Poisson-prosessi

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 21.11.2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Poisson-prosessi , Poisson- virtaus , Poisson-prosessi [1] on tavallinen homogeenisten tapahtumien virta, jonka tapahtumien lukumäärä intervallilla A ei riipu tapahtumien määrästä missään intervalleissa, jotka eivät leikkaa A :n kanssa ja noudattaa Poisson-jakauma . Satunnaisprosessien teoriassa se kuvaa sattumanvaraisten tapahtumien määrää, jotka ovat tapahtuneet vakiointensiteetillä.

Poisson-virran todennäköisyysominaisuudet on täysin karakterisoitu funktiolla Λ(A) , joka on yhtä suuri kuin jonkin pienenevän funktion intervallin A lisäys . Useimmiten Poisson-virtauksella on hetkellinen arvo parametrille λ(t) , joka on funktio, jonka jatkuvuuspisteissä virtaustapahtuman todennäköisyys välillä [t,t+dt] on yhtä suuri kuin λ( t)dt . Jos A on segmentti [a,b] , niin

\Lambda (A)=\int \limits _{a}^{b}\lambda (t)\,dt

Poisson-virtausta, jonka λ(t) on yhtä suuri kuin vakio λ , kutsutaan yksinkertaisimmaksi virtaukseksi parametrilla λ . [2]

Poisson-virrat määritellään moniulotteiselle ja yleensä mille tahansa abstraktille avaruudelle, johon mitta Λ(A) voidaan ottaa käyttöön . Kiinteälle Poisson-virtaukselle moniulotteisessa avaruudessa on tunnusomaista tilatiheys λ . Tässä tapauksessa Λ(A) on yhtä suuri kuin alueen A tilavuus kerrottuna λ :lla .

Luokitus

Poisson-prosesseja on kahdenlaisia: yksinkertainen (tai yksinkertaisesti: Poisson-prosessi) ja monimutkainen (yleistetty).

Yksinkertainen Poisson-prosessi

Anna . Satunnaisprosessia kutsutaan homogeeniseksi Poisson-prosessiksi, jonka intensiteetti on if $\lambda>0$ $\{X_{t}\}_{t\geq 0}$ $\lambda$

$X_{0}=0$ melkein varma .
$\{X_{t}\}$ on prosessi, jossa on itsenäisiä lisäyksiä .
$X_{t}-X_{s}\sim \ \mathrm {P} (\lambda (ts))$ mille tahansa , jossa tarkoittaa Poisson-jakaumaa parametrin kanssa . $0\leq s<t<\infty$ $\mathrm {P} (\lambda(ts))$ $\lambda (ts)$

Monimutkainen (yleistetty) Poisson-prosessi

Olkoon sarja toisistaan riippumattomia identtisesti jakautuneita satunnaismuuttujia . $\xi _{1},...,\xi _{n}$
Olkoon yksinkertainen Poisson-prosessi, jonka intensiteetti on sekvenssistä riippumaton . $N(t)$ $\lambda$ $\xi _{1},...,\xi _{n}$

Merkitään lisätyn sekvenssin ensimmäisen k elementin summalla. $S_{k}$

Sitten määrittelemme monimutkaisen Poisson-prosessin muodossa . $\{Y_{t}\}$ $S_{N(t)}$

Ominaisuudet

Hyppyaikojen väliset ajat ovat riippumattomia ja niillä on eksponentiaalinen jakauma ${\text{Exp}}(\lambda )$ .
Poisson-prosessi hyväksyy vain ei-negatiiviset kokonaislukuarvot ja lisäksi

\mathbb {P} (X_{t}=k)={\frac {\lambda ^{k}t^{k}}{k!}}e^{-\lambda t},\quad k=0, 1,2,\lpistettä

eli : nnen hypyn hetkellä on gamma-jakauma . $k$ ${\text{Γ}}(\lambda ,k)$

Poisson-prosessin liikeradat ovat palasittain vakioita, oikealle jatkuvia, ei-laskevia funktioita, joiden hyppyt ovat yhtä suuret kuin melkein varmasti. Tarkemmin

\mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}=0)=1-\lambda h+o(h)

\mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}=1)=\lambda h+o(h)

\mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}>1)=o(h)

klo ,

h\-0

missä tarkoittaa " noin pientä ". $vai niin)$

Kriteerit

Jotta jokin satunnaisprosessi, jolla on jatkuva aika, olisi Poisson (yksinkertainen, homogeeninen) tai identtinen nolla, riittää, että seuraavat ehdot täyttyvät: $\{X_{t}\}$

$X_{0}=0$ .
Prosessissa on itsenäisiä lisäyksiä.
Prosessi on yhtenäinen.
Prosessi hyväksyy ei-negatiiviset kokonaisluvut.
$P\{X_{h}\geq 2\}=o(h)$ osoitteessa . $h\searrow 0$

Tietojen ominaisuudet [3]

Antaa olla Poisson-prosessin hyppyajat. . $\tau _{1},\dots ,\tau _{n}$ $T=\tau _{j}-\tau _{j-1}$

Riippuuko se lentoradan edellisestä osasta? - ? $T$
$\mathbb {P} (\{T>t+s\mid T>s\})$

Anna . $u(t)=\mathbb {P} (T>t)$

$u(t\mid s)={\frac {\mathbb {P} (T>t+s\cap T>s)}{\mathbb {P} (T>s)))={\frac {\mathbb {P} (T>t+s)}{\mathbb {P} (T>s)))$
$u(t\mid s)u(s)=u(t+s)$
$u(t\mid s)=s(t)\nuoli vasen oikealle u(t)=e^{-\alpha t}$ .
Hyppyjen välisten aikavälien pituuksien jakaumalla on ominaisuus muistin puute ⇔ se on eksponentiaalinen .

Tarkastellaan segmenttiä aika-akselilla. $[a,b]$

$X(b)-X(a) = n$ on segmentin hyppyjen määrä . Hyppyjen momenttien ehdollinen jakauma on sama kuin . $[a,b]$
$\tau _{1},\dots ,\tau _{n}\mid X(b)-X(a)=n$ $n$ $R[a,b]$

Tämän jakauman tiheys $f_{\tau _{1},\dots ,\tau _{n}}(t)={\frac {n!}{(ba)^{n}}}\mathbb {I} (a \leqslant t_{1}\leqslant \cdots \leqslant t_{n}\leqslant b)$

Keskirajalause

Lause.

$\mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t))}<x{\biggr )}{\underset {\lambda t\to \ infty }{\overset {x}{\rightarrows }}}\Phi (x)\sim N(0,1)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\ infty }^{x}e^{-{\frac {u^{2}}{2}}}du$

Lähentymisnopeus : , missä on Berry-Esseenin vakio .
$\sup \limits _{x}{\biggl |}\mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t))}<x{\ biggr )}-\Phi (x){\biggr |}\leqslant {\frac {C_{0)){\sqrt {\lambda t))}$
$C_{0}$

Sovellus

Poisson-virtausta käytetään simuloimaan erilaisia todellisia virtoja: onnettomuuksia, varautuneiden hiukkasten virtausta avaruudesta, laitevikoja ja muita. Sitä voidaan käyttää myös analysoimaan rahoitusmekanismeja, kuten maksuvirtoja ja muita reaalivirtoja. Rakentaa malleja eri palvelujärjestelmistä ja analysoida niiden soveltuvuutta.

Poisson-virtojen käyttö yksinkertaistaa huomattavasti jonojärjestelmien tehokkuuden laskemiseen liittyvien ongelmien ratkaisua . Mutta todellisen virtauksen kohtuuton korvaaminen Poisson-virralla, missä tätä ei voida hyväksyä, johtaa karkeisiin virhelaskentaan.

Kirjallisuus

Gardiner KV Stokastiset menetelmät luonnontieteissä. - M .: Mir, 1986. - 528 s.
van Kampen NG Stokastiset prosessit fysiikassa ja kemiassa. - M . : Korkeakoulu, 1990. - 376 s.
Kingman J. Poisson prosessit. - M. : MTSNMO, 2007. - 136 s.

Muistiinpanot

↑ " Mathematical Encyclopedia " / Päätoimittaja I. M. Vinogradov. - M . : "Neuvostoliiton tietosanakirja", 1979. - T. 4. - 1104 s. - 148 800 kappaletta.
↑ Kybernetiikan sanakirja / Toimittanut akateemikko V. S. Mikhalevich . - 2. - Kiova: M.P. Bazhanin mukaan nimetyn Ukrainan Neuvostoliiton Encyclopedian pääpainos, 1989. - S. 534. - 751 s. - (C48). – 50 000 kappaletta. - ISBN 5-88500-008-5 .
↑ Shestakov Oleg Vladimirovich. Luentomuistiinpanot aiheesta "Todennäköisyysmallit", Luento 7 . (Venäjän kieli)