Fredholmin teoria

Fredholmin teoria on osa integraaliyhtälöiden teoriaa ; suppeassa merkityksessä - Fredholmin integraaliyhtälöiden tutkiminen , laajassa tulkinnassa - Fredholmin operaattorien spektriteorian menetelmä- ja tulosjoukko ja Fredholmin ytimien käsitteen käyttäminen Hilbert-avaruudessa .

Nimetty pääkehittäjän - ruotsalaisen matemaatikon Erik Ivar Fredholmin mukaan .

Homogeeniset yhtälöt

Suuri osa Fredholmin teoriasta koskee ratkaisujen löytämistä integraaliyhtälöön :

g(x)=\int _{a}^{b}K(x,y)f(y)\,dy

Tämä yhtälö syntyy luonnollisesti monissa fysiikan ja matematiikan ongelmissa differentiaaliyhtälön inversiona . Eli tehtävänä on ratkaista differentiaaliyhtälö:

lg(x)=f(x)

jossa funktio on annettu ja tuntematon. Tässä on lineaarinen differentiaalioperaattori . Voit esimerkiksi ottaa elliptisen operaattorin : $f$ $g$ $L$ $L$

L={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}

tällaisessa tapauksessa ratkaistavasta yhtälöstä tulee Poissonin yhtälö . Yleinen menetelmä tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi on käyttää Vihreän funktioita , eli yrittämättä toimia suoraan, yrittää ratkaista yhtälö:

LK(x,y)=\delta (xy)

missä on Diracin deltafunktio . Edelleen: $\delta(x)$

g(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy

Tämä integraali kirjoitetaan Fredholmin integraaliyhtälön muodossa . Funktio tunnetaan Vihreän funktiona tai integraalin ytimenä . $K(x,y)$

Yleisessä teoriassa ja voi kuulua mihin tahansa monimuotoisuuteen ; reaaliviiva tai -ulotteinen euklidinen avaruus yksinkertaisimmissa tapauksissa. Myös yleinen teoria edellyttää usein, että funktiot kuuluvat tiettyyn funktioavaruuteen : usein neliöintegroitavien funktioiden avaruuteen tai Sobolev-avaruuteen . $x$ $y$ $m$

Varsinaisesti käytetty funktioavaruus määräytyy usein differentiaalioperaattorin ominaisarvoongelman ratkaisussa; eli ratkaisujen mukaan:

L\psi _{n}(x)=\omega _{n}\psi _{n}(x)

missä ovat ominaisarvot ja ovat ominaisvektorit. Ominaisuusvektorien joukko muodostaa Banach-avaruuden , ja missä luonnollinen sisätulo on olemassa , niin Hilbert-avaruus , johon Rieszin lause pätee . Esimerkkejä tällaisista avaruuksista ovat ortogonaaliset polynomit , jotka esiintyvät toisen kertaluvun tavallisten differentiaaliyhtälöiden luokan ratkaisuina. $\omega_{n}$ $\psi _{n}(x)$

Kun Hilbert-väli on annettu, ydin voidaan kirjoittaa muodossa:

K(x,y)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}^{*}(x)\psi _{n}(y)}{\omega _{n))}

missä on dual . _ Tässä muodossa objektia kutsutaan usein Fredholm-operaattoriksi tai Fredholm-ytimeksi . Se, että tämä on sama ydin, seuraa Hilbert-avaruuspohjan täydellisyydestä , nimittäin: $\psi _{n}^{*}$ $\psi_{n}$ $K(x,y)$

\delta (xy)=\sum _{n}\psi _{n}^{*}(x)\psi _{n}(y)

Koska se yleensä kasvaa, operaattorin tuloksena olevat ominaisarvot pienenevät kohti nollaa. $\omega_{n}$ $K(x,y)$

Epähomogeeniset yhtälöt

Epähomogeeninen Fredholmin integraaliyhtälö:

f(x)=-\omega \phi (x)+\int K(x,y)\phi (y)\,dy

voidaan kirjoittaa muodollisesti seuraavasti:

f=(K-\omega )\phi

Sitten muodollinen ratkaisu on:

\phi ={\frac {1}{K-\omega }}f

Tässä muodossa olevaa ratkaisua kutsutaan solvent-formalismiksi , jossa solventti määritellään operaattoriksi

R(\omega )={\frac {1}{K-\omega I}}

Tietty joukko ominaisvektoreita ja ominaisarvoja voidaan liittää tietyn muodon resoluutioon: $K$

R(\omega ;x,y)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}^{*}(y)\psi _{n}(x)}{\omega _{n} -\omega }}

ratkaisun kanssa:

\phi (x)=\int R(\omega ;x,y)f(y)\,dy

Välttämätön ja riittävä ehto tällaisen ratkaisun olemassaololle on yksi Fredholmin lauseista . Liuotin laajennetaan yleensä potenssisarjaksi , jolloin se tunnetaan Liouville-Neumann-sarjana . Sitten integraaliyhtälö kirjoitetaan seuraavasti: $\lambda=1/\omega$

g(x)=\phi (x)-\lambda \int K(x,y)\phi (y)\,dy

Liuotin kirjoitetaan vaihtoehtoisessa muodossa:

R(\lambda )={\frac {1}{I-\lambda K}}

Fredholmin determinantti

Fredholmin determinantti määritellään yleensä seuraavasti:

\det(I-\lambda K)=\exp \left[-\sum _{n}{\frac {\lambda ^{n}}{n}}\operaattorinimi {Tr}\,K^{n}\ oikea]

missä ja niin edelleen. Vastaava zeta-funktio on : $\operaattorin nimi {Tr}\,K=\int K(x,x)\,dx$ $\operaattorinimi {Tr}\,K^{2}=\iint K(x,y)K(y,x)\,dx\,dy$

\zeta (s)={\frac {1}{\det(I-sK))).

Zeta-funktiota voidaan pitää liuottimen determinanttina . Zeta-funktiolla on tärkeä rooli dynaamisten järjestelmien tutkimuksessa ; tämä on sama yleinen zeta-funktio kuin Riemannin zeta-funktio , mutta Fredholmin teorian tapauksessa vastaavaa ydintä ei tunneta. Tämän ytimen olemassaolo tunnetaan Hilbert-Poyan arveluna .

Päätulokset

Tämän teorian klassisia tuloksia ovat Fredholmin lauseet , joista yksi on Fredholmin vaihtoehto .

Yksi yleisen teorian tärkeistä tuloksista on, että esitetty ydin on kompakti operaattori , jossa funktioiden avaruus on tasajatkuvien funktioiden avaruus.

Erinomainen tähän liittyvä tulos on indeksilause , joka viittaa elliptisten operaattorien indeksiin kompakteissa jakoputkissa .

Historia

Fredholmin artikkeli vuodelta 1903 Acta mathematicassa on yksi tärkeimmistä virstanpylväistä operaattoriteorian luomisessa . David Hilbert kehitti Hilbert-avaruuden käsitteen , myös Fredholmin integraaliyhtälöiden tutkimuksen yhteydessä.

Linkit

E. E. Fredholm, "Sur une classe d'equations fonctionnelles", Acta Mathematica , 27 (1903) s. 365-390.
DE Edmunds ja WD Evans (1987), Spektriteoria ja differentiaalioperaattorit, Oxford University Press . ISBN 0-19-853542-2 .
BV Khvedelidze, GL Litvinov (2001), "Fredholm kernel", julkaisussa Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Bruce K. Driver, " Compact and Fredholm Operators and the Spectral Theorem ", Analyysityökalut sovelluksilla , luku 35, s. 579-600.
Robert C. McOwen, " Fredholm teoria osittaisdifferentiaaliyhtälöistä täydellisissä Riemannin monissa ", Pacific J. Math. 87 , no. 1 (1980), 169-185.

Kirjallisuus

Shilov G.E. Matemaattinen analyysi. Erikoiskurssi. - M .: Nauka, 1961. - 436 s.