Pinta-akustiset aallot pietsosähköisessä tekniikassa

Pietsosähköisissä akustiset pinta-aallot ovat elastisia aaltoja , jotkaetenevät lähellä pietsosähköisen pinnan pintaa ( Rayleigh-aallot ) tai ohuissa pietsosähköisissä kalvoissa (Lamb-aaltoja havaitaan, kun substraatin paksuus on verrattavissa aallonpituuteen), johon liittyy pietsosähköisesti aktiivisen sähkökentän modulaatio. ohjeita. Väliainehiukkasten liike molemmille aaltotyypeille on elliptistä. Rayleigh-aaltojen amplitudi pienenee etäisyydellä pinnasta, ja sitä voidaan pitää vaimennuksena. Pietsosähköisessä SAW:n generointimenetelmää, jossa käytetään interdigitoitua kampaanturia, ehdotettiin vuonna 1965 [1] , mikä mahdollisti laajan sovelluksen suurtaajuisten signaalien käsittelyssä, viivelinjoissa, antureissa ja viime aikoina myös hiukkasten käsittelyssä mikrokanavat.

Teoreettiset perusteet

Lineaarisessa väliaineessa akustiset aallot karakterisoidaan täysin hiukkasten siirtymien U i ja potentiaalin φ yhtälöillä [2] :

T_{ij}=C_{ijkl}S_{kl}-e_{kij}E_{k},

(1.1)

D_{i}=\varepsilon _{ij}E_{j}+e_{ijk}S_{jk},

(1.2)

S_{kl}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial U_{k}}{\partial x_{l}}}+{\frac {\partial U_{ l)){\osittainen x_{k))}\oikea),

(1.3)

E_{i}=-{\frac {\partial \phi }{\partial x_{i))},

(1.4)

\rho {\frac {\partial ^{2}U_{i}}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial T_{ik}}{\partial x_{k}} },

(1.5)

missä T ij , S ij ovat jännitys- ja jännitystensorit; E , D ovat sähkökentän voimakkuuden ja induktion vektoreita; C ijkl , e ijk , ε ij ovat kimmomoduulien tensorit (tämä tensori on symmetrinen viimeiseen indeksipariin [3] ), pietsosähköisten modulien ja permittiivisyyden tensorit, vastaavasti; ρ on väliaineen tiheys. Summaus suoritetaan toistuvilla indekseillä. Kimmomoduulitensori asetetaan vakio sähkökenttään ja permittiivisyystensori vakiovenymään. Jos pietsosähköinen ei sisällä vapaita varauksia, sitä voidaan pitää dielektrisenä ja sille täyttyy Gaussin laki sähkökentän induktiosta:

{\frac {\partial D_{i)){\partial x_{i))}=0.

(2)

Sisäiset puolijohteet riittävän alhaisessa lämpötilassa täyttävät tämän ehdon. Yllä olevasta yhtälöjärjestelmästä voidaan saada yhtälöt akustisille aalloille pietsosähköisessä

C_{ijkl}{\frac {\partial ^{2}U_{k}}{\partial x_{j}\partial x_{l}}}+e_{kij}{\frac {\partial ^{ 2}\phi }{\partial x_{j}\partial x_{k))}=\rho {\frac {\partial ^{2}U_{i)){\partial t^{2))},

(3.1)

e_{ijk}{\frac {\partial ^{2}U_{j)){\partial x_{i}\partial x_{k))}-\varepsilon _{ij}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x_{i}\partial x_{j))}=0.

(3.2)

Nämä yhtälöt reunaehtoineen määrittelevät ongelman täysin. Pietsosähköisen vaikutuksen puuttuessa yhtälön ( 3.1 ) ratkaisut ovat elastisia aaltoja anisotrooppisessa lineaarisessa väliaineessa.

Osittainen aallot

Etsimme ratkaisua yhtälöihin ( 3.1 ) ja ( 3.2 ) tasoaaltojen muodossa , jotka etenevät x 1 - suunnassa ja vaimenevat x 3 - suunnassa :

u_{j}^{m}=\alpha _{j}^{m}\mathrm {exp} (ikb^{m}x_{3})\mathrm {exp} [ik(x_{1} -vt)],

(4.1)

\phi ^{m}=\alpha _{4}^{m}\mathrm {exp} (ikb^{m}x_{3})\mathrm {exp} [ik(x_{1}-vt )],

(4.2)

Korvaamalla nämä ratkaisut aaltoyhtälöihin, saadaan yhtälöjärjestelmä amplitudeille

{\begin{pmatrix}\Gamma _{11}-\rho v^{2}&\Gamma _{12}&\Gamma _{13}&\Gamma _{14}\\\Gamma _{ 12}&\Gamma _{22}-\rho v^{2}&\Gamma _{23}&\Gamma _{24}\\\Gamma _{13}&\Gamma _{23}&\Gamma _ {33}-\rho v^{2}&\Gamma _{31}\\\Gamma _{14}&\Gamma _{24}&\Gamma _{34}&\Gamma _{44}-\rho v^{2}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\\\alpha _{3}\\\alpha _{4}\ \\end{pmatrix}}=0

(5.1)

jossa elementit ilmaistaan muodossa

{\begin{aligned}\Gamma _{11}&=c_{55}b^{2}+2c_{15}b+c_{11},\\\Gamma _{22}&=c_{ 44}b^{2}+2c_{46}b+c_{66},\\\Gamma _{33}&=c_{33}b^{2}+2c_{35}b+c_{55}, \\\Gamma _{12}&=c_{55}b^{2}+(c_{14}+c_{56})b+c_{16},\\\Gamma _{13}&=c_{ 35}b^{2}+(c_{13}+c_{55})b+c_{15},\\\Gamma _{23}&=c_{34}b^{2}+(c_{36 }+c_{45})b+c_{56},\\\Gamma _{44}&=-(\varepsilon _{33}b^{2}+2\varepsilon _{13}b+\varepsilon _{ 11}),\\\Gamma _{14}&=e_{35}b^{2}+(e_{15}+e_{31})b+e_{11},\\\Gamma _{24} &=e_{34}b^{2}+(e_{14}+e_{36})b+e_{16},\\\Gamma _{34}&=e_{33}b^{2}+ (e_{13}+e_{35})b+e_{15},\\\end{aligned}}

(5.2)

Jotta yhtälöiden ei-triviaaliratkaisu olisi olemassa, järjestelmän ( 5.1 ) determinantin on oltava nolla. Tämä ehto määrittää 8. asteen yhtälön b:lle. Valitsemalla vain ratkaisut alemmasta kompleksista, löydämme aaltoyhtälöiden täydellisen ratkaisun:

u_{j}=\left[\sum _{m}C_{m}\alpha _{j}^{m}\mathrm {exp} (ikb^{m}x_{3})\right] \mathrm {exp} [ik(x_{1}-vt)],

(6.1)

\phi =\left[\sum _{m}C_{m}\alpha _{4}^{m}\mathrm {exp} (ikb^{m}x_{3})\right]\mathrm {exp} [ik(x_{1}-vt)],

(6.2)

jossa tuntemattomat kertoimet C m löydetään pietsosähköisen pinnalla määritellyistä reunaehdoista: kuormittamattoman pinnan ehdot T 33 =T 31 =T 32 =0 ja sähköisen induktiovektorin D 3 normaalikomponentin jatkuvuus . Rajaehtoja varten (m-sarake näytetään) saadaan yhtälöjärjestelmä:

{\begin{pmatrix}\cdot \cdot \cdot (c_{33i1}+c_{33i3}b^{m})\alpha _{i}^{m}+(e_{133}+e_{ 333}b^{m})\alpha _{4}^{m}\cdot \cdot \cdot \\\cdot \cdot \cdot (c_{31i1}+c_{31i3}b^{m})\alpha _{i}^{m}+(e_{131}+e_{331}b^{m})\alpha _{4}^{m}\cdot \cdot \cdot \\\cdot \cdot \cdot ( c_{32i1}+c_{32i3}b^{m})\alpha _{i}^{m}+(e_{132}+e_{332}b^{m})\alpha _{4}^{ m}\cdot \cdot \cdot \\\cdot \cdot \cdot (e_{3i1}+e_{3i3}b^{m})\alpha _{i}^{m}-(\varepsilon _{31} +\varepsilon _{33}b^{m}-i\varepsilon _{0})\alpha _{4}^{m}\cdot \cdot \cdot \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix }C_{1}\\C_{2}\\C_{3}\\C_{4}\\\end{pmatrix}}=0.

(7)

Järjestelmän determinantin yhtäläisyydestä nollaan saadaan aallon vaihenopeus [4] .

Kiteiden symmetria

Voigtin merkintää käyttämällä kimmomoduulitensori voidaan kirjoittaa uudelleen 6×6 symmetriseksi matriisiksi, jossa on yleensä 21 lineaarisesti riippumatonta komponenttia [5] . Kuutiosymmetrisillä kiteillä ( pii , galliumarsenidi ), joissa koordinaattijärjestelmä osuu yhteen kidehilan akseleiden kanssa, on vain kolme riippumatonta komponenttia [6] :

{\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{12}&0&0&0\\c_{12}&c_{11}&c_{12}&0&0&0\\c_{12}&c_{12}&c_{11 }&0&0&0\\0&0&0&c_{44}&0&0\\0&0&0&0&c_{44}&0\\0&0&0&0&0&c_{44}\\\end{pmatrix}}

Heksagonaalisen symmetrian kiteillä ( kadmiumsulfidi , sinkkioksidi ), joissa x 3 -akseli on sama kuin kiteen Z-akseli, on viisi riippumatonta komponenttia [6] :

{\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&0&0&0\\c_{12}&c_{11}&c_{13}&0&0&0\\c_{13}&c_{13}&c_{33 }&0&0&0\\0&0&0&c_{44}&0&0\\0&0&0&0&c_{44}&0\\0&0&0&0&0&1/2(c_{11}-c_{12})\\\end{pmatrix}}

Trigonaalisen symmetrian kiteille (luokat 32, 3 m , ) erotetaan kuusi itsenäistä komponenttia [6] : ${\overline {3}}m$

{\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&c_{14}&0&0\\c_{12}&c_{11}&c_{13}&c_{14}&0&0\\c_{13 }&c_{13}&c_{33}&0&0&0\\c_{14}&c_{14}&0&c_{44}&0&0\\0&0&0&0&c_{44}&c_{14}\\0&0&0&0&c_{14}&1/2(c_{1} c_{12})\\\end{pmatrix}}

Tähän luokkaan kuuluvat tärkeät pietsosähköiset aineet, kuten kvartsi , litiumniobaatti .

Pietsosähköisten vakioiden tensorilla Voigt-merkinnässä (viimeinen indeksipari korvataan) kuutiojärjestelmälle (luokat 23 ja ) on yksi itsenäinen komponentti [7] $4{\overline {3}}m$

{\begin{pmatrix}0&0&0&e_{14}&0&0\\0&0&0&0&e_{14}&0\\0&0&0&0&0&e_{14}\\\end{pmatrix))

Kiteillä, joilla on kuusikulmainen symmetria (6 mm :n pisteryhmä , polarisoitu keramiikka x 3 -akselia pitkin ), on kolme komponenttia:

{\begin{pmatrix}0&0&0&0&e_{15}&0\\0&0&0&e_{15}&0&0\\e_{31}&e_{31}&e_{33}&0&0&0\\\end{pmatrix))

Pisteryhmän 32 ( trigonaalinen syngonia ) kaksi komponenttia ovat:

{\begin{pmatrix}e_{11}&-e_{11}&0&e_{14}&0&0\\0&0&0&0&-e_{14}&-e_{11}\\0&0&0&0&0&0\\\end{pmatrix))

ja pisteryhmässä 3 m - neljä [7] :

{\begin{pmatrix}0&0&0&0&e_{15}&-e_{22}\\-e_{22}&e_{22}&0&e_{15}&0&0\\e_{31}&e_{31}&e_{33}&0&0&0 \\\end{pmatrix}}

Dielektrisyysvakiotensori riippuu myös suunnasta kiteessä ryhmille 3 m , 32, 6 mm ja ε 33 ≠ε 11 =ε 22 . Luokkaille 23, , m 3 m : ε 33 =ε 11 =ε 22 . ${\overline {3}}m$ $4{\overline {3}}m$

Pinta-aktiivisten aineiden vuorovaikutus pietsosähköisessä 2DEG :ssä

Tarkastellaan yksinkertaisinta yksiulotteista tapausta ja hylkäämällä indeksit, kirjoita yhtälöjärjestelmä ( 1 ) uudelleen muotoon [8] :

T=cS-eE,

(8.1)

D=eS+\varepsilon E,

(8.2)

{\frac {\partial S}{\partial x))={\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2))},

(8.3)

{\frac {\partial T}{\partial x))=\rho {\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2))}.

(8.4)

Tämä yhtälöjärjestelmä johtaa siirtymän aaltoyhtälöön

\rho {\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}}=c\left(1+{\frac {e^{2}}{c\varepsilon }} \right){\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2))}-{\frac {e}{\varepsilon }}{\frac {\partial D}{\partial x} }.

(9)

Jos pietsosähköinen osoittautuu hyväksi johtimeksi, pitkittäiset ääniaallot (nopeus ) eivät ole pietsosähköisiä, ja jos se on dielektrinen, aallon nopeudeksi tulee . Kerrointa kutsutaan sähkömekaaniseksi kytkentäkertoimeksi ja se saa arvot alle 0,05 ((100) GaAs -pinnalle suunnassa [011] K² eff =6,4×10 −4 ). Jos GaAs:iin muodostuu 2DEG, jonka johtavuus on σ, niin akustisen aallon sähkökenttä johtaa ohmisista häviöistä johtuviin energiahäviöihin. Vaimennuskerroin Γ ja pietsoakustisen aallon nopeuden muutos taajuudella ω ovat samat: $v_{0}={\sqrt {c/\rho ))$ $v={\sqrt {(1+e^{2}/c\varepsilon )c/\rho }}$ $K^{2}=e^{2}/c\varepsilon$

\Gamma ={\frac {2\pi }{\lambda }}{\frac {K_{eff}^{2}}{2}}{\frac {\sigma /\sigma _{M}} {1+(\sigma /\sigma _{M})^{2}}},

(10.1)

{\frac {v-v_{0}}{v_{0}}}={\frac {K_{eff}^{2}}{2}}{\frac {1}{1+(\ sigma /\sigma _{M})^{2}}},

(10.2)

jossa λ on aallonpituus, σ M =v 0 (1+ε). Tässä etäisyys 2DEG:hen pinnasta on paljon pienempi kuin aallonpituus. Yleisemmässä tapauksessa nopeuden muutos ja vaimennus liittyvät toisiinsa suhteella [9] :

{\frac {\Delta v_{s}}{v_{s}}}-{\frac {i\Gamma }{q}}={\frac {\alpha ^{2}/2}{1 +i\sigma _{xx}(q,v_{s}q)/\sigma _{M}}},

(yksitoista)

missä v s on akustisen aallon nopeus ihanteelliselle johtimelle, q on aaltovektori ja kertoimet α ja σ M riippuvat materiaaliparametreista. Siten voidaan nähdä, että SAW:n vuorovaikutus 2DEG:n kanssa riippuu johtavuusterzorin pitkittäiskomponentista, joka määrittää sen mittaamiseen käytettävän kosketuksettoman menetelmän.

Vaimennuksen läsnäolon vuoksi osa aallon liikemäärästä siirtyy 2DEG:hen, mikä johtaa akustosähköisen virran esiintymiseen (jos piiri on suljettu). Pietsosähköisessä materiaalissa olevien SAW-levyjen ja 2DEG:n vuorovaikutuksesta johtuvaa vaimennuksen ja vaihesiirtymän ja johtavuuden välistä suhdetta tutkittiin kohtisuoran magneettikentän läsnä ollessa kokonaislukukvantti Hall-ilmiön [8] ja murto-osaisen kvantti Hall-ilmiön tilassa. [10]

SAW-vahvistus pietsosähköisiä ominaisuuksia omaavissa puolijohteissa

Pietsosähköisten ominaisuuksien omaavien n-tyyppisten puolijohteiden yksiulotteisen tapauksen ( 8 ) yhtälöjärjestelmää tulisi täydentää kokonaisvirran yhtälöillä (sisältää drift- ja diffuusioosat) [11]

J=q\mu n_{c}E+qD_{n}{\frac {\partial n_{c)){\partial x)),

(12)

jatkuvuusyhtälö

{\frac {\partial J}{\partial x))=-q{\frac {\partial n_{c)){\partial t))

(13)

ja Gaussin lause

{\frac {\partial D}{\partial x}}=-qn_{c}.

(neljätoista)

Tässä μ on liikkuvuus, q on alkuvaraus, D n on diffuusiokerroin ja elektronipitoisuus n c koostuu vakioosasta n 0 ja ajallisesti muuttuvasta osasta n s , joka johtuu akustisen aallon sähkökentästä. Muuttuvan sähkökentän E 1 e jkx-jωt lisäksi toimii vakiokenttä E 0 .

Vaimennuskerroin tässä tapauksessa on yhtä suuri kuin

\Gamma ={\frac {K^{2}}{2}}{\frac {\omega _{c}}{v_{0}\gamma }}\left[1+{\frac {\ omega _{c}^{2}}{\gamma ^{2}\omega ^{2}}}\left(1+{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{c}\omega _{D}}}\oikea)^{2}\oikea]^{-1}

(viisitoista)

missä , , . Jos elektronien ryömintänopeus v d on suurempi kuin aallon nopeus, niin γ muuttaa etumerkkiä ja vastaavasti vaimennuksen sijaan pinta-akustinen aalto vahvistuu. $\omega _{c}=\sigma /\varepsilon$ $\omega _{D}=v_{0}^{2}/D$ ${\displaystyle \gamma =1-\mu E_{0}/v_{0}=1-v_{d}/v_{0))$

Adiabaattinen kuljetus yksiulotteisissa kanavissa

Pietsosähköisessä 2DEG:ssä olevien SAW:iden vuorovaikutus voidaan laajentaa yksiulotteisiin kanaviin, nimittäin niihin, jotka on muodostettu GaAs-pinnan sivuporttien avulla. Sähkökentän vuoksi liikkuva SAW voi luoda yksittäiselle elektronille (joka voidaan esittää kvanttipisteenä ) liikkuvan potentiaalin hyvin suljetussa yksiulotteisessa kanavassa, eli indusoida johtumista. Coulombin estosta johtuen yksi elektroni siirtyy yhdessä jaksossa ja tuloksena oleva virta määräytyy vain signaalin taajuuden f ja elektronin varauksen perusteella [12] [13] :

I=fe.

Tällainen yksinkertainen kaava avaa mahdollisuuden käyttää kuljetusta lähes yksiulotteisissa kanavissa nykyisenä standardina.

Sovellus

Pinta-akustisten aaltojen anturit , viivelinjat .

Muistiinpanot

↑ Valkoinen RM, Voltmer FW Suora pietsosähköinen kytkentä pintaelastoihin // Appl. Phys. Lett.. - 1965. - T. 7 . - S. 314-316 . - doi : 10.1063/1.1754276 . (linkki ei saatavilla)
↑ Osetrov A. V., Sho N. V. Pietsosähköisten pinta-aaltojen parametrien laskeminen elementtimenetelmällä // Computational Continuum Mechanics. - 2011. - T. 4 . - S. 71-80 .
↑ Landau, 1987 , s. 131.
↑ Suodattimet, 1981 , s. 18-21.
↑ Suodattimet, 1981 , s. yksitoista.
↑ 1 2 3 Suodattimet, 1981 , s. 12.
↑ 1 2 Filters, 1981 , s. neljätoista.
↑ 1 2 Wixforth A., Scriba J., Wassermeier M., Kotthaus JP, Weimann G., Schlapp W. Surface acoustic waves on GaAs/Al x Ga 1-x As heterostructures // Phys. Rev. B. - 1989. - T. 40 . - S. 7874-7887 . - doi : 10.1103/PhysRevB.40.7874 .
↑ Simon SH Pinta-akustisten aaltojen kytkentä kaksiulotteiseen elektronikaasuun // Phys. Rev. B. - 1996. - T. 54 . - S. 13878-13884 . - doi : 10.1103/PhysRevB.54.13878 .
↑ Willett RL, Paalanen MA, Ruel RR, West KW, Pfeiffer LN, piispa DJ Epänormaali äänen eteneminen ν=1/2 2D-elektronikaasussa: Spontaanisti katkenneen translaatiosymmetrian havainnointi? // Phys. Rev. Lett.. - 1990. - T. 65 . - S. 112-115 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.65.112 .
↑ Ultraääniaaltojen valkoinen DL -vahvistus pietsosähköisissä puolijohteissa // J. Appl. Phys.. - 1962. - T. 33 . - S. 2547-2554 . - doi : 10.1063/1.1729015 . (linkki ei saatavilla)
↑ Shilton JM, Talyanskii VI, Pepper M., Ritchie DA, Frost JEF, Ford CJB, Smith CG, Jones GAC Korkeataajuinen yksielektronikuljetus lähes yksiulotteisessa GaAs-kanavassa, jonka akustiset pinta-aallot indusoivat // J. Fysiikka: Tiivistyy. Asia. - 1996. - T. 8 . - S. 531 . - doi : 10.1088/0953-8984/8/38/001 .
↑ Thouless DJ Hiukkasten kuljetuksen kvantisointi // Phys. Rev. B. - 1983. - T. 27 . - S. 6083-6087 . - doi : 10.1103/PhysRevB.27.6083 .

Kirjallisuus

Landau L.D., Lifshits E.M. Teoreettinen fysiikka. - M . : Nauka, 1987. - T. VII. Elastisuuden teoria. — 248 s.
Pinta-akustisten aaltojen suodattimet (laskenta, tekniikka ja sovellus) = Pinta-aaltosuodattimet: suunnittelu, rakentaminen ja käyttö / Ed. V. B. Akpambetova. - M . : Radio ja viestintä, 1981. - 472 s. -5000 kappaletta.
Morgan D. Pinta-aaltolaitteet signaalinkäsittelyyn / Ed. S. I. Baskakova. - M . : Radio ja viestintä, 1990. - 414 s. — ISBN 5256006614 .