Picardin lause (integraaliyhtälöt)

Picardin lause (integraaliyhtälöt) - lause 1. tyypin Fredholmin integraaliyhtälön ratkaisun olemassaolosta ja ainutlaatuisuudesta .

Ensimmäisen tyyppinen integraalinen Fredholmin yhtälö suljetulla symmetrisellä ytimellä muotoa , jossa on ainutlaatuinen ratkaisu funktioluokassa silloin ja vain, jos sarja konvergoi. $K(t,s)$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds=f(t)$ $f(t)\in L_{{2}}[a,b]$ $L_{{2}}[a,b]$ $\sum _{{k=1}}^{{\infty }}\lambda _{{k}}^{{2}}f_{{k}}^{{2}}$

Selitykset

Lauseen muotoilussa ytimen tunnusluvut ovat funktion Fourier - kertoimia suhteessa tämän ytimen ominaisfunktioihin : . Symmetristä ydintä kutsutaan suljetuksi, jos jokainen yhtälön täyttävä funktio on yhtä suuri kuin nolla lähes kaikkialla alueella . Suljetulle ytimelle sen ominaisfunktiot muodostavat ortogonaalisen täydellisen funktiojärjestelmän . $\lambda _{{k}}$ $K(t,s)$ $f_{k}=(f,\phi _{{k}})$ $f(t)$ $\phi _{n}(t)$ $\phi _{{n}}(t)=\lambda _{{n}}\int \limits _{{a}}^{{b}}K(t,s)\phi _{{n}} (s)ds$ $K(t,s)$ $L_{{2}}[a,b]$ $\sigma (t)\in L_{{2}}[a,b]$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\sigma (s)ds=0$ $[a,b]$ $L_{{2}}[a,b]$

Todiste

Oletetaan, että yhtälölle on ratkaisu . $\phi (t)\in L_{{2}}[a,b]$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds=f(t)$

Etsitään funktion Fourier-kertoimet tämän ytimen ominaisfunktioiden suhteen : . $f(t)$ $\phi _{n}(t)$ $f_{{n}}=\int \limits _{{a}}^{{b}}f(t)\phi _{{n}}(t)dt=\int \limits _{{a}} ^{{b}}\left\{\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds\right\}\phi _{{n}}(t)dt =\int \limits _{{a}}^{{b}}\left\{\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi _{{n}}(t) dt\right\}\phi (s)ds={\frac {1}{\lambda _{n}}}\int \limits _{a}^{b}\phi _{{n}}(s) \phi (s)ds$

Tässä toisessa yhtälössä käytetään sitä, että lauseen ehdoista johtuen neljännessä yhtälössä, joka ytimen symmetrian vuoksi . $f(t)=\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi _{{n}}(t)dt={\frac {1}{\lambda _{n}}}\phi _{ {n}}(s)$

Tasa -arvo voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon . Tästä seuraa, että luvut ovat funktion Fourier-kertoimia . Matemaattisen analyysin tunnetun lauseen perusteella näiden kertoimien neliöiden sarja on konvergentti. $f_{{n}}={\frac {1}{\lambda _{n}}}\int \limits _{a}^{b}\phi _{{n}}(s)\phi (s) ds$ $\lambda _{{n}}f_{{n}}=\int \limits _{a}^{b}\phi _{{n}}(s)\phi (s)ds$ $\lambda _{{n}}f_{{n}}$ $\phi (t)\in L_{{2}}[a,b]$ $\sum _{{k=1}}^{{\infty }}\lambda _{{k}}^{{2}}f_{{k}}^{{2}}$

Oletetaan päinvastoin, että sarja konvergoi. Sitten Riesz-Fisher-lauseen nojalla on olemassa ainutlaatuinen funktio , jonka luvut ovat Fourier-kertoimia suhteessa funktiojärjestelmään, eli yhtäläisyydet pätevät kaikille . Tämä funktio täyttää integraaliyhtälön , koska funktioiden rakenteesta johtuen niillä on samat Fourier-kertoimet suhteessa ytimen ominaisfunktioiden kokonaisjärjestelmään . Siten funktiot ja ovat identtisiä metriikassa . $\sum _{{k=1}}^{{\infty }}\lambda _{{k}}^{{2}}f_{{k}}^{{2}}$ $\phi (t)\in L_{{2}}[a,b]$ $\lambda _{{n}}f_{{n}}$ ${\mathcal {f}}\phi _{{n}}(t){\mathcal {g}}$ $\lambda _{{n}}f_{{n}}=\int \limits _{a}^{b}\phi _{{n}}(s)\phi (s)ds$ $n(n=1,2,...)$ $\phi (t)$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds=f(t)$ $\phi (t)$ $f(t)$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds$ ${\mathcal {f}}\phi _{{n}}(t){\mathcal {g}}$ $K(t,s)$ $f(t)$ $\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds$ $L_{{2}}[a,b]$

Kirjallisuus

Krasnov M.L. Integraaliyhtälöt, Moskova, Nauka, 1975.