Toimenpiteiden tuote

Funktionaalisen analyysin , todennäköisyysteorian ja niihin liittyvien tieteenalojen mittojen tulos on muodollinen tapa rakentaa mitta kahden mitta-avaruuden karteesiselle tulolle.

Rakennus

Antaa olla kaksi välilyöntiä toimenpiteillä . Sitten on karteesinen tulo sarjoista ja . $(X_{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;\mu _{i}),\;i=1,\;2$ ${\displaystyle X_{1}\times X_{2))$ $X_{1}$ $X_{2}$

${\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}$ on alajoukkojen perhe . Se ei ole yleisesti ottaen suljettu laskettavien liittojen alle , eikä se siksi ole -algebra . Otetaan käyttöön merkintä ${\displaystyle X_{1}\times X_{2))$ $\sigma$

{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}=\sigma ({\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F} } }_{2})

on minimialgebra, joka sisältää . Sitten on mitattavissa oleva tila . Määrittelemme sille toimenpiteen seuraavasti: $\sigma$ ${\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}$ $(X_{1}\times X_{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2})$ $\mu _{1}\otimes \mu _{2}\colon {\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}\to \mathbb {R}$

\mu _{1}\otimes \mu _{2}(A)=\mu _{1}(A_{1})\cdot \mu _{2}(A_{2}),\quad \forall A=A_{1}\times A_{2}\in {\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}.

Sitten se jatkuu yksilöllisesti alkaen : $\mu _{1}\otimes \mu _{2}$ ${\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}$ ${\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}$

\mu _{1}\otimes \mu _{2}(A)=\int \limits _{X_{2}}\mu _{1}(A_{x_{2}})\,\ mu _{2}(dx_{2}),\quad A\in {\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}

tai

\mu _{1}\otimes \mu _{2}(A)=\int \limits _{X_{1}}\mu _{2}(A_{x_{1}})\,\ mu _{1}(dx_{1}),

missä

A_{x_{2}}=\{x_{1}\in X_{1}\mid (x_{1},\;x_{2})\in A)\}

on osio pitkin , ja

A

x_{2}\in X_{2}

A_{x_{1}}=\{x_{2}\in X_{2}\mid (x_{1},\;x_{2})\in A)\}

- jakso pitkin .

A

x_{1}\in X_{1}

Tuloksena olevaa mittaa kutsutaan mittojen ja tuotteeksi . Mitta-avaruutta kutsutaan alkuperäisten tilojen (suoraksi) tuloksi. $\mu _{1}\otimes \mu _{2}$ $\mu_{1}$ $\mu_{2}$ $(X_{1}\times X_{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mu _{1}\otimes \ mu_{2})$

Muistiinpanot

Jos on kaksi todennäköisyysavaruutta , niin kutsutaan niiden tuloksi. $(\Omega _{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;{\mathbb {P}}_{i}),\;i=1,\;2$ $(\Omega _{1}\times \Omega _{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;{\mathbb {P }}_{1}\otimes {\mathbb {P}}_{2})$
Jos ovat satunnaismuuttujia , niin ovat jakaumat ja vastaavasti ja jakauma satunnaisvektorilla . Jos ovat itsenäisiä , niin $X,\;Y\colon \Omega \to \mathbb {R}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X},\;\mathbb {P} ^{Y))$ $\mathbb {R}$ $X$ $Y$ $\mathbb {P} ^{X,\;Y}$ $\mathbb {R} ^{2}$ ${\näyttötyyli (X,\;Y)^{\top ))$ $X,\;Y$