Projektio (geometria)

Projektio ( lat. projectio - "heitetty eteenpäin") on:

kolmiulotteisen hahmon kuva ns. kuva (projektio) tasolla tavalla, joka on geometrinen idealisointi optisista mekanismeista visio , valokuvaus , camera obscura . Termi projektio tarkoittaa tässä yhteydessä myös menetelmää tällaisen kuvan muodostamiseksi ja tekniikoita, joihin menetelmä perustuu. Käytetään laajasti suunnittelugrafiikassa , arkkitehtuurissa , maalauksessa ja kartografiassa . Projektion rakentamismenetelmien tutkimus tekniikan tieteenalana käsittelee kuvailevaa geometriaa ;
projisoinnin yleistys sen ensimmäisessä merkityksessä (tarkemmin sanottuna sen lajikkeen yleistys - rinnakkainen projektio ) minkä tahansa ulottuvuuden pisteiden, kuvioiden, avaruuden vektoreiden näyttämiseksi minkä tahansa ulottuvuuden aliavaruuteensa : esimerkiksi pisteiden projektion lisäksi kolmiulotteisen avaruuden pisteistä tasolle, voi olla kolmiulotteisen avaruuden pisteiden projektio suoralle viivalle, tason pisteet suoralle, 7-ulotteisen avaruuden pisteet sen 4-ulotteiseen aliavaruuteen jne. , sekä vektorin projektio mihin tahansa alkuperäisen avaruuden aliavaruuteen, erityisesti suoralle tai vektorin suuntaan ( euklidisen skalaaritulon määritelmä liittyy jälkimmäiseen avaruuteen ). Projektiota voidaan tässä mielessä soveltaa laajasti vektorien suhteen (sekä alkeiskontekstissa että abstraktissa kontekstissa), käytettäessä karteesisia koordinaatteja jne.

Yleinen määritelmä

Avaruuden kuvaamista itseensä kutsutaan projektioksi , jos tämä kuvaus on idempotentti eli sen koostumus itsensä kanssa on yhtä suuri tai kaikille . $P\kaksoispiste A\-A$ $A$ $P\colon$ $P\circ P=P$ $P(P(a))=P(a)$ $a\in A$

Projektio kolmiulotteisesta avaruudesta tasolle

Esineiden kuvaamisen projektiomenetelmä perustuu niiden visuaaliseen esitykseen. Jos yhdistät kaikki kohteen pisteet suorilla viivoilla (projektiosäteet) vakiopisteeseen O (projektiokeskus), jossa oletetaan tarkkailijan silmän , niin näiden säteiden leikkauskohdassa minkä tahansa tason kanssa, projektio kaikista pisteistä esineestä saadaan. Näin saadaan perspektiivikuva tasossa olevasta kohteesta tai keskusprojektio .

Jos projektiokeskus on äärettömän kaukana kuvatasosta, puhutaan yhdensuuntaisesta projektiosta ; lisäksi, jos projektiosäteet putoavat kohtisuoraan tasoon nähden - silloin noin ortogonaalinen projektio , ja jos vinosti - noin vino .

Jos projektiotaso ei ole yhdensuuntainen suorakulmaisen järjestelmän minkään koordinaattitason kanssa , tämä on aksonometrinen projektio .

Kaikissa näissä projektioissa jana siirtyy janaksi (ja rappeutuneessa tapauksessa, kun jana on projektiosäteen päällä, pisteeksi); suorasta viivasta voi tulla suora viiva tai säde. Tämä ominaisuus yksinkertaistaa huomattavasti projektion soveltamista visuaalisiin tarkoituksiin, erityisesti teknisessä piirustuksessa , kun kohde sisältää monia suoraviivaisia elementtejä: riittää, että heijastetaan segmenttien päät ja liitetään ne piirustukseen suorilla viivoilla.
Ellipsi tai ympyrä muuttuu ellipsiksi (rappeutuneessa tapauksessa segmentiksi tai ympyräksi).

Projektio mielivaltaisesta avaruudesta sen aliavaruuteen

Projektiota tässä mielessä (mainittu johdannossa kappaleessa 2) käytetään laajalti lineaarisessa algebrassa (katso lisätietoja: Projektio (lineaarinen algebra) ), mutta käytännössä, ei vain melko abstrakteissa yhteyksissä, vaan myös vektorien kanssa työskennellessä luonteeltaan, mitoiltaan ja abstraktioasteiltaan riippumatta, ja jopa alkeellisgeometriassa, ja myös - erittäin laajasti - käytettäessä suoraviivaisia koordinaatteja (suorakulmaisina tai affiineina ).

Erikseen on mainittava pisteen projektio suoralle ja vektorin projektio suoralle (suuntaan).

Ortogonaalinen projektio suoralle ja suuntaan

Yleisimmin käytetty projektio on ortogonaalinen.

Termiä projektio tässä mielessä käytetään sekä suhteessa itse projektiooperaatioon että suhteessa sen tulokseen (suoralle projisoinnin aikana pisteen, vektorin, pistejoukon kuvia kutsutaan pisteen projektioksi , vektori, pisteiden joukko tälle viivalla).

Alkuperäinen kuvaus pisteen ortogonaalisesta projektiosta suoralle tiivistyy siihen tosiasiaan, että kohtisuora tulee laskea pisteestä suoralle, ja sen leikkaus suoran kanssa antaa kuvan pisteestä (pisteen projektio). tälle linjalle). Tämä määritelmä toimii sekä tasossa että kolmiulotteisessa avaruudessa ja minkä tahansa ulottuvuuden avaruudessa.

Alkuperäinen määritelmä vektorin projektiosta suoralle saadaan helpoimmin esittämällä vektori suunnattuna segmenttinä. Sitten sen alku ja loppu voidaan projisoida suoralle viivalle, ja suunnattu segmentti alkuperäisen vektorin alun projektiosta lopun projektioon antaa projektionsa suoralle viivalle.

Vektorin projektiota tiettyyn suuntaan kutsutaan yleensä luvuksi, joka on absoluuttisesti sama kuin tämän vektorin projektion pituus suoralle, joka määrittää tämän suunnan; luvun etumerkki valitaan siten, että sitä pidetään positiivisena, kun tämän projektion suunta osuu yhteen annetun suunnan kanssa, ja negatiivisena, kun suunta on vastakkainen.

Viimeinen määritelmä on erittäin helppo korvata vastaavalla käyttämällä pistetuloa : jos suunta on annettu yksikkövektorilla e , minkä tahansa vektorin a projektio tähän suuntaan on yhtä suuri kuin pistetulo a•e .
Sama voidaan kirjoittaa uudelleen , missä on vektorin pituus , on vektorin ja sen suunnan välinen kulma , johon projektiota haetaan. $|{\mathbf a}|{\mathrm {cos}}\ \alpha$ $|{\mathbf a}|$ $\mathbf {a}$ $\alpha$ $\mathbf {a}$

Ei-ortogonaalinen projektio viivaan ja suuntaan

Ei-ortogonaalista projektiota käytetään harvemmin, ja jopa käytettäessä, varsinkin alkeellisissa yhteyksissä, termiä ei aina käytetä.

Yksinkertaisin tapa määrittää ei-ortogonaalinen projektio suoralle on määrittää tämä suora ja taso (kaksiulotteisessa tapauksessa toinen suora tason sijaan; n - ulotteisen avaruuden tapauksessa hypertaso mitta ( n -1)) leikkaa suoran. Pisteen projektio määritellään tämän pisteen sisältävän tason (hypertason) leikkauspisteeksi, joka on yhdensuuntainen projektion määrittävän tason kanssa.

Siinä tapauksessa, että projektion määrittelevä taso (hypertaso) on kohtisuorassa suoraa vastaan, saadaan ortogonaalinen projektio (tämä voi olla sen vaihtoehtoinen määritelmä). Siksi varsinaiselle ei-ortogonaaliselle projektiolle on vaadittava, että tämä ortogonaalisuus puuttuu.

Vektorin ei-ortogonaaliselle projektiolle suoralle ja suuntaan määritykset saadaan annetusta pisteen projektion määritelmästä samalla tavalla kuin kuvattiin ortogonaalista projektiota käsittelevässä kappaleessa.

On totta, että on muistettava, että oletusarvoisesti vektorin projektio suoralle tai suunnalle ymmärretään edelleen ortogonaaliksi projektioksi.

Siitä huolimatta ei-ortogonaalisen projektion käsite voi olla hyödyllinen (ainakin jos et pelkää terminologista sekaannusta) vinojen koordinaattien käyttöönotossa ja niiden kanssa työskentelyssä (niiden kautta periaatteessa tässä tapauksessa pistekoordinaattien ja vektorin koordinaattien käsite voidaan määritellä melko helposti).

Pisteen projektio joukkoon

Pisteen v projektio kuperaan joukkoon X on joukon X piste siten , että [1] $p=p(v)$

\|pv\|=\inf _{x\in X}\|xv\|

Katso myös

Projektori (matematiikka)

Muistiinpanot

↑ Bazaraa, Sherali, Shetty, 2006 , kaava 8.72, s. 435.

Kirjallisuus

Mokhtar S. Bazaraa, Hanif D. Sherali, C. V. Shetty. epälineaarinen ohjelmointi. - Wiley-Interscience, 2006. - ISBN 0-471-48600-0 .
Projektio // Brockhausin ja Efronin pieni tietosanakirja : 4 osana - Pietari. , 1907-1909.
Projektio - artikkeli Great Soviet Encyclopediasta .
Projektiolaitteet, Valokuvan suurennus, Projektiotulostus, Filmin projektiolaitteet // Valokuva-elokuvatekniikka: Encyclopedia / Ch. toim. E. A. Iofis . - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1981. - 447 s.

Ennusteiden tyypit
Rinnakkainen Suorakaiteen muotoinen (ortogonaalinen) vino aksonometrinen Isometrinen dimetrinen Trimetrinen Perspektiivi (keski) Kalan silmä