k ). Olkoon myös joitain funktioita g(x, b) (niiden lukumäärä q ei ole pienempi kuin arvioitujen parametrien lukumäärä), joita kutsutaan momenttifunktioiksi (tai yksinkertaisesti momenteiksi ), joiden osalta teoreettisista tarkasteluista oletetaan, että

$m(b)=E[g(x,b)]=0.$

Momenttimenetelmän perusideana on käyttää hetkiolosuhteissa matemaattisten odotusten sijaan niiden näyteanalogeja - näytevälineitä

${\hat {m}}(b)=\overline {g(x,b)},$

joiden on suurten lukujen lain mukaan riittävän heikoissa olosuhteissa lähennettävä asymptoottisesti matemaattisiin odotuksiin. Koska momenttien ehtojen määrä yleisessä tapauksessa on suurempi kuin arvioitujen parametrien lukumäärä, tällä rajoitusjärjestelmällä ei ole ainutlaatuista ratkaisua.

Momenttien yleinen menetelmä (GMM) on arvio, joka minimoi positiivisen määrätyn neliömuodon näyteolosuhteista momenteihin, joissa käytetään näytekeskuksia matemaattisten odotusten sijaan:

${\hat {b}}_{{GMM}}=\arg \min _{{b}}{\hat {m}}(b)^{T}W{\hat {m}}(b),$

missä W on jokin symmetrinen positiivinen määrätty matriisi.

Painomatriisi voi olla mielivaltainen (ottaen huomioon positiivisen määrityksen), mutta se on todistettu että tehokkaimpia ovat GMM - estimaatit , joiden painomatriisi on yhtä suuri kuin momenttifunktioiden käänteinen kovarianssimatriisi . Tämä on niin kutsuttu tehokas GMM . $W=V_{g}^{{-1}}$

Koska tätä kovarianssimatriisia ei kuitenkaan tunneta käytännössä, käytetään kaksivaiheista menettelyä ( kaksivaiheinen GMM - Hansen, 1982):

Vaihe 1. Mallin parametrit arvioidaan käyttämällä GMM:ää yksikköpainomatriisin kanssa.

Vaihe 2. Ensimmäisessä vaiheessa löydettyjen näytetietojen ja parametriarvojen perusteella momenttifunktioiden kovarianssimatriisi estimoidaan ja tuloksena saatua estimaattia käytetään tehollisessa GMM:ssä. ${\hat {V}}_{g}=\overline {g(x,{\hat {b}})g(x,{\hat {b}})^{T}}$

Tätä kaksivaiheista menettelyä voidaan jatkaa ( iteratiivinen GMM ): käyttämällä malliparametrien arvioita toisessa vaiheessa hetken kovarianssimatriisi estimoi- daan uudelleen ja tehollista GMM:ää sovelletaan uudelleen jne. iteratiivisesti, kunnes vaadittu tarkkuus saavutetaan.

On myös mahdollista lähestyä tavoitefunktion numeerista minimointia tuntemattomien parametrien suhteen . Siten sekä parametrit että kovarianssimatriisi arvioidaan samanaikaisesti. Tämä on niin kutsuttu jatkuvasti päivitetty GMM (Hansen, Heaton, Yaron, 1996). ${\hattu {m}}^{T}(b){\hattu {V}}_{g}^{{-1}}(b){\hattu {m}}(b)$ $b$

Method Properties

Momenttien yleistetyn menetelmän estimaatit riittävän heikoissa olosuhteissa ovat johdonmukaisia, asymptoottisesti normaaleja ja tehokkaan GMM:n estimaatit ovat myös asymptoottisesti tehokkaita. Sen voi osoittaa

{\sqrt {n}}({\hat b}_{{GMM}}-b){\xrightarrow {d}}N(0,V_{{b}}).

Yleisesti

$V_{{b}}=(G^{T}WG)^{{-1}}G^{T}WV_{g}WG(G^{T}WG)^{{-1}}$

missä G on g:n ensimmäisten derivaattojen matriisin odotus parametrien suhteen. Tehokkaan GMM:n tapauksessa kovarianssimatriisin kaava on huomattavasti yksinkertaistettu:

$V_{b}=G^{T}V_{g}^{{-1}}G.$

J-testi

GMM:ää käytettäessä tärkeä testi on over-identifiointirajoitukset (J-testi) . Nollahypoteesi on, että momenttien ehdot (rajoitukset) ovat voimassa (eli mallin oletukset ovat oikein). Vaihtoehtona on, että he ovat väärässä.

Testitilasto on yhtä suuri kuin GMM-tavoitteen funktion arvo kerrottuna havaintojen määrällä. Nollahypoteesilla

$J=n{\hattu {m}}^{T}({\hattu {b}}){\hattu {V}}_{g}^{{-1}}{\hattu {m}}({ \hat {b))))~{\xrightarrow {d}}~\chi ^{2}(qk).$

Näin ollen, jos tilastoarvot ovat suuremmat kuin jakauman kriittinen arvo tietyllä merkitsevyystasolla , rajoitukset hylätään (malli on riittämätön), muuten malli tunnustetaan riittäväksi. $\chi ^{2}(qk)$

Katso myös

Kirjallisuus

Magnus Ya.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A. Ekonometria. Alkukurssi. - M . : Delo, 2007. - 504 s. - ISBN 978-5-7749-0473-0 .