Newtonin linja

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 21. lokakuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Newtonin viiva on viiva, joka yhdistää nelikulmion lävistäjien keskipisteet.

Lause

Jos nelikulmion kaksi vastakkaisten sivujen paria eivät ole yhdensuuntaisia, niin sen lävistäjien kaksi keskipistettä ovat suoralla linjalla, joka kulkee näiden vastakkaisten sivujen leikkauspisteet yhdistävän janan keskipisteen kautta. Tätä suoraa kutsutaan Newtonin suoraksi (näkyy kuvassa paksuna viivana).

Vastaava sanamuoto:

Jos suora, joka ei kulje kolmion kärkien läpi, leikkaa sen sivut vastaavasti pisteissä , janojen keskipisteet ovat kollineaarisia . $ABC$ $BC,CA,AB$ $A_{1},B_{1},C_{1}$ $AA_{1},BB_{1},CC_{1}$

Kommentit

Lause voidaan johtaa Menelaoksen lauseesta .
Toisessa muotoilussa voidaan huomata, että viivat ovat yhtä suuret. Ne muodostavat konfiguraation, jota kutsutaan täydelliseksi nelikulmioksi . Suoraa, jolla näiden segmenttien keskipisteet sijaitsevat, kutsutaan nelikulmion Newton-viivaksi. $AB,BC,CA,A_{1}B_{1}$

Jos neljä suoraa koskettaa ympyrää, tämän ympyrän keskipiste on samalla Newton-viivalla. Tätä väitettä kutsutaan Newtonin lauseeksi .

Ominaisuudet

Newtonin viiva on kohtisuorassa Auberin viivaan nähden .
Newtonin linjalla on myös kahden keskiviivan leikkauspiste, jotka yhdistävät kuperan nelikulmion vastakkaisten sivujen keskipisteet ( neliikulmion ensimmäinen ja toinen keskiviiva ).
Annan lause , joka on nimetty ranskalaisen matemaatikon Pierre Léon Annen ( fr. Pierre-Léon Anne , 1806–1850) mukaan, sanoo, että missä tahansaei-rinnakkaisneliikulmiossa Newtonin viiva on niiden pisteiden paikka,joilla on ominaisuus: $ABCD$ $O$ $S(\triangle AOB)+S(\triangle COD)=S(\triangle BOC)+S(\triangle DOA)$ ,

jossa tarkoittaa suunnattua aluetta [1] .

S(\triangle AOB)

{\näyttötyyli \kolmio AOB}

Huomautus 1. Jos piste sijaitsee nelikulmion sisällä , se tarkoittaa esimerkiksi yksinkertaisesti kolmion pinta-alaa. $O$ $ABCD$ $S(\triangle AOB)$
Huomautus 2. Newtonin lauseen mukaan rajatun nelikulmion Newton- viiva kulkee sen piirretyn ympyrän keskipisteen P läpi. Nelikulmion piirretyn ympyrän keskipisteelle P Annan lause on ilmeinen, koska rajatussa nelikulmiossa vastakkaisten sivujen summat ovat yhtä suuret ja Annan lauseen neljän kolmion korkeudet yhteisellä kärjellä P , johon nelikulmio on jaettu pisteellä P , ovat samat ja yhtä suuret kuin nelikulmion piirretyn ympyrän säde.

Kaava

Jos suorakulmaisten koordinaattien nelikulmion suorien kaavoilla on muoto

a_{i}x+b_{i}y=c_{i},\quad i={\overline {1,4}}\,,

niin sitä vastaava Newton-viiva annetaan yhtälöllä

\det(D)\,x+\det(E)\,y={\frac {\det(F)}{2)),

missä ovat minkä kokoiset matriisit $D=(d_{ij}),\,E=(e_{ij}),\,F=(f_{ij})$ ${\näyttötyyli 4\kertaa 4,}$

d_{i1}=e_{i1}=f_{i1}=a_{i}^{2},\quad d_{i2}=e_{i2}=f_{i2}=b_{i}^{ 2},\quad d_{i3}=e_{i3}=f_{i3}=a_{i}b_{i},

d_{i4}=a_{i}c_{i},\quad e_{i4}=b_{i}c_{i},\quad f_{i4}=c_{i}^{2},\ quad i={\overline {1,4}}.

Newton-Gaussin linja

Newton-Gauss- viiva on viiva, joka yhdistää kokonaisen nelikulmion kolmen lävistäjän keskipisteet .

Kuperan nelikulmion , jolla ei ole enempää kuin kaksi yhdensuuntaista sivua, kahden lävistäjän keskipisteet ovat erilaisia ja määrittävät siksi suoran ( Newtonin viiva ). Jos tällaisen nelikulmion sivuja jatketaan muodostamaan täydellinen nelikulmio , nelikulmion lävistäjät pysyvät koko nelikulmion lävistäjänä, ja nelikulmion Newton-viivaa kutsutaan täydellisen nelikulmion Newton-Gauss-viivaksi .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Artikkelikokoelma. Matemaattinen koulutus. Kolmas sarja. Numero 11 . - Litraa, 2015-12-02. - S. 65-66. — 177 s. — ISBN 9785457931350 .

Kirjallisuus

Ponarin Ya. P. Alkeinen geometria. 2 nidettä - M . : MTSNMO , 2004. - S. 74. - ISBN 5-94057-170-0 .