Picardin lause (integraaliyhtälöt) - lause 1. tyypin Fredholmin integraaliyhtälön ratkaisun olemassaolosta ja ainutlaatuisuudesta .
Ensimmäisen tyyppinen integraalinen Fredholmin yhtälö suljetulla symmetrisellä ytimellä muotoa , jossa on ainutlaatuinen ratkaisu funktioluokassa silloin ja vain, jos sarja konvergoi. |
Lauseen muotoilussa ytimen tunnusluvut ovat funktion Fourier - kertoimia suhteessa tämän ytimen ominaisfunktioihin : . Symmetristä ydintä kutsutaan suljetuksi, jos jokainen yhtälön täyttävä funktio on yhtä suuri kuin nolla lähes kaikkialla alueella . Suljetulle ytimelle sen ominaisfunktiot muodostavat ortogonaalisen täydellisen funktiojärjestelmän .
Oletetaan, että yhtälölle on ratkaisu .
Etsitään funktion Fourier-kertoimet tämän ytimen ominaisfunktioiden suhteen : .
Tässä toisessa yhtälössä käytetään sitä, että lauseen ehdoista johtuen neljännessä yhtälössä, joka ytimen symmetrian vuoksi .
Tasa -arvo voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon . Tästä seuraa, että luvut ovat funktion Fourier-kertoimia . Matemaattisen analyysin tunnetun lauseen perusteella näiden kertoimien neliöiden sarja on konvergentti.
Oletetaan päinvastoin, että sarja konvergoi. Sitten Riesz-Fisher-lauseen nojalla on olemassa ainutlaatuinen funktio , jonka luvut ovat Fourier-kertoimia suhteessa funktiojärjestelmään, eli yhtäläisyydet pätevät kaikille . Tämä funktio täyttää integraaliyhtälön , koska funktioiden rakenteesta johtuen niillä on samat Fourier-kertoimet suhteessa ytimen ominaisfunktioiden kokonaisjärjestelmään . Siten funktiot ja ovat identtisiä metriikassa .