Yleistetty potentiaali

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 1. huhtikuuta 2017 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Yleistetty potentiaali - klassisen mekaniikan käsite , jota käytetään yleistetyistä nopeuksista riippuvien yleistettyjen voimien kätevään laskemiseen [1] .

Sanamuoto

Tarkastellaan mekaanista järjestelmää, jossa on vapausasteita, kineettistä energiaa ja yleisiä voimia . Täällä kaikkialla . Tarkastellaan potentiaalienergian lauseketta funktion muodossa . Edellytämme, että Lagrange-yhtälöt $s$ $T$ ${\displaystyle Q_{m))$ $m=1,2,...,s$ $V=V(q_{1},q_{2},...,q_{s},{\piste {q}}_{1},{\piste {q}}_{2}, ...,{\piste {q}}_{s},t)$

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\partial T}{\osittainen q_{m}}}=Q_{m}$ ,

näytti

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\partial L}{\osittainen q_{m))}=0$ , missä , on yleinen potentiaali. $L=TV$ $V$

Yleistetty potentiaali on funktio , joka täyttää yhtälön $V$

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\partial V}{\osittainen q_{m}}}=Q_{m}$ ,

Selvitetään funktion riippuvuus yleistetyistä nopeuksista. $V$

$Q_{m}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{ \frac {\partial V}{\partial q_{m))}=\sum _{\mu =1}^{s}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial {\dot {q }}_{m}\osittais {\piste {q}}_{\mu }}}{\ddot {q}}_{\mu }+\sum _{\mu =1}^{s}{\ frac {\partial ^{2}V}{\partial {\dot {q}}_{m}\partial q_{\mu }}}{\dot {q}}_{\mu }+{\frac { \partial ^{2}V}{\osittinen {\piste {q}}_{m}\partial t}}-{\frac {\partial V}{\partial q_{m}}}$

Koska yleistyneet voimat eivät eksplisiittisesti riipu yleistetyistä kiihtyvyydestä, yleistetty potentiaali voi olla vain yleistettyjen nopeuksien lineaarinen funktio:

${\displaystyle V=\Pi (q_{m},t)+\sum _{\mu =1}^{s}\Pi _{\mu }(q_{m},t){\piste {q} }_{\mu ))$

Edelleen:

$Q_{m}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{ \frac {\partial V}{\partial q_{m))}={\frac {d\Pi _{m)){dt))-{\frac {\partial }{\partial q_{m))} \left[\sum _{\mu =1}^{s}\Pi _{\mu }{\piste {q))_{\mu }+\Pi \right]=\sum _{\mu =1 }^{s}{\frac {\partial \Pi _{m}}{\partial q_{\mu }}}{\dot {q}}_{\mu }+{\frac {\partial \Pi _ {m)){\osittinen t))-\sum _{\mu =1}^{s}{\frac {\partial \Pi _{\mu )){\osittinen q_{m))}{\piste {q))_{\mu }-{\frac {\partial \Pi }{\partial q_{m))}=-{\frac {\partial \Pi }{\partial q_{m))}+\ summa _{\mu =1}^{s}\left({\frac {\partial \Pi _{m)){\partial q_{\mu ))}-{\frac {\partial \Pi _{\ mu )){\partial q_{m))}\right)+{\frac {\partial \Pi _{m)){\partial t))$ .

Tällä tavalla:

$Q_{m}=-{\frac {\partial \Pi }{\partial q_{m))}+\sum _{\mu =1}^{s}\gamma _{m\mu }{ \piste {q}}_{\mu }+{\frac {\partial \Pi _{m}}{\partial t}}$ , missä ${\displaystyle \gamma _{m\mu }={\frac {\partial \Pi _{m)){\partial q_{\mu ))}-{\frac {\partial \Pi _{\mu )) {\osittainen q_{m))))$

Jos funktiot eivät ole eksplisiittisesti riippuvaisia ajasta, niin yleiset voimat koostuvat potentiaalivoimista ja gyroskooppisista voimista . [2] ${\displaystyle \Pi _{m))$ ${\displaystyle -{\frac {\partial \Pi }{\partial q_{m))))$ $\sum _{\mu =1}^{s}\gamma _{m\mu }{\dot {q}}_{\mu }$

Esimerkki

Tarkastellaan Lorentzin voimaa , joka vaikuttaa pistesähkövaraukseen sähkömagneettisessa kentässä: , missä on sähkövaraus, on varausnopeus, on sähkökentän voimakkuus, on magneettikentän induktio, on valon nopeus. Lorentzin voiman yleistetty potentiaali voidaan esittää kaavalla: , missä on skalaaripotentiaali , on vektoripotentiaali [3] [4] $F=e\left[E+{\frac {v}{c}}\times B\right]$ $e$ $v$ $E$ $B$ $c$ $V=e\phi -{\frac {e}{c}}vA=e\phi -{\frac {e}{c}}\left({\piste {x}}A_{x}+ {\piste {y}}A_{y}+{\piste {z}}A_{z}\oikea)$ $\phi$ $A$

Muistiinpanot

↑ Butenin, 1971 , s. 115.
↑ Butenin, 1971 , s. 117.
↑ Butenin, 1971 , s. 118.
↑ L. D. Landau E. M. Livshits Kenttäteoria, Fizmatgiz, 1962

Kirjallisuus

Butenin N.V. Johdatus analyyttiseen mekaniikkaan. - M .: Nauka, 1971. - 264 s.