Hilbert-Poyin arvelu

Hilbert-Polyin hypoteesi on matemaattinen hypoteesi , joka tarjoaa yhden olemassa olevista lähestymistavoista Riemannin hypoteesin ratkaisemiseksi spektriteorian avulla . Sen on muotoillut unkarilainen matemaatikko György Pöya ja Ernst Hellingerin tarinan mukaan saksalainen matemaatikko David Hilbert [1] [2] [3] .

Hypoteesi osoittaa mahdollisen yhteyden Riemannin zeta-funktion ei-triviaalien nollien ja kvanttimekaniikan ilmiöiden välillä, ja se on muotoiltu seuraavasti [4] [5] [6] [7] : Riemannin zeta-funktion ei-triviaaliset nollat (niiden kuvitteelliset osat) vastaavat jonkin Hermitian operaattorin ominaisarvoja ( rajoittamattoman itseadjoint-operaattorin Hilbert-avaruudessa ).

Historia

Kirjeessä Andrew Odlyzhkollepäivätty 3. tammikuuta 1982 [3] (ainoa kirjallinen todiste siitä, että sen kirjoittajat periaatteessa esittivät Hilbert-Polyin hypoteesin [4] ) Poya kertoi, että ollessaan Göttingenissä noin 1912-1914 Edmund Landau pyysi häneltä kysymys [4] : "Voitko ajatella mitään fyysistä syytä, miksi Riemannin hypoteesi olisi totta?".

Ehdotettiin, että tämä on mahdollista , jos Riemannin zeta-funktion ei-triviaalien nollien imaginaariset osat ovat: $t$

{\tfrac {1}{2}}+it

vastaavat rajoittamattoman itseadjoint-operaattorin ominaisarvoja [3] . Varhaisin hypoteesin kirjallinen julkaisu näyttää olevan Montgomery ( 1973 ) [3] [8] .

1950-luku ja Selbergin jäljityskaava

Selberg osoitti 1950-luvun alussa kaksinaisuuden Riemannin pinnan spektrin pituuden ja sen laplalaisen pinnan ominaisarvojen välillä . Tämä ns. Selbergin jäljityskaava oli hämmästyttävän samankaltainen kuin eksplisiittiset kaavat, joka antoi uskottavuutta Hilbert-Polyin hypoteesille.

1970-luku ja satunnaismatriisit

Hugh Montgomery tutki ja havaitsi, että Riemannin zeta-funktion ei-triviaalien nollien tilastollisella jakaumalla kriittisellä viivalla on tietty ominaisuus, jota nyt kutsutaan Montgomeryn parikorrelaatiohypoteesiksi . Nollat eivät yleensä mene liian lähelle toisiaan, vaan pikemminkin hylkivät [8] . Vieraillessaan Institute for Advanced Studyssa vuonna 1972 Montgomery näytti tämän tuloksen Freeman Dysonille , yhdelle satunnaismatriisiteorian perustajista .

Dyson havaitsi, että Montgomeryn löytämä tilastollinen jakauma osoittautui samaksi kuin satunnaisen Hermitian matriisin ominaisarvojen parikohtainen korrelaatiojakauma. Nämä jakaumat ovat tärkeitä fysiikassa - Hamiltonin ominaistilat , esimerkiksi atomiytimen energiatasot , tyydyttävät tällaiset tilastot. Myöhemmät työt ovat vakuuttavasti vahvistaneet suhteen Riemannin zeta-funktion nollien jakauman ja Gaussin unitaarisen yhdistelmän satunnaisen Hermitian matriisin ominaisarvojen välillä , ja niiden uskotaan nyt noudattavan samoja tilastoja. Siten Hilbert-Polyin olettamuksella on nyt vakaampi perusta, vaikka se ei ole vielä johtanut Riemannin hypoteesin todisteeseen [9] .

Jatkokehitys

Kehitystyössä, joka antoi merkittävän sysäyksen tälle lähestymistavalle Riemannin hypoteesiin funktionaalisen analyysin avulla , Alain Connes muotoili jäljityskaavan, joka vastaa tehokkaasti Riemannin hypoteesia, mikä vahvisti analogiaa Selbergin jäljityskaavan kanssa niin, että se antoi tarkkoja lausuntoja. Conn antaa geometrisen tulkinnan eksplisiittisestä kaavastalukuteoria jäljityskaavoina adele - luokkien ei-kommutatiivisessa geometriassa [10] .

Mahdollinen yhteys kvanttimekaniikkaan

Mahdollisen yhteyden Hilbert-Polyi-operaattorin ja kvanttimekaniikan välillä totesi Poya itse. Hilbert–Polyi-hypoteesin operaattorilla on muoto , jossa on potentiaalin vaikutuksesta liikkuvan hiukkasen Hamiltonin . Riemannin hypoteesi vastaa sanomista, että Hamiltonin on hermiittinen , tai vastaa todellisuutta. ${\tfrac {1}{2}}+iH$ $H$ $m$ $V(x)$ $V$

Käyttäen ensimmäisen asteen häiriöteoriaa n :nnen ominaistilan energia on suhteessa potentiaalin odotukseen :

E_{n}=E_{n}^{0}+\left.\left\langle \varphi _{n}^{0}\right|V\left|\varphi _{n}^{0 }\oikea.\oikea\kulma

missä ja ovat vapaiden hiukkasten Hamiltonin ominaisarvot ja ominaistilat. Tätä yhtälöä voidaan pitää ensimmäisen tyyppisenä Fredholmin integraaliyhtälönä energioiden kanssa . Tällaiset integraaliyhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä ytimen solventtia , jossa potentiaali voidaan kirjoittaa muodossa $E_{n}^{0}$ ${\displaystyle \varphi _{n}^{0))$ $E_{n}$

V(x)=A\int _{-\infty }^{\infty }\left(g(k)+{\overline {g(k)))-E_{k}^{0}\ oikea)\,R(x,k)\,dk

missä on ytimen liuotti, on todellinen vakio ja $R(x,k)$ $A$

g(k)=i\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-\rho _{n}\right)\delta (kn)

missä on Diracin deltafunktio ja ovat zeta-funktion ei-triviaaleja nollia . $\delta (kn)$ $\rho _{n}$ $\zeta (\rho _{n})=0$

Michael Berry ja Jonathan Keatingehdotti, että Hamiltonin on itse asiassa jokin klassisen Hamiltonin kvantisointi , jossa on kanoninen liikemäärä , joka liittyy [11] . Yksinkertaisin hermiittinen operaattori, joka vastaa on $H$ $xp$ $s$ $x$ $xp$

H={\tfrac {1}{2}}(xp+px)=-i\left(x{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+{\frac {1}{2}}\oikea).

Tämä Hilbert-Polyin arvelun jalostus tunnetaan Berryn arveluna (tai Berry-Keatingin arveluna ). Nämä käsitteet ovat kaukana erityisestä, koska ei ole selvää, missä avaruudessa tämän operaattorin on toimittava oikean dynamiikan saavuttamiseksi tai miten se järjestellään saadakseen odotetut logaritmiset korjaukset. Berry ja Keating ehdottivat, että koska tämä operaattori on invariantti laajentuessa, ehkä kokonaisluvun rajaehto voi auttaa saamaan oikeat asymptoottiset tulokset, jotka ovat voimassa suurille $f(nx)=f(x)$ $n$ $n$

{\frac {1}{2}}+i{\frac {2\pi n}{\log n}}.

[12]

Maaliskuussa 2017 Carl M. Bender, Dorje S. Brodyja Markus P. Müller julkaisivat artikkelin [13] [14] , joka perustui Berryn lähestymistapaan ongelmaan, jossa operaattori esiteltiin

{\hat {H}}={\frac {1}{1-e^{-i{\hat {p}}}}}\left({\hat {x}}{\hat {p ))+{\hattu {p}}{\hattu {x}}\oikea)\vasen(1-e^{-i{\hattu {p}}}\oikea)

jonka he väittävät täyttävän jonkin muunnetun version Hilbert-Polyin oletuksen ehdoista. Jean Bellisard kritisoi tätä artikkelia [15] ja kirjoittajat antoivat selityksensä [16] . Lisäksi Frederick Moxley lähestyi ongelmaa käyttämällä Schrödingerin yhtälöä [17] .

Muistiinpanot

↑ Derbyshire, 2010 , luku 17. Hieman algebraa, s. 334-337.
↑ Endres, S. & Steiner, F. (2009), Berry-Keating-operaattori L 2 :ssa (R > ,dx) ja kompakteissa kvanttigraafisissa yleisissä itseadjoint-realisaatioissa , s. 37 , < https://arxiv.org/abs/0912.3183v5 > Arkistoitu 24. kesäkuuta 2021 Wayback Machinessa
↑ 1 2 3 4 Odlyzko, Andrew , Kirjeenvaihto Hilbert-Polyan arvelun alkuperästä. Arkistoitu 2. syyskuuta 2020 Wayback Machinessa
↑ 1 2 3 Derbyshire, 2010 , luku 17. Vähän algebraa, s. 335.
↑ Stewart, 2015 , luku 9. Alkulukumallit. Riemannin hypoteesi, s. 250-251.
↑ Trushechkin A. S. , Kvanttikaaos, jaksolliset kiertoradat ja Riemannin Zeta-funktio. Arkistoitu 21. tammikuuta 2022 Wayback Machinessa // Sovelluksen yhteenveto.
↑ Trushechkin A. S. , Videoraportti (2013) aiheista: kvanttimekaniikan aksioomit, kvanttimekaniikan ihme, kvanttitodennäköisyys, Heisenberg-Weyl-ryhmä, Feynman-polun integraalit, kvanttiteleportaatio, kvanttikaaos ja Riemann-funktio.
↑ 1 2 Montgomery, Hugh L. (1973), "Zeta-funktion nollien parikorrelaatio", Analyyttinen lukuteoria, Proc. Sympos. Pure Math., XXIV, Providence, RI: American Mathematical Society, s. 181-193, MR 0337821.
↑ Rudnick, Zeev ; Sarnak, Peter (1996), "Zeros of Principal L-functions and Random Matrix Theory", Duke Journal of Mathematics, 81 (2): 269-322, doi: 10.1215/s0012-7094-96-08115-6.
↑ Connes, Alain (1998), "Jäljityskaava ei-kommutatiivisessa geometriassa ja Riemannin zeta-funktion nollat", arXiv: math/9811068.
↑ Berry, Michael V .; Keating, Jonathan P. (1999a), "H = xp and the Riemann zeros", Keating, Jonathan P.; Khmelnitski, David E.; Lerner, Igor V. (toim.), Supersymmetry and Trace Formulae: Chaos and Disorder (PDF), New York: Plenum, pp. 355-367, ISBN 978-0-306-45933-7 .
↑ Berry, Michael V .; Keating, Jonathan P. (1999b), "The Riemann zeros and eigenvalue asymptotics" (PDF), SIAM Review, 41 (2): 236-266, Bibcode: 1999SIAMR..41..236B, doi: 10.1137/s0038.34449938.344.
↑ Bender, Carl M .; Brody, Dorje C .; Müller, Markus P. (2017), "Hamiltonin nollia Riemannin Zeta-funktiolle", Physical Review Letters, 118 (13), arXiv:1608.03679, Bibcode:2017PhRvL.118m0201B, doi:10.10.10.10.10.10.
↑ Kvanttimekaniikka ehdotti mahdollista todistetta Riemannin hypoteesille. . Haettu 19. marraskuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 25. syyskuuta 2020. (määrätön)
↑ Belissard, Jean (2017), "Kommentti aiheesta "Hamiltonin Riemannin Zeta-funktion nollia"", arXiv:1704.02644 [quant-ph]
↑ Bender, Carl M .; Brody, Dorje C .; Müller, Markus P. (2017), "Kommentti aiheesta "Hamiltonin Riemannin zeta-funktion nollia"", arXiv:1705.06767 [quant-ph].
↑ Moxley, Frederick (2017). "Schrödinger-yhtälö Bender-Brody-Müller-oletuksen ratkaisemiseksi". AIP-konferenssin tiedote. 1905:030024. Bibcode:2017AIPC.1905c0024M. doi: 10.1063/1.5012170.

Kirjallisuus

John Derbyshire . Yksinkertainen pakkomielle: Bernhard Riemann ja matematiikan suurin ratkaisematon ongelma. = Prime Obsession: Bernhard Riemann ja matematiikan suurin ratkaisematon ongelma. / per. englannista. A. M. Semikhatova. - M. : Astrel : CORPUS, 2010. - 464 s. - 5000 kappaletta. — ISBN 978-5-271-25422-2 .
Ian Stewart . Suurimmat matematiikan ongelmat. / per. englannista. N. Lisovoy. — M. : Alpina tietokirjallisuus, 2015. — 460 s. - 5000 kappaletta. - ISBN 978-5-91671-318-3 .