Operaattorin teoria

Operaattoriteoria on funktionaalisen analyysin haara , joka tutkii jatkuvien lineaaristen kuvausten ominaisuuksia normaavuuksien välillä . Yleisesti ottaen operaattori on äärellisulotteisen avaruuden tavallisimman funktion tai matriisin analogi. Mutta operaattori voi toimia myös äärettömässä ulottuvuudessa.

Mappausta vektoriavaruudesta vektoriavaruuteen kutsutaan lineaariseksi if - operaattoriksi mille tahansa ja in ja mille tahansa skalaarille ja . Usein kirjoitettu sen sijaan . Lineaarista operaattoria normaaliavaruudesta normaaliavaruuteen sanotaan olevan rajoitettu, jos on olemassa positiivinen reaaliluku siten, että kaikille in . Pienintä vakiota , joka täyttää tämän ehdon, kutsutaan operaattorin normiksi ja sitä merkitään . On helppo nähdä, että normaaliavaruuden välinen lineaarinen operaattori on rajoitettu silloin ja vain, jos se on jatkuva . Termi "operaattori" tarkoittaa funktionaalisessa analyysissä yleensä rajoitettua lineaarista operaattoria . $T$ $X$ $Y$ $T(\alpha x+\beta y)=\alpha T(x)+\beta T(y)$ $x$ $y$ $X$ $\alpha$ $\beeta$ $Tx$ $T(x)$ $X$ $Y$ $M$ $\lVert Tx\rVert \leqslant M\lVert x\rVert$ $x$ $X$ $M$ $T$ $\lVert T\rVert$

Kaikkien (rajoitetun lineaarisen) operaattoreiden joukko normiavaruudesta normaaliavaruuteen on merkitty . Siinä tapauksessa, että he kirjoittavat . Jos on Hilbert-avaruus , niin yleensä kirjoitetaan sen sijaan . Käytössä , Voidaan esitellä vektoriavaruuden rakenne ja , jossa , , ja on mielivaltainen skalaari. Käyttöön otetulla operaattorinormilla se muuttuu normoiduksi tilaksi . $X$ $Y$ $L(X,\;Y)$ $X=Y$ $L(X)$ $L(X,\;X)$ $H$ $B(H)$ $L(H)$ $L(X,\;Y)$ $(T+S)x=Tx+Sx$ $(\alpha T)x=T(\alpha x)=\alpha (Tx)$ $T,\;S\in L(X,\;Y)$ $x,\;y\X:ssä$ $\alpha$ $L(X,\;Y)$

Erityisesti ja mille tahansa ja mielivaltaiselle skalaarille . Välilyönti on Banach , jos ja vain jos se on Banach . $\lVert S+T\rVert \leqslant \lVert S\rVert +\lVert T\rVert$ $\lVert \alpha T\rVert =\left|\alpha \right|\cdot \lVert T\rVert$ $T,\;S\in L(X,\;Y)$ $\alpha$ $L(X,\;Y)$ $Y$

Olkoon ja oltava normivälit, ja . Koostumus ja merkitään ja kutsutaan tuloksi operaattorit ja . Samaan aikaan ja . Jos on Banach-avaruus , tuotteella varustettuna on Banachin algebra . $X,\;Y$ $Z$ $S\in L(X,\;Y)$ $T\in L(Y,\;Z)$ $S$ $T$ $TS$ $S$ $T$ $TS\in L(X,\;Z)$ $\lVert TS\rVert \leqslant \lVert T\rVert \cdot \lVert S\rVert$ $X$ $L(X)$

Operaattoreiden teoriassa on useita pääosia:

Spektriteoria tutkii operaattorin spektriä .
Operaattoriluokat. Erityisesti tutkitaan kompakteja operaattoreita , Fredholm-operaattoreita , isomorfismeja , isometrioita , tiukasti singulaarioperaattoreita jne. Myös rajattomia operaattoreita ja osittain määriteltyjä operaattoreita, erityisesti suljettuja operaattoreita , tutkitaan .
Operaattoreita erityisissä normaaleissa tiloissa.
- Hilbert - avaruuksissa he tutkivat itseadjungoituja , normaaleja , unitaarisia , positiivisia operaattoreita jne.
- Funktioavaruuksista : differentiaali- , pseudo -differentiaali- , integraali- ja pseudointegraalioperaattorit ; kerto- , substituutio- , paino - korvausoperaattorit jne.
- Banach-hiloissa : positiiviset operaattorit , säännölliset operaattorit jne.
Operaattoreiden joukot (eli osajoukot ): operaattorialgebrat , operaattorin puoliryhmät jne. $L(X)$
Invarianttien aliavaruuksien teoria .

Kirjallisuus

Sadovnichiy V. A. Operaattoreiden teoria. - M .: Moskovan kustantamo. unta, 1979.
Dunford N., Schwartz J. Lineaariset operaattorit. Yleinen teoria. - M.: IL, 1962. - 896 s.
Dunford N., Schwartz J. Lineaariset operaattorit. Spektriteoria. — M.: Mir. 1966. - 1064 s.