Kvanttikaivo äärettömillä seinillä

Kvanttikaivo, jossa on äärettömät seinät (Infinite rectangular potencial well) - avaruuden alue, jonka koko on luokkaa kyseisen hiukkasen de Broglien aallonpituutta (ainakin yhteen suuntaan), jonka ulkopuolella potentiaalienergia on ääretön. Joskus tätä aluetta kutsutaan "laatikoksi" ( eng. hiukkanen laatikossa ). $U$

Hiukkasen käyttäytymisen pääpiirteiden havainnollistamiseksi kaivossa sellaiset potentiaalienergiaprofiilit ovat käteviä, joissa liike tapahtuu itsenäisesti kolmea suorakulmaista koordinaattia pitkin ja Schrödingerin yhtälön muuttujat erotetaan toisistaan . Usein suorakaiteen muotoinen alue analysoidaan kaikissa ulottuvuuksissa (suorakulmainen "laatikko"), ja siinä olevan potentiaalienergian oletetaan olevan nolla.

Voidaan harkita järjestelmiä, joissa hiukkasten liike on rajoitettu yhtä koordinaattia pitkin ( itse kaivo ), kahta koordinaattia pitkin ( kvanttilanka ) tai kolmea koordinaattia pitkin ( kvanttipiste ). Yhtä koordinaattia pitkin rajoitettuna "laatikko" on taso-rinnakkaiskerros, ja äärettömyyden inversio heijastuu matemaattisesti reunaehtoihin olettaen, että aaltofunktiot ovat yhtä suuret kuin nolla vastaavan segmentin päissä. Kun rajoituksia on useita koordinaatteja, Dirichlet-rajaehdot asetetaan rajoihin. $U$

Yksiulotteinen potentiaalikaivo äärettömillä seinillä

Yksiulotteisen potentiaalikaivon potentiaalilla, jolla on äärettömät seinät, on muoto

U(x)={\begin{cases}0,&x\in (-{\frac {a}{2)),{\frac {a}{2))),\\\infty ,&x \notin (-{\frac {a}{2}},{\frac {a}{2}})\end{cases}}

Kiinteä Schrödingerin yhtälö välissä $\left(-{\frac {a}{2}},{\frac {a}{2}}\oikea)$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)=E\Psi (x).

Kun merkintä on annettu , se on muodossa: ${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2))))$

\Psi ''(x)+k^{2}\Psi (x)=0.

On kätevää esittää yleinen ratkaisu parillisten ja parittomien funktioiden lineaarisena välinä:

\Psi (x)=C^{+}\cos kx+C^{-}\sin kx.

Raja-arvoilla on muoto:

\Psi \left(-{\frac {a}{2}}\right)=\Psi \left({\frac {a}{2}}\right)=0.

Ne johtavat homogeeniseen lineaariseen yhtälöjärjestelmään:

{\begin{cases}C^{+}\cos {\frac {ka}{2}}+C^{-}\sin {\frac {ka}{2}}=0,\\C ^{+}\cos {\frac {ka}{2}}-C^{-}\sin {\frac {ka}{2}}=0,\end{cases}}

jolla on ei-triviaaleja ratkaisuja edellyttäen, että sen determinantti on nolla :

-2\cos {\frac {ka}{2}}\sin {\frac {ka}{2}}=0,

joka trigonometristen muunnosten jälkeen saa muodon:

\sinka=0.

Tämän yhtälön juuret ovat

k_{n}={\frac {\pi n}{a)),\qquad n\in \mathbb {Z} _{+}.

Korvaamalla järjestelmän, meillä on:

C_{n}^{-}=0,\qquad n=2n_{0}+1,\qquad n_{0}\in \mathbb {Z} _{+},

C_{n}^{+}=0,\qquad n=2n_{0},\qquad n_{0}\in \mathbb {Z} _{+}.

Siten ratkaisut jakautuvat kahteen sarjaan - parillisiin ja parittoihin:

\Psi _{n_{0}}^{+}(x)=C_{2n_{0}+1}^{+}\cos {\frac {(2n_{0}+1)\pi x }{a}},\qquad n_{0}\in \mathbb {Z} _{+},

\Psi _{n_{0}}^{-}(x)=C_{2n_{0}}^{-}\sin {\frac {2n_{0}\pi x}{a}}, \qquad n_{0}\in \mathbb {Z} _{+}.

Se, että ratkaisut jaetaan parillisiin ja parittoihin, johtuu siitä, että potentiaali itsessään on parillinen funktio. Normalisointi huomioiden

\int \limits _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}\left(\Psi _{n_{0}}^{\pm }( x)\oikea)^{2}dx=1,

saamme normalisointitekijöiden eksplisiittisen muodon:

C_{2n_{0}+1}^{+}=C_{2n_{0}}^{-}={\sqrt {\frac {2}{a}}}.

Tuloksena saadaan Hamiltonin ominaisfunktiot :

\Psi _{n_{0}}^{+}(x)={\sqrt {\frac {2}{a}}}\cos {\frac {(2n_{0}+1)\pi x}{a}},\qquad n_{0}\in \mathbb {Z} _{+},

\Psi _{n_{0}}^{-}(x)={\sqrt {\frac {2}{a}}}\sin {\frac {2n_{0}\pi x}{a }},\qquad n_{0}\in \mathbb {Z} _{+},

vastaavalla energiaspektrillä:

E_{n_{0}}^{+}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}(2n_{0}+1)^{2}}{2ma^{2} }}

E_{n_{0}}^{-}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}(2n_{0})^{2}}{2ma^{2}}}

Kirjallisuus

Bohm D. Kvanttiteoria. - Tiede, fysiikan ja matemaattisen kirjallisuuden pääpainos, 1965.
Flygge Z. Kvanttimekaniikan ongelmat. - Kustantaja LKI, 2008. - T. 1.

Kvanttimekaniikan mallit
Yksiulotteinen ilman pyöritystä	vapaa hiukkanen Kuoppa loputtomilla seinillä Suorakulmainen kvanttikuivo deltapotentiaalia Kolmiomainen kvanttikuivo Harmoninen oskillaattori Mahdollinen ponnahduslauta Pöschl-Teller potentiaali hyvin Muokattu Pöschl-Teller-potentiaalikaivo Partikkeli jaksollisessa potentiaalissa Dirac-potentiaalikampa Partikkeli renkaassa
Moniulotteinen ilman spiniä	pyöreä oskillaattori Vetymolekyyli-ioni Symmetrinen toppi Pallosymmetriset potentiaalit Woods-Saxon potentiaalia Keplerin ongelma Yukawan potentiaali Morsen potentiaalia Hulthen potentiaalia Kratzerin molekyylipotentiaali Eksponentiaalinen potentiaali
Mukaan lukien spin	vetyatomi Hydridi-ioni helium atomi