Rayleighin suhde

Matematiikassa annetulle kompleksiselle Hermitian matriisille ja nollasta poikkeavalle vektorille Rayleigh-relaatio [1] määritellään seuraavasti [2] [3] : $M$ $x$ $R(M,x)$

R(M,x)={x^{{*}}Mx \yli x^{{*}}x}.

Reaalimatriiseilla ehto matriisin olevan hermiittinen pelkistetään sen symmetriaksi ja vektorien hermiittinen konjugaatio muuttuu tavalliseksi transpositioksi . Huomaa, että mille tahansa todelliselle vakiolle . Muista, että hermiitisellä (samoin kuin symmetrisellä todellisella) matriisilla on todellisia ominaisarvoja . Voidaan osoittaa, että matriisilla Rayleigh-suhde saavuttaa minimiarvonsa (matriisin pienin ominaisarvo ), kun se on yhtä suuri kuin (vastaava ominaisvektori). Samalla tavalla voidaan osoittaa, että ja . Rayleigh-relaatiota käytetään Courant-Fisherin minimax-lauseessa $x^{{*}}$ $x'$ $R(M,cx)=R(M,x)$ $c\neq 0$ $\lambda _{\min }$ $M$ $x$ $v_{\min }$ $R(M,x)\leq \lambda _{\max}$ $R(M,v_{\max })=\lambda _{\max}$ saadaksesi kaikki ominaisarvojen arvot [4] . Sitä käytetään myös algoritmeissa matriisin ominaisarvojen löytämiseksi ominaisarvon likiarvon saamiseksi ominaisvektorin approksimaatiosta. Relaatio on nimittäin perusta iteraatioille Rayleigh-relaatiolla [5] [6] .

Rayleigh-relaation arvojoukkoa kutsutaan matriisin numeeriseksi kuvaksi [7] [8] .

Kovarianssimatriisien erikoistapaus

Kovarianssimatriisi M monimuuttujatilastollisen näytteen A (havaintojen matriisi) osalta voidaan esittää tulona A' A [9] [10] . Koska M on symmetrinen reaalimatriisi, sillä on ei-negatiiviset ominaisarvot ja ortogonaaliset (tai ortogonaalisiksi pelkistävissä olevat) ominaisvektorit.

Ensinnäkin, että ominaisarvot eivät ole negatiivisia: $\lambda _{i}$

Mv_{i}=A'Av_{i}=\lambda _{i}v_{i}

\Rightarrow v_{i}'A'Av_{i}=v_{i}'\lambda _{i}v_{i}

\Rightarrow \left\|Av_{i}\right\|^{2}=\lambda _{i}\left\|v_{i}\right\|^{2}

\Rightarrow \lambda _{i}={\frac {\left\|Av_{i}\right\|^{2}}{\left\|v_{i}\right\|^{2}}}\ geq 0.

Ja toiseksi, että ominaisvektorit ovat ortogonaalisia toisiinsa nähden: $v_{i}$

Mv_{i}=\lambda _{i}v_{i}

\Rightarrow v_{j}'Mv_{i}=\lambda _{i}v_{j}'v_{i}

\Rightarrow (Mv_{j})'v_{i}=\lambda _{i}v_{j}'v_{i}

\Rightarrow \lambda _{j}v_{j}'v_{i}=\lambda _{i}v_{j}'v_{i}

\Rightarrow (\lambda _{j}-\lambda _{i})v_{j}'v_{i}=0

\Rightarrow v_{j}'v_{i}=0

(jos ominaisarvot ovat erilaisia - samojen arvojen tapauksessa voit löytää ortogonaalisen perustan).

Osoitetaan nyt, että Rayleigh-suhde saa maksimiarvon vektorissa, joka vastaa suurinta ominaisarvoa. Laajennetaan mielivaltaista vektoria ominaisvektorien v i kantan suhteen : $x$

x=\sum _{{i=1}}^{n}\alpha _{i}v_{i}

, missä on x:n projektio

\alpha _{i}={\frac {x'v_{i}}{v_{i}'v_{i}}}={\frac {\langle x,v_{i}\rangle }{\left\ |v_{i}\right\|^{2}}}

v_{i}

Siis tasa-arvoa

R(M,x)={\frac {x'A'Ax}{x'x}}

voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavaan muotoon:

R(M,x)={\frac {(\sum _{{j=1}}^{n}\alpha _{j}v_{j})'A'A(\sum _{{i=1 }}^{n}\alpha _{i}v_{i})}{(\sum _{{j=1}}^{n}\alpha _{j}v_{j})'(\sum _ {{i=1}}^{n}\alpha _{i}v_{i})}}

Koska ominaisvektorit ovat ortogonaalisia, viimeinen yhtälö tulee

R(M,x)={\frac {\sum _{{i=1}}^{n}\alpha _{i}^{2}\lambda _{i}}{\sum _{{i= 1}}^{n}\alpha _{i}^{2}}}=\sum _{{i=1}}^{n}\lambda _{i}{\frac {(x'v_{i })^{2}}{(x'x)(v_{i}'v_{i})}}

Viimeinen yhtälö osoittaa, että Rayleigh-suhde on vektorin ja kunkin ominaisvektorin välisten kulmien neliöllisten kosinien summa kerrottuna vastaavalla ominaisarvolla. $x$ $v_{i}$

Jos vektori maksimoi , niin kaikki skalaarilla kertomisesta saadut vektorit ( for ) maksimoivat myös R : n . Siten ongelma voidaan pelkistää maksimin löytämiseen ehdolla . $x$ $R(M,x)$ $x$ $kx$ $k\neq 0$ $\sum _{{i=1}}^{n}\alpha _{i}^{2}\lambda _{i}$ $\sum _{{i=1}}^{n}\alpha _{i}^{2}=1$

Koska kaikki ominaisarvot ovat ei-negatiivisia, ongelma rajoittuu konveksin funktion maksimin löytämiseen , ja voidaan osoittaa, että se saavutetaan kohdassa ja (ominaisarvot lajitellaan laskevassa järjestyksessä). $\alpha _{1}=1$ $\forall i>1,\alpha _{i}=0$

Siten Rayleigh-suhde saavuttaa maksiminsa ominaisarvoa vastaavassa ominaisvektorissa.

Sama tulos käyttämällä Lagrange-kertoimia

Sama tulos voidaan saada käyttämällä Lagrangen kertoimia . Ongelmana on löytää funktion kriittiset pisteet

R(M,x)=x^{T}Mx

vakioarvolla Eli sinun on löydettävä funktion kriittiset pisteet $\|x\|^{2}=x^{T}x=1.$

{\mathcal {L}}(x)=x^{T}Mx-\lambda (x^{T}x-1),

missä on Lagrange-kerroin. Funktion paikallaan oleville pisteille tasa-arvo $\lambda$ ${\mathcal {L}}(x)$

{\frac {d{\mathcal {L}}(x)}{dx}}=0

\siis 2x^{T}M^{T}-2\lambda x^{T}=0

\täten Mx=\lambda x

ja $R(M,x)={\frac {x^{T}Mx}{x^{T}x}}=\lambda {\frac {x^{T}x}{x^{T}x}} =\lambda.$

Siten matriisin M ominaisvektorit ovat Rayleigh-relaation kriittisiä pisteitä ja niiden ominaisarvot ovat vastaavia stationaarisia arvoja. $x_{1}\ldots x_{n}$ $\lambda _{1}\ldots \lambda _{n}$

Tämä ominaisuus on pääkomponenttianalyysin ja kanonisen korrelaation perusta .

Käytä Sturm-Liouvillen teoriassa

Sturm-Liouvillen teoria koostuu lineaarisen operaattorin tutkimuksesta

L(y)={\frac {1}{w(x)}}\left(-{\frac {d}{dx}}\left[p(x){\frac {dy}{dx}}\ oikea]+q(x)y\oikea)

pistetuotteella _

\langle {y_{1},y_{2}}\rangle =\int _{a}^{b}w(x)y_{1}(x)y_{2}(x)\,dx

jossa funktiot täyttävät tietyt rajaehdot pisteissä a ja b . Rayleigh-relaatio saa tässä muodon

{\frac {\langle {y,Ly}\rangle }{\langle {y,y}\rangle }}={\frac {\int _{a}^{b}{y(x)\left(- {\frac {d}{dx}}\left[p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y(x)\right)}dx}{\int _{ a}^{b}{w(x)y(x)^{2}}dx}}.

Joskus tämä suhde esitetään vastaavassa muodossa käyttämällä integrointia osilla [11] :

{\frac {\langle {y,Ly}\rangle }{\langle {y,y}\rangle }}={\frac {\int _{a}^{b}{y(x)\left(- {\frac {d}{dx}}\left[p(x)y'(x)\right]\right)}dx+\int _{a}^{b}{q(x)y(x)^ {2}}\,dx}{\int _{a}^{b}{w(x)y(x)^{2}}\,dx}}

={\frac {-y(x)\left[p(x)y'(x)\right]|_{a}^{b}+\int _{a}^{b}{y'(x) )\left[p(x)y'(x)\right]}\,dx+\int _{a}^{b}{q(x)y(x)^{2}}\,dx}{\ int _{a}^{b}{w(x)y(x)^{2}}\,dx}}

={\frac {-p(x)y(x)y'(x)|_{a}^{b}+\int _{a}^{b}\left[p(x)y'(x) )^{2}+q(x)y(x)^{2}\oikea]\,dx}{\int _{a}^{b}{w(x)y(x)^{2)) \,dx}}.

Yleistys

Jokaiselle todellisen symmetrisen positiivisen määrätyn matriisien parille ja nollasta poikkeavalle vektorille yleistetty Rayleigh-relaatio määritellään seuraavasti $(A, B)$ $x$

R(A,B;x):={\frac {x^{T}Ax}{x^{T}Bx}}.

Yleistetty Rayleigh-relaatio voidaan pelkistää Rayleigh-relaatioksi muuntamalla , jossa on Cholesky- matriisin hajoaminen . $R(D,Cx)$ $D={C^{*}}^{{-1}}AC^{{-1}}$ $C$ $B$

Katso myös

Matriisin numeerinen kuva

Muistiinpanot

↑ tunnetaan myös nimellä Rayleigh-Ritz-relaatio , joka on nimetty Walter Ritzin ja Lord Rayleighin mukaan .
↑ Horn, R. A. ja C. A. Johnson. 1985. Matrix Analysis . Cambridge University Press. s. 176-180.
↑ Parlet BN Symmetrinen ominaisarvoongelma , SIAM, Sovellettavan matematiikan klassikot, 1998
↑ Beckenbach, 1965 , §26 Fischerin minimax-lause.
↑ Parlett, 1983 , §4.6 Iteraatiot Rayleigh-relaatiolla, s. 87).
↑ Verbitsky, 2000 , §4.3 Käänteiset iteraatiot, s. 115.
↑ Gevorgyan .
↑ Prasolov, 2008 , 2.2 Ydin ja operaattorin kuva. Factor space., s. 114.
↑ Korshunov, 2008 , Johdanto.
↑ ACTA, 2005 .
↑ Haberman, 1987 .

Kirjallisuus

B. Parlett. Symmetrinen ominaisarvon ongelma. Numeeriset menetelmät. – 1983.
E. Beckenbbach, R. Bellman. Epätasa-arvo. - Moskova "Mir", 1965.
Richard Haberman. Alkeiset sovelletut osittaisdifferentiaaliyhtälöt. - Prentice Hall, Englewood, New Jersey, 1987.
V. M. Verzhbitsky. Numeeriset menetelmät (lineaarinen algebra ja epälineaariset yhtälöt). - Moskovan "Higher School", 2000.
V. V. Prasolov. Lineaarialgebran tehtävät ja lauseet. - Moskova, 2008.
Gevorgyan LZ Joitakin operaattorin numeerisen kuvan geometrisia ominaisuuksia . – Armenian valtion tekniikan yliopisto. Arkistoitu alkuperäisestä 31. elokuuta 2006.
Zdzisław Burda, Jerzy Jurkiewicz, Bartłomiej Wacław. Empiirisen kovarianssimatriisin ominaisarvotiheys korreloiduille näytteille // Acta physica polonica B. - 2005. - Vol. 36 , no. 9 . - S. 2642 .
Korshunov Yu. M. Moniulotteisen tilastollisen näytteen saaminen annetuilla korrelaatioominaisuuksilla Vestnik RGRTU. - 2008. - Ongelma. 23 .
Shi Yu, Léon-Charles Tranchevent, Bart Moor, Yves Moreau. Ch. 2 // Ydinpohjainen datafuusio koneoppimiseen: menetelmät ja sovellukset bioinformatiikan ja tekstinlouhinnan alalla . - Springer, 2011.