Hopf pinta

Hopf-pinta on kompakti kompleksipinta, joka saadaan kompleksisen vektoriavaruuden tekijänä (nolla poistettuna) C 2 \ 0 vapaasti toimivan äärellisen ryhmän yli. Jos tämä ryhmä on kokonaislukujen ryhmä, Hopf-pintaa kutsutaan ensisijaiseksi , muuten - toissijaiseksi . (Jotkut kirjoittajat käyttävät termiä "Hopf-pinta", joka tarkoittaa implisiittisesti "primääristä Hopf-pintaa".) Ensimmäisen esimerkin sellaisesta pinnasta löysi Hopf [1] , jossa on kokonaislukujen ryhmälle isomorfinen diskreetti ryhmä ja C :hen vaikuttava generaattori. 2 kertomalla 2:lla. Tämä oli ensimmäinen esimerkki kompaktista kompleksipinnasta ilman Kähler-metriikkaa .

Suurempien Hopf-pintojen analogeja kutsutaan Hopf-jakotukiksi .

Invariantit

Hopf -pinnat ovat luokkaa VII ja erityisesti kaikilla on Kodaira-mitta ; ja kaikki niiden plurigeenit ovat nolla. Geometrinen suku on 0. Perusryhmällä on normaali keskeinen ääretön syklinen alaryhmä, jolla on äärellinen indeksi. Pinnan Hodge-rombi on yhtä suuri kuin $-\infty$

		yksi
	0		yksi
0		0		0
	yksi		0
		yksi

Erityisesti ensimmäinen Betti-luku on 1 ja toinen Betti-luku on 0. Päinvastoin Kodaira [2] osoitti, että kompakti kompleksipinta, jossa on nolla toinen Betti-luku, jonka perusryhmä sisältää äärettömän syklisen alaryhmän, jolla on äärellinen indeksi, on Hopf-pinta.

Ensisijaiset Hopf-pinnat

Luokittaessaan kompakteja monimutkaisia pintoja Kodaira luokitteli ensisijaiset Hopf-pinnat.

Ensisijainen Hopf-pinta saadaan seuraavasti:

H={\bigg (}{\mathbb {C} }^{2}\backslash 0{\bigg )}/\Gamma ~,

missä on polynomin supistumisen muodostama ryhmä . $\Gamma$ $\gamma$

Kodaira löysi normaalin muodon . Sopivissa koordinaateissa se voidaan kirjoittaa seuraavasti: $\gamma$ $\gamma$

(x,y)\mapsto (\alpha x+\lambda y^{n},\beta y)~,

missä:

\alpha ,\beta \in {\mathbb {C} }

ovat kompleksiluvut, jotka täyttävät ehdon ;

0<|\alpha |\leq |\beta |<1

ja joko , tai .

\;\lambda =0

{\displaystyle \;\alpha =\beta ^{n))

Nämä pinnat sisältävät elliptisen käyrän ( x -akselin kuva ) ja jos , niin y -akselin kuva on toinen elliptinen käyrä. Siinä tapauksessa, kun , Hopf-pinta on elliptinen kuituavaruus projektiivisen viivan yli, jos = joillekin positiivisille kokonaisluvuille ja , kuvauksella antamalla projektiivisella linjalla , muuten vain kaksi akseleiden kuvaa on käyriä. $\;\lambda =0$ $\;\lambda =0$ ${\displaystyle \alpha ^{m))$ $\beta ^{n}$ $m$ $n$ $x^{m}$ ${\displaystyle y^{-n))$

Minkä tahansa primaarisen Hopf-pinnan Picard-ryhmä on isomorfinen nollasta poikkeavien kompleksilukujen C * kanssa .

Kodaira [3] osoitti, että monimutkainen pinta on diffeomorfinen silloin ja vain, jos se on ensisijainen Hopf-pinta. $\mathbf {S} ^{3}\times \mathbf {S} ^{1}$

Toissijaiset Hopf-pinnat

Jokaisella toissijaisella Hopf-pinnalla on rajallinen päällyspinta ilman haarautumista, joka on ensisijainen Hopf-pinta. Tämä vastaa sitä tosiasiaa, että sen perusryhmässä on alaryhmä, jonka keskellä on äärellinen indeksi, joka on isomorfinen kokonaislukujen ryhmän kanssa. Kato [4] luokitteli nämä pinnat löytämällä äärelliset ryhmät, jotka toimivat ilman kiinteitä pisteitä primäärisillä Hopf-pinnoilla.

Pallomaisten tilamuotojen ja ympyrän tulon perusteella voidaan rakentaa monia esimerkkejä sekundaarisista Hopf-pinnoista .

Kirjallisuus

Wolf P. Barth, Klaus Hulek, Chris AM Peters, Antonius Van de Ven. Kompaktit monimutkaiset pinnat. - Springer-Verlag, Berliini, 2004. - T. 4. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge.). - ISBN 978-3-540-00832-3 .
Heinz Hopf . Zur Topologie der komplexen Mannigfaltigkeiten // R. Courantille 60. syntymäpäivänä 8. tammikuuta 1948 annetut tutkimukset ja esseet. - Interscience Publishers, Inc., New York, 1948. - s. 167-185.
Masahide Kato. Hopf-pintojen topologia // Journal of the Mathematical Society of Japan. - 1975. - T. 27 , no. 2 . — S. 222–238 . — ISSN 0025-5645 . - doi : 10.2969/jmsj/02720222 . Arkistoitu alkuperäisestä 19. joulukuuta 2012.
Masahide Kato. Erratum to: "Hopf-pintojen topologia" // Journal of the Mathematical Society of Japan. - 1989. - T. 41 , no. 1 . — S. 173–174 . — ISSN 0025-5645 . - doi : 10.2969/jmsj/04110173 . Arkistoitu alkuperäisestä 19. joulukuuta 2012.
Kunihiko Kodaira. Kompaktien monimutkaisten analyyttisten pintojen rakenteesta. II // American Journal of Mathematics . - The Johns Hopkins University Press, 1966. - V. 88 , no. 3 . — S. 682–721 . — ISSN 0002-9327 . - doi : 10.2307/2373150 . — .
Kunihiko Kodaira. Kompaktien monimutkaisten analyyttisten pintojen rakenteesta. III // American Journal of Mathematics . - The Johns Hopkins University Press, 1968. - V. 90 , no. 1 . — s. 55–83 . — ISSN 0002-9327 . - doi : 10.2307/2373426 . — .
Kunihiko Kodaira. Monimutkaiset rakenteet $S^{1}\times S^{3}$ // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United of America . – 1966b. - T. 55 , no. 2 . — S. 240–243 . — ISSN 0027-8424 . - doi : 10.1073/pnas.55.2.240 .
Takao Matumoto, Noriaki Nakagawa. Selkeä kuvaus Hopf-pinnoista ja niiden automorfismiryhmistä // Osaka Journal of Mathematics. - 2000. - T. 37 , no. 2 . — S. 417–424 . — ISSN 0030-6126 .
Ornea L. Hopf -monitori // Matematiikan tietosanakirja / Michiel Hazewinkel. - Springer Science+Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, 1994. - ISBN 978-1-55608-010-4 .