Yksiulotteinen stationaarinen Schrödingerin yhtälö

Yksiulotteinen stationaarinen Schrödingerin yhtälö on muotoa toisen asteen lineaarinen tavallinen differentiaaliyhtälö

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+U(x)\psi ( x)=E\psi (x),\qquad (1)

missä on Planckin vakio , on hiukkasen massa, on potentiaalienergia, on kokonaisenergia, on aaltofunktio . Ratkaisun löytämisen ongelman täydellisen lausunnon saamiseksi on myös tarpeen asettaa rajaehdot , jotka esitetään yleisessä muodossa välille $\hbar$ $m$ $U(x)$ $E$ $\psi(x)$ ${\näyttötyyli (1)}$ $[a,b]$

\alpha _{1}\psi (a)+\beta _{1}{\frac {d\psi (a)}{dx))=\gamma _{1},\qquad (2)

\alpha _{2}\psi (b)+\beta _{2}{\frac {d\psi (b)}{dx))=\gamma _{2},\qquad (3)

missä ovat vakiot. Kvanttimekaniikka käsittelee yhtälön ratkaisuja reunaehdoilla ja . ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\beta _{1},\beta _{2},\gamma _{1},\gamma _{2))$ ${\näyttötyyli (1)}$ ${\näyttötyyli (2)}$ ${\näyttötyyli (3)}$

Yleiset ominaisuudet

Fyysisen merkityksen perusteella aaltofunktion tulee olla yksiarvoinen ja jatkuva koordinaattiensa funktio. Normalisointiehto tulee tulkitsemalla aaltofunktion neliö todennäköisyydeksi .

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }|\psi (x)|^{2}dx=1.\qquad (0a)

Tästä seuraa erityisesti, että aaltofunktion täytyy vaimentua riittävän nopeasti x:n funktiona. Yksiulotteisessa tapauksessa, jos aaltofunktio on kohdassa , niin eksponentti lausekkeen mukaisesti ${\displaystyle \psi (x)\sim 1/x^{\alpha ))$ $x\longrightarrow +\infty$

\int ^{+\infty }|\psi (x)|^{2}dx=\int ^{+\infty }1/x^{2\alpha }dx=1/x^{2\ alfa -1}\mid ^{+\infty }\longrightarrow 0,\qquad (0b)

täytyy tyydyttää eriarvoisuus $\alpha >1/2.$

Yhtälön integrointi pisteen a pieneen ympäristöön antaa lisäehtoja aaltofunktion derivaatalle ${\näyttötyyli (1)}$

\int _{a-\varepsilon }^{a+\varepsilon }{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2))}dx={\frac {2m}{ \hbar ^{2}}}\int _{a-\varepsilon }^{a+\varepsilon }(U(x)-E)\psi (x)dx,\qquad (0c)

josta se seuraa rajassa $\varepsilon \longrightarrow 0$

\left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\right|_{a+0}-\left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\ oikea|_{a-0}=0,\qquad(0d)

jos potentiaalienergialla on ensimmäisen tyyppisiä epäjatkuvuuksia (äärellisiä hyppyjä) pisteessä a. Jos pisteessä a on toisen tyyppinen epäjatkuvuus , esimerkiksi potentiaalienergia kuvataan deltafunktiolla ( ), niin ehto saa muotoa $U(x)=-G\delta(xa)$ $(0c)$

\left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\right|_{a+0}-\left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\ oikea|_{a-0}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(-G)\psi (a).\qquad (0e)

Jos energiaspektri ei ole rappeutunut, on vain yksi aaltofunktio, joka on ratkaisu Schrödingerin yhtälöön tietylle energialle, ja se on määritelty vaiheeseen asti. Siinä tapauksessa, että potentiaali on symmetrinen, aaltofunktiot ovat joko parillisia tai parittomia ja aaltofunktioiden pariteetti vaihtuu.

Tarkat analyyttiset ratkaisut

Yleisessä muodossa yhtälölle ei ole ratkaisua , rajaehdoilla ja , mutta tietyllä potentiaalienergian valinnalla voidaan löytää tarkkoja ratkaisuja. Niillä on tärkeä rooli yhtälön analyyttisten likimääräisten ratkaisujen rakentamisessa . ${\näyttötyyli (1)}$ ${\näyttötyyli (2)}$ ${\näyttötyyli (3)}$ ${\näyttötyyli (1)}$

Ratkaisu vapaalle hiukkaselle on tasoaalto

Vapaassa tilassa, jossa ei ole potentiaalia, yhtälö saa erityisen yksinkertaisen muodon ${\näyttötyyli (1)}$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}=E\psi (x). \qquad(4)

Tämän yhtälön ratkaisu on tasoaaltojen superpositio

\psi (x)=C_{1}e^{i{\sqrt {2mE}}x/\hbar }+C_{2}e^{-i{\sqrt {2mE}}x/\hbar }.\qquad(5)

Tässä energia voi ottaa kaikki nollan yläpuolella olevat arvot, joten ominaisarvon sanotaan kuuluvan jatkuvaan spektriin . Vakiot ja määritetään normalisointiehdosta . $E$ $C_{1}$ $C_{2}$

Ratkaisu hiukkaselle yksiulotteisessa potentiaalikaivossa, jossa on äärettömän korkeat seinät

Jos hiukkanen sijoitetaan potentiaalikuoppaan, jatkuva energiaspektri muuttuu diskreetiksi . Potentiaalisen energian yhtälölle , joka on nolla välissä ja muuttuu äärettömäksi kohdissa ja . Tällä aikavälillä Schrödingerin yhtälö osuu yhteen kanssa . Aaltofunktion rajaehdot kirjoitetaan muotoon ${\näyttötyyli (1)}$ $U(x)$ $(0,a)$ $0$ $a$ ${\näyttötyyli (4)}$ ${\näyttötyyli (2)}$ ${\näyttötyyli (3)}$

\psi (0)=0,\qquad (6)

\psi (a)=0.\qquad (7)

Ratkaisuja etsitään lomakkeesta . Rajaehdot huomioon ottaen saadaan energian ominaisarvot ${\displaystyle A\sin {({\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}x+\delta )))$ $E_{n}$

E_{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}n^{2}\qquad (8)

ja ominaisfunktiot, ottaen huomioon normalisoinnin

\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{a}}}\sin {{\frac {\pi n}{a}}x}.\qquad (9)

Numeeriset ratkaisut

Yhtälön jokseenkin monimutkainen potentiaali ei enää mahdollista analyyttisen ratkaisun löytämistä (tai pikemminkin tämä ratkaisu löytyy vain ongelmalle, jossa yksi hiukkanen liikkuu toisen kentässä), ja siksi joudutaan käyttämään numeerisia menetelmiä. Schrödingerin yhtälö. Yksi yksinkertaisimmista ja saavutettavimmista näistä on äärellisen eron menetelmä , jossa yhtälö korvataan äärellisellä differentiaalisella yhtälöllä valitussa ruudukossa , jonka pisteissä on solmuja , eli korvaamalla toinen derivaatta kaavalla ${\näyttötyyli (1)}$ ${\näyttötyyli (1)}$ $x_{n}$

{\frac {d^{2}y(x)}{dx^{2}}}={\frac {y_{n-1}-2y_{n}+y_{n+1}}{ h^{2}}},\qquad(10)

missä on diskretisointivaihe , on ruudukon solmun numero, saamme $h$ $n$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {y_{n-1}-2y_{n}+y_{n+1}}{h^{2}}} +U_{n}y_{n}=Ey_{n},\qquad(11)

missä on potentiaalienergian arvo verkon solmuissa. Olkoon jokin ominaismittakaava potentiaalille, niin yhtälö voidaan kirjoittaa dimensioimattomaan muotoon $U_{n}$ $U(x)$ $a$ ${\näyttötyyli (11)}$

-y_{n-1}+(2+h^{2}{\frac {2ma^{2}U_{n}}{\hbar ^{2}}})y_{n}-y_{ n+1}=h^{2}{\frac {2ma^{2}E}{\hbar ^{2}}}y_{n}.\qquad (12)

Jos merkitsemme potentiaalienergian ja ominaisarvojen dimensiottomat arvot, yhtälö yksinkertaistuu $v_{n}={\frac {2ma^{2}U_{n}}{\hbar ^{2}}}$ ${\displaystyle e=h^{2}{\frac {2ma^{2}E}{\hbar ^{2))))$ ${\näyttötyyli (12)}$

-y_{n-1}+(2+h^{2}v_{n}-e)y_{n}-y_{n+1}=0.\qquad (13)

Viimeinen lauseke tulee ymmärtää yhtälöjärjestelmänä kaikille mahdollisille indekseille . $n$

Kirjallisuus

Boum A. Kvanttimekaniikka: perusteet ja sovellukset. M. Mir, 1990. - 720-luvut. ISBN 5-03-001311-3
Berezin F. A., Shubin M. A. Schrödingerin yhtälö. Moskovan valtionyliopiston kustantamo, 1983.
Kalitkin N. N. Numeeriset menetelmät. M., Nauka, 1978.

Katso myös

Kuoppa loputtomilla seinillä

Kvanttimekaniikan mallit
Yksiulotteinen ilman pyöritystä	vapaa hiukkanen Kuoppa loputtomilla seinillä Suorakulmainen kvanttikuivo deltapotentiaalia Kolmiomainen kvanttikuivo Harmoninen oskillaattori Mahdollinen ponnahduslauta Pöschl-Teller potentiaali hyvin Muokattu Pöschl-Teller-potentiaalikaivo Partikkeli jaksollisessa potentiaalissa Dirac-potentiaalikampa Partikkeli renkaassa
Moniulotteinen ilman spiniä	pyöreä oskillaattori Vetymolekyyli-ioni Symmetrinen toppi Pallosymmetriset potentiaalit Woods-Saxon potentiaalia Keplerin ongelma Yukawan potentiaali Morsen potentiaalia Hulthen potentiaalia Kratzerin molekyylipotentiaali Eksponentiaalinen potentiaali
Mukaan lukien spin	vetyatomi Hydridi-ioni helium atomi