Bruhatin tilaus

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 10. marraskuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Bruchat-järjestys (alias tiukka järjestys , tiukka Bruchat-järjestys , Chevalley -järjestys , Bruchat-Chevalley- järjestys , Chevalley-Bruchat-järjestys ) on Coxeter-ryhmän elementtien osittainen järjestys , joka vastaa Schubert-lajikkeiden sisällyttämistä koskevaa järjestystä .

Historia

Bruchat-järjestystä lajikkeen tai Grassmannian Schubert-lipun lajikkeista tutki ensin Ehresmann [1] , kun taas Chevalley [2] tutki yleisempien puoliyksinkertaisten algebrallisten ryhmien analogia . Verma [3] aloitti kombinatorisen tutkimuksen Bruchat-järjestyksestä Weil-ryhmästä ja otti käyttöön nimen "Bruchat-järjestys", koska se liittyi Bruchat-hajoamiseen .

Björner [4] tutki vasenta ja oikeaa heikkoa Bruchat-järjestystä .

Määritelmä

Jos ( W , S ) on Coxeter-järjestelmä generaattoreilla S , niin Bruchat - järjestys on osajärjestys ryhmässä W. Muista, että ryhmän W elementin w pelkistetty sana on vähimmäispituuden lauseke, joka koostuu S :n alkioista, ja elementin w pituus l ( w ) on supistetun sanan pituus.

(Tiukka) Bruhat-järjestyksessä, u ≤ v , jos jonkin (tai minkä tahansa) v :n supistetun sanan osamerkkijono on supistettu sana u :lle .

(Huomaa, että alimerkkijono ei tarkoita elementtien peräkkäistä järjestelyä.)

Heikolla vasemmalla järjestyksellä (Bruhata) u ≤ L v , jos jonkin v :n supistetun sanan äärellinen osamerkkijono (eli alimerkkijono, johon v päättyy) on pelkistetty sana u :lle .
Heikossa oikeassa järjestyksessä (Bruhata), u ≤ R v , jos jonkin v :n supistetun sanan alkuosamerkkijono (eli osamerkkijono, jolla sana v alkaa) on supistettu sana u :lle .

Lisätietoja heikoista järjestyksistä on artikkelissa "Heikko permutaatioiden järjestys" .

Kreivi Bruhata

Bruchat-graafi on suunnattu graafi , joka liittyy tiukkaan Bruchat-järjestykseen. Graafin kärkijoukko on Coxeter-ryhmän alkiot ja reunajoukko koostuu suunnatuista reunoista ( u , v ), joille u = t v jollekin heijastukselle t ja l ( u ) < l ( v ). Graafia voidaan ajatella suunnatuksi graafiksi, jossa on nimetyt reunat, jossa tunnisteet määritellään heijastuksin. (Voit määrittää Bruchat-graafin kertomalla oikealla t :llä . Graafina saamme isomorfisen objektin, mutta reunojen nimet ovat erilaiset.)

Voimakkaassa Bruchat-järjestyksessä symmetrisessä (permutaatio) ryhmässä on yhtälön antama Möbius-funktio , jolloin posetti on Euler, mikä tarkoittaa, että Möbius-funktio on annettu posetin rank-funktiolla. ${\displaystyle \mu (\pi ,\sigma )=(-1)^{\ell (\sigma )-\ell (\pi )))$

Kirjallisuus

Anders Björner. Coxeter-ryhmien tilaukset // Kombinatoriikka ja algebra (Boulder, Colo., 1983) / Curtis Greene. - Providence, RI: American Mathematical Society , 1984. - V. 34. - S. 175-195. - (Ajatteleva matematiikka). — ISBN 978-0-8218-5029-9 .
Anders Björner, Francesco Brenti. Coxeter-ryhmien kombinatoriikka. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 2005. - Vol. 231. - (Matematiikan tutkinnon tekstit). — ISBN 978-3-540-44238-7 . - doi : 10.1007/3-540-27596-7 .
C. Chevalley. Sur les décompositions cellulaires des espaces G/B // Algebralliset ryhmät ja niiden yleistykset: klassiset menetelmät (University Park, PA, 1991) / William J. Haboush, Brian J. Parshall. - Providence, RI: American Mathematical Society , 1958. - V. 56. - P. 1-23. - (Proc. Sympos. Pure Math.). - ISBN 978-0-8218-1540-3 .
Charles Ehresmann. Sur la Topologie de Certains Espaces Homogènes (Fr) // Annals of Mathematics . - Annals of Mathematics, 1934. - V. 35 , no. 2 . — S. 396–443 . — ISSN 0003-486X . - doi : 10.2307/1968440 . — .
Daya-Nand Verma. Monimutkaisten puoliyksinkertaisten Lie-algebroiden tiettyjen indusoitujen esitysten rakenne // Bulletin of the American Mathematical Society . - 1968. - T. 74 . — S. 160–166 . — ISSN 0002-9904 . - doi : 10.1090/S0002-9904-1968-11921-4 .