Suora Monte Carlo -simulaatio

Suora Monte Carlo -simulaatio (suoran tilastollisen Monte Carlo -simuloinnin menetelmä) on laskennallisen kaasudynamiikan menetelmä, joka on suunniteltu ratkaisemaan harvinaisen kaasun dynamiikan ongelmia. Menetelmä voidaan tulkita ratkaisuksi Boltzmannin yhtälöön .

PSM-menetelmä perustuu kaasun esittämiseen joukolla erillisiä hiukkasia (joista jokainen on suuri määrä todellisia molekyylejä), joille on määritelty stokastinen niiden törmäysprosessi. Hiukkasjoukon evoluutiota kuvataan tasaisena suoraviivaisena liikkeenä, jonka satunnaisina aikoina katkaisevat hetkelliset paritörmäykset, joten pääsääntöisesti käytetään törmäysmalleja, joissa on täysi äärellinen leikkaus. Algoritmin yksinkertaistamiseksi ja laskennan merkittävästi nopeuttamiseksi hiukkasten liikkeen ja törmäyksen vaiheet erotetaan toisistaan ja vuorottelevat, ja törmäyskumppanit valitaan vain saman solun sisällä (suhteellista sijaintia ottamatta huomioon).

Stationaarivirtaustilan saavuttamisen jälkeen virtauksen makroparametrit lasketaan laskemalla hiukkasparametrien keskiarvo riittävän suurelta määrältä aikavaiheita.

Menetelmässä on kolme pääasiallista diskretisointiparametria: aikavaihe , solukoko (jokaiselle hiukkaselle valitaan törmäyskumppanit vain samassa solussa), solun hiukkasten lukumäärä . Aikaaskeleen on oltava pienempi kuin törmäysten välinen aika , solun koon on oltava pienempi kuin keskimääräinen vapaa polku , solun hiukkasten lukumäärän on oltava riittävän suuri, jotta toistuvien törmäysten todennäköisyys (kun kaksi hiukkasta törmäävät toisiaan kahdesti peräkkäin törmäämättä muihin hiukkasiin) on pieni. $\Delta t$ $\Delta h$ $N$ $t_{c}$ $\lambda$

Toisen kertaluvun konvergenssi esiintyy (edellyttäen, että hiukkaset harvoin läpäisevät useamman kuin yhden solun aikavaiheessa lämpöliikkeen vuoksi, muuten havaitaan ensimmäinen kertaluokka), toisen kertaluvun ja ensimmäisen kertaluvun . $\Delta t/t_{c}$ $\Delta h/\lambda$ $\Delta h/(\lambda N)$

Akkumuloituneiden makroparametrien varianssi pienenee käänteisesti huomioon otettujen aikavaiheiden lukumäärän mukaan (liian lyhyet aikavaiheet vaativat kuitenkin enemmän johtuen solun hiukkasparametrien aika-autokorrelaatioista). Eli virheen amplitudin pienentämiseksi puoleen on laskettava neljä kertaa niin monta aikaaskelta.

Keskiarvoa laskettaessa on toivottavaa käyttää sekä siirtymävaiheen näytettä että törmäyksen jälkeisen vaiheen näytettä, eli kahta näytettä kullekin aikavaiheelle. Tämä mahdollistaa toisen asteen tarkkuuden saavuttamisen aika-askelessa korkeammilla hetkillä, kuten lämpövuolla. Aikakeskiarvostus ei sovellu ei-stationaaristen ongelmien ratkaisemiseen, vaan virtaa on simuloitava monta kertaa ja keskiarvotettava ratkaisukokonaisuuden yli.

PSM-menetelmän monimutkaisuus liittyy suoraan kaasun harventumisasteeseen, joka määräytyy Knudsen-luvulla (keskimääräisen vapaan polun suhde lasketun järjestelmän ominaiskokoon). Monimutkaisuus kasvaa nopeasti Knudsen-luvun pienentyessä, eli kaasun tiheyden kasvaessa, koska sitä vaaditaan hilan jalostamiseksi ja hiukkasten määrän lisäämiseksi. Tilannetta mutkistaa se, että kiinteän järjestelmän muodostaminen tiheämmässä kaasussa kestää kauemmin, kun taas aika-askelta päinvastoin on lyhennettävä. Tämän seurauksena PSM-menetelmää käytetään ensinnäkin silloin, kun oletus kaasun erittäin pienestä paikallisesta poikkeamasta tasapainosta ei toimi, vastaavasti Navier-Stokes-yhtälöt eivät ole sovellettavissa, ja Boltzmann-yhtälöiden ratkaisu. vaaditaan.

Menetelmän historia

G. Byrd ehdotti ensimmäistä kertaa suoran tilastollisen mallintamisen menetelmää, jossa käytetään jakamista molekyylien törmäys- ja siirtoprosesseilla, vuonna 1963 [1] . Sen jälkeen ehdotettiin Bird's Time-Counter -järjestelmää [2] . 1990-luvun alussa lähes kaikki laskelmat suoritettiin käyttämällä Bird's Non-Time Counter -menetelmää [3] tai päätaajuuskaaviota.

Menetelmän soveltuvuus

Koska harvinainen kaasu on kaasu, jossa kaksoistörmäysten todennäköisyys on paljon suurempi kuin korkean kertaluokan törmäysten todennäköisyys (kolminkertainen jne.), menetelmää voidaan soveltaa kuvaamaan kaasuvirtoja vapaassa molekyylissä, siirtymävaiheessa ja jatkumossa. järjestelmät. Esimerkiksi ilma tyydyttää harvinainen olosuhde satojen ilmakehän paineeseen asti . Virtausjärjestelmä määritetään yleensä Knudsenin luvulla Kn .

Toinen menetelmän sovellettavuuden rajoitus liittyy molekyylikaaosehdon rikkomiseen, jota käytetään Boltzmannin yhtälön johtamisessa. Tilastollisen riippuvuuden syntyminen mallintavien molekyylien välillä johtaa tarpeeseen lisätä mallintavien molekyylien määrää. Lähes jatkuvassa tilassa ( ) oleville virroille tämä tekijä pakottaa rinnakkaisten laskentajärjestelmien käytön $Kn<0,01$

Tällä hetkellä suoran tilastollisen Monte Carlo -mallinnuksen menetelmää käytetään tutkimaan eri mittakaavaisia virtauksia, kuten virtausta avaruusalusten ympärillä planeettojen ilmakehään saapuessa, kaasuvirtoja mikro- ja nanolaitteiden sisällä sekä kaasuvirtoja tyhjiöteknologian prosessien aikana.

Muistiinpanot

↑ Bird GA -lähestymistapa translaatiotasapainoon jäykässä pallokaasussa. Phys. nesteitä . Vol.6, No. 10, P 1518-1519 (1963)
↑ Byrd G. Molekyylikaasudynamiikka. M.: Mir, 1981.
↑ Bird GA Molekyylikaasudynamiikka ja kaasuvirtojen suorat simulaatiot. - Clarendon Press, Oxford. – 1994.

Linkit

Kirjallisuus

Byrd G. Molekyylikaasudynamiikka. M.: Mir, 1981.
Leontovich, M.A., Kaasujen kineettisen teorian perusyhtälöt satunnaisprosessien teorian näkökulmasta, Zh. kokeellinen ja teoria. fysiikka. 1935. V. 5. S. 75-79.
Katz M. Todennäköisyys ja siihen liittyvät ongelmat fysiikassa. M.: Mir, 1965.
Ivanov M.S., Rogazinsky S.V. Taloudelliset mallit harvinaisten kaasuvirtojen tilastolliseen mallinnukseen // Mat. mallinnus. 1989. V. 1, nro 7. S. 130-145.
Galkin VA, Osetsky D. Yu. Boltzmannin kaasutapaus, joka johtaa Smoluchowskin koagulaatioyhtälöön. //ZHVM ja MF. 2006.- v.46, N.3. s. 536-549.

Bibliografia: 9.

V. A. Galkin, D. Yu. Osetsky, "Mathematical modeling of coagulation kinetics", Matem. mallinnus, 18:1 (2006), 99-116