Fredholmin integraaliyhtälö

Fredholmin integraaliyhtälö [1] on integraaliyhtälö, jonka ydin on Fredholmin ydin . Nimetty ruotsalaisen matemaatikon Ivar Fredholmin mukaan . Ajan myötä Fredholmin yhtälön tutkiminen kasvoi itsenäiseksi funktionaalisen analyysin osaksi - Fredholmin teoriaksi , joka tutkii Fredholmin ytimiä ja Fredholm-operaattoreita .

Yleinen teoria

Fredholmin yhtälöihin perustuva yleinen teoria tunnetaan Fredholmin teoriana . Teoria tarkastelee erityismuodon integraalimuunnoksia

$\psi(s) = \int\limits_a^b\!K(s, t) \varphi(t)\, dt$

jossa funktiota kutsutaan yhtälön ytimeksi ja operaattoriksi määritellään $K$ $A$

$A\varphi = \int\limits_a^b\!K(s, t) \varphi(t)\, dt$ , kutsutaan Fredholm-operaattoriksi (tai integraaliksi).

Yksi perustavanlaatuisista tuloksista on se, että K :n ydin on kompakti operaattori , joka tunnetaan myös nimellä Fredholm-operaattori . Kompaktius voidaan osoittaa käyttämällä tasaista jatkuvuutta . Operaattorina spektriteoriaa voidaan soveltaa ytimeen tutkien ominaisarvojen spektriä .

Ensimmäisen tyyppinen yhtälö

Ensimmäisen tyypin epähomogeenisella Fredholmin yhtälöllä on muoto:

g(t)=\int\limits_a^b\!K(t,s)f(s)\,ds

ja ongelmana on, että ytimen ja funktion tietylle jatkuvalle funktiolle etsi funktio . $K(t,s)$ $g(t)$ $f(s)$

Jos ydin on funktio sen argumenttien erosta eli , ja integroinnin rajoista , niin yhtälön oikea puoli voidaan kirjoittaa uudelleen funktioiden konvoluutioksi ja , ja siksi ratkaisu annetaan kaavalla $K(t,s)=K(ts)$ $\pm \infty$ $K$ $f$

f(t) = \mathcal{F}_\omega^{-1}\left[ {\mathcal{F}_t[g(t)](\omega)\over \mathcal{F}_t[K(t) )](\omega)} \right]=\int\limits_{-\infty}^\infty\!{\mathcal{F}_t[g(t)](\omega)\over \mathcal{F}_t [K(t)](\omega)}e^{2\pi i \omega t}\,d\omega

missä ja ovat suoria ja käänteisiä Fourier-muunnoksia , vastaavasti. Tarvittavat ja riittävät ehdot ratkaisun olemassaololle määritellään Picardin lauseella . ${\mathcal {F}}_{t}$ $\mathcal{F}_\omega^{-1}$

Toisen tyyppinen yhtälö

Toisen tyypin epähomogeeninen Fredholmin yhtälö näyttää tältä:

\varphi (s)=\lambda \int \limits _{a}^{b}\!K(s,t)\varphi (t)\,dt+f(s)

Ongelmana on löytää funktio, jolla on ydin ja funktio . Tässä tapauksessa ratkaisun olemassaolo ja sen monikertaisuus riippuvat luvusta, jota kutsutaan tunnusluvuksi (sen käänteislukua kutsutaan oikeaksi ). Vakioratkaisumenetelmässä käytetään liuottimen käsitettä ; sarjana kirjoitettu ratkaisu tunnetaan Liouville-Neumann-sarjana . $K(t, s)$ $f(t)$ $\varphi (t)$ $\lambda$

Muistiinpanot

↑ BRE . Haettu 18. kesäkuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 20. kesäkuuta 2020. (määrätön)

Linkit

Integraaliyhtälöt: Tarkat ratkaisut - EqWorld: Matemaattisten yhtälöiden maailma.

Integraaliyhtälöt: Ratkaisumenetelmät - EqWorld: Matemaattisten yhtälöiden maailma.

Suositeltu lukema

A. D. Polyanin, A. V. Manžirov. Integraaliyhtälöiden käsikirja. Moskova, Fizmatlit, 2003.