Sharkovskyn käsky

Sharkovsky-järjestys on luonnollisten lukujen järjestys, joka liittyy dynaamisten järjestelmien jaksollisten pisteiden tutkimiseen segmentillä tai todellisella suoralla.

Historia

Tutkiessaan unimodaalisia kartoituksia, erityisesti neliökartoitusta , Alexander Nikolaevich Sharkovskii havaitsi vuonna 1964 , että vastaavan haaroittumiskaavion "kaaoksen" alueella on niin sanottuja "jaksollisuusikkunoita" - parametrin arvojen kapeat intervallit. , jossa on jaksollisia liikkeitä; ne vastaavat Sharkovsky-järjestyksen siirtymiä. Erityisesti siirrymme alarivillä vastoin nuolten suuntaa kohdasta 1, käymme läpi Feigenbaumin jaksojen tuplaamiskaskadin . $r$

Sanamuoto

Positiivisille kokonaisluvuille ja kirjoitetaan jos dynaamisella järjestelmällä janalla tai suoralla, jonka piste on pienin jakso a, on piste, jolla on pienin jakso b . $a$ $b$ $a - b$

Sharkovskyn lause sanoo, että tällä tavalla luonnollisten lukujen joukolle annetaan täydellinen järjestys , joka on järjestetty seuraavasti:

→ 3 → 5 → 7 → 9 → 11 → 13 → … → 3x2 → 5x2 → 7x2 → 9x2 → 11x2 → 13x2 → … → 3x2² → 5x2² → 7x2² → 9x2² → 11x2² → 13x2² → … ……………………………………… → 2 n → 2 n −1 → … → 2 5 → 2 4 → 2³ → 2² → 2 → 1.

Ylärivi sisältää kaikki parittomat luvut nousevassa järjestyksessä paitsi 1, toisella rivillä on parittomien lukujen tulot (paitsi 1) luvulla 2, kolmannella rivillä parittomien lukujen tulot 2²:llä ja k :nnellä rivillä ylhäältä parittomien lukujen tuotteet tekijällä . Lopuksi viimeinen (alempi) rivi edustaa kahden puhdasta potenssia. $2^{k-1}$

Jakso 3 tuo kaaosta

Erityisesti luku 3 on suurin tämän järjestyksen merkityksessä, joten jakson 3 pisteen läsnäolo edellyttää pisteen läsnäoloa millä tahansa pisteellä. Usein tämä tapaus on lyhennetty "jakso 3 tuo kaaosta". Jakson 3 jaksollisen pisteen tapaus on merkityksellisin. Jos jaksossa 3 on piste, voidaan väittää, että järjestelmä on "kaoottinen" muissa mielessä; esimerkiksi järjestelmän topologinen entropia on positiivinen.

Luonnos todisteesta

Tässä tapauksessa on olemassa erilaisia kohtia $a,b,c$

f(a)=b,\quad f(b)=c,\quad f(c)=a.

Yleisyyttä menettämättä voidaan olettaa, että . $a<b<c$

Sitten segmenteille ja $I_{0}=[a,b]$ $I_{1}=[b,c]$

f(I_{0})\supset I_{1},\quad f(I_{1})\supset I_{0}\cup I_{1}.

Tästä on helppo päätellä, että mille tahansa äärelliselle sanalle , joka koostuu noloista ja ykkösistä ja joka ei sisällä kahta nollaa peräkkäin, on sellainen väli , että ${\displaystyle w=w_{0}w_{1}\dots w_{k-1))$ $I_w$

f^{j}(I_{w})\subset I_{w_{j)),\quad j=1,\dots ,k-2,

f^{k-1}(I_{w})=I_{w_{k-1}}.

Tästä on jo helppo rakentaa minkä tahansa jakson jaksollinen piste : riittää, kun otetaan nollien ja ykkösten aakkoset mikä tahansa pienimmän jakson jaksollinen sana ilman kahta nollaa peräkkäin. Sitä vastaavalle segmentille $k$ $\omega =(w),\ |w|=k$ $k$ $I_w$

f^{k}(I_{w})\supset I_{w},

siksi tässä segmentissä on vastaavan jakson jaksollinen piste. Lopuksi, symbolisen dynamiikan kannalta (jako , , komplementti) sen kohtalo on sekvenssi , jolla on pienin jakso, joten se on myös pienin jakso rakennetulle pisteelle. $I_0$ $I_1$ $\omega$ $k$ $k$

Kirjallisuus

Sharkovskiy AN Rivin jatkuvan muuntamisen syklien rinnakkaiselo // Ukrainian Mathematical Journal. - 1964. - T. 16 , nro 1 . - S. 61-71 .
Sharkovskii A. N., Kolyada S. F., Spivak A. G., Fedorenko V. V. Dynamics of one-dimensional mappings. - Kiova: Naukova Dumka, 1989. - 216 s.
Danilov Yu. A. Luennot epälineaarisesta dynamiikasta. Alkuperäinen esittely. - M . : Postmarket, 2001. - 184 s.

Linkit

Klimenko A. V. Sharkovskyn lause (osa 1) + (osa 2) YouTubessa