Cramerin paradoksi

Cramerin paradoksi tai Euler-Cramerin paradoksi [1] on väite, jonka mukaan kahden korkealuokkaisen käyrän leikkauspisteiden määrä tasossa voi olla suurempi kuin mielivaltaisten pisteiden lukumäärä, joita yleensä tarvitaan kunkin tällaisen käyrän yksilölliseen määrittämiseen. Paradoksi on nimetty genevalaisen matemaatikon Gabriel Cramerin mukaan .

Paradoksi on seurausta kahden lauseen naiivista ymmärtämisestä:

Huomaa, että kaikille , joten näyttää naiivilta, että kolmen ja sitä suuremman potenssin kohdalla voi olla tarpeeksi kahden käyrän leikkauspisteitä molempien käyrien yksilöimiseksi.

Ongelmana on, että joissakin rappeutuneissa tapauksissa n ( n + 3) / 2 pistettä ei riitä määrittelemään yksiselitteisesti käyrää.

Historia

Paradoksin julkaisi ensimmäisenä Maclaurin [2] [3] . Cramer ja Euler keskustelivat paradoksista vuosina 1744-1745 ja Euler selitti ongelman Cramerille [4] . Ongelmaa alettiin kutsua Cramerin paradoksiksi Cramerin vuonna 1750 julkaiseman Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriquesin jälkeen, vaikka Cramer mainitsi Maclaurinin väitteen lähteenä [5] . Samoihin aikoihin Euler julkaisi esimerkkejä siitä, että kuutiokäyrä ei välttämättä ole yksiselitteisesti määritelty 9 pisteellä [4] [6] ja käsitteli ongelmaa kirjassaan Introductio in analysin infinitorum . Tuloksen julkaisi James Stirling ja selitti Julius Plücker [1] .

Ei paradoksia suorille ja rappeutumattomille kartioleikkauksille

Ensimmäisen kertaluvun käyrien (eli suorien viivojen ) kohdalla paradoksi ei näy, koska n \u003d 1, joten n 2 \u003d 1 < n ( n + 3) / 2 \u003d 2. Yleensä kaksi erilaista suorat L 1 ja L 2 leikkaavat yhdessä pisteessä P , ellei suorilla ole sama kaltevuus, jolloin suorat eivät leikkaa ollenkaan. Yksi piste ei riitä suoran yksilöimiseen (tarvitaan kaksi). Ei kaksi, vaan äärettömän monta suoraa kulkee pisteen P läpi.

Samoin kaksi ei-degeneroitunutta kartioleikkausta leikkaa keskenään enintään 4 päätepisteessä, ja 5 pistettä tarvitaan yksiselitteisesti rappeutumattoman käyrän määrittelemiseen.

Cramerin esimerkki kuutiokäyristä

Kirjeessään Eulerille Cramer huomautti, että kuutiokäyrät ja leikkaavat täsmälleen 9 pisteessä (jokainen yhtälö edustaa kolmen yhdensuuntaisen suoran sarjaa ja vastaavasti). Osoittautuu, että nämä 9 pistettä eivät riitä kuutiokäyrän yksilölliseen määritelmään, joten ainakin rappeutuneessa tapauksessa väite pätee.

Muistiinpanot

  1. ↑ 1 2 Weisstein, Eric W. "Cramér-Euler-paradoksi." MathWorldistä - Wolfram-verkkoresurssi. http://mathworld.wolfram.com/Cramer-EulerParadox.html Arkistoitu 3. helmikuuta 2018 Wayback Machinessa
  2. ↑ Maclaurin, 1720 .
  3. ↑ Tweedie, 1891 , s. 87-150.
  4. ↑ 1 2 Struik, 1969 , s. 182.
  5. ↑ Tweedie, 1915 , s. 133-151.
  6. ↑ Euler, 1750 , s. 219-233.

Kirjallisuus

Linkit