Liouville-Neumann-sarja

Liouville-Neumann-sarja integraalilaskennassa on ääretön sarja , joka vastaa Fredholmin integraaliyhtälön ratkaisua jatkuvalla pienellä ytimellä. Nimetty Joseph Liouvillen ja Carl Neumannin mukaan .

Haetaan rivi

Etsimme ratkaisua Fredholmin yhtälölle

u(x)=\lambda \int \limits _{G}K(x,\;y)u(y)\,dy+f(x)

peräkkäisten approksimaatioiden menetelmä , asetus : $u^{(0)}(x)=f(x)$

u^{(p)}(x)=\lambda \int \limits _{G}K(x,\;y)u^{(p-1)}(y)\,dy+f( x)=\lambda (Ku^{(p-1)})(x)+f(x),\quad p=1,\;2,\;\ldots

Kaavan viimeinen lauseke on integraalin operaattorimerkintä. Seuraava yhtäläisyys varmistetaan matemaattisen induktion menetelmällä :

u^{(p)}=\sum _{k=0}^{p}\lambda ^{k}(K^{k}f)(x),\quad p=0,\;1 ,\;\ldots

Funktioita kutsutaan iteraatioiksi . Voidaan osoittaa, että kaikki iteraatiot ovat jatkuvia ja rajoitettu : ${\näyttötyyli (K^{p}f)(x)}$ $G$

\|K^{p}f\|_{C}=\|K(K^{p-1}f)\|_{C}\leqslant M\mathrm {mes} \,G\| K^{p-1}f\|_{C}\leqslant \ldots \leqslant (M\mathrm {mes} \,G)^{p}\|f\|_{C},\quad p=0 ,\;1,\;\ldots ,

missä on joukon mitta ja . $\mathrm {mes} \,G$ $G$ $M=\max _{G}|K(x,\;y)|$

Tästä arviosta seuraa, että sarja

\sum _{k=0}^{\infty }\lambda ^{k}(K^{k}f)(x),\quad x\in G,

kutsutaan Liouville-Neumann- sarjaksi , jota hallitsevat numeeriset sarjat

\|f\|_{C}\sum _{k=0}^{\infty }|\lambda |^{k}(M\mathrm {mes} \,G)^{k}={ \frac {\|f\|_{C}}{1-|\lambda |M\mathrm {mes} \,G)),

suppeneva ympyrässä , joten sellaisille Liouville-Neumann-sarja suppenee säännöllisesti ( ehdottomasti ja tasaisesti ). Tämä tarkoittaa, että peräkkäiset approksimaatiot pyrkivät tasaisesti haluttuun funktioon . $|\lambda |<1/(M\mathrm {mes} \,G)$ $\lambda$ $u^{(p)}(x)$ $p\to \infty$ $u(x)$

Katso myös

Kirjallisuus

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Matemaattisen fysiikan yhtälöt. - M. : Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0310-5 . .