Positiivinen operaattori (Hilbert-avaruus)

Positiivinen operaattori Hilbert-avaruudessa on lineaarinen operaattori , joka on jokaiselle Hilbert-avaruudelle. Käytä positiiviselle operaattorille merkintää [1] . Joskus nolla-operaattoria ei luokitella positiiviseksi operaattoriksi ja se kirjoitetaan , jos operaattori on positiivinen ja jos se on positiivinen tai nolla. [2] $A$ $(Ax, x) \ge 0$ $x$ $A\ge0$ $A>0$ $A$ $A\ge0$ $A$

Rajoitettu positiivinen operaattori on itseadjungoitu ja sen spektri on positiivisella puoliakselilla ja tämä on välttämätön ja riittävä ehto [1] . Rajoittamaton positiivinen operaattori on symmetrinen ja sallii itseadjoint-laajennuksen, joka on myös positiivinen operaattori [3] [4] . $[0, \infty)$

Ominaisuudet

Seuraavat ominaisuudet koskevat rajoitettuja lineaarisia operaattoreita .

Jos operaattori ja reaaliluku , niin . $A\ge0$ $\alpha \ge 0$ $\alpha A\ge 0$
Jos käänteinen operaattori on myös olemassa, niin . $A\ge0$ $A^{{-1}}$ $A^{-1} \ge 0$
$A^* A \ge 0, \, AA^* \ge 0$ mille tahansa lineaarioperaattorille . Erityisesti kaikille itsenäisille käyttäjille . Siksi mikä tahansa projektiooperaattori [2] voi toimia esimerkkinä positiivisesta operaattorista . $A$ $A^2 \ge 0$ $A$
Kahden muuttuvan positiivisen operaattorin tulo on myös positiivinen operaattori [5] .
Positiiviselle operaattorille ja kaikille Hilbert-avaruuden elementeille yleistetty Schwartzin epäyhtälö pätee : $A$ $x,y$

|(A x, y)|^2 \le (A x, x) (A y, y)

[6] .

Neliöjuuri

Jokaisella rajoitetulla positiivisella operaattorilla on ainutlaatuinen positiivinen neliöjuuri , eli operaattori , joka . Jos operaattori on käännettävä , se on myös käännettävä. Neliöjuuri kommutoidaan millä tahansa operaattorilla, joka voidaan vaihtaa [7] [8] . $A$ $B$ $B^2 = A$ $A$ $B$ $B$ $A$

Napalaajennus

Jokaisella rajoitetulla lineaarisella operaattorilla Hilbert- avaruudessa on dekompositio , jossa on positiivinen operaattori ja osittainen isometria. Jos on normaali operaattori , niin napahajotelman operaattori on unitaarinen . $T$ $T = YLÖS$ $P$ $U$ $T$ $U$

Tilaussuhde

Symmetristen operaattoreiden joukkoon otetaan käyttöön osittaisjärjestysrelaatio : tai jos operaattori on positiivinen, toisin sanoen jollekin Hilbert - avaruudesta . Tällä järjestyssuhteella on seuraavat ominaisuudet. $A\ikä B$ $B \le A$ $A-B$ $(A x, x) \ge (B x, x)$ $x$

Jos ja , niin sitten . $A\ikä B$ $C\ge D$ $A + C \ge B + D$
Jos ja , niin sitten . $A\ikä B$ $B \ge C$ $A \ge C$
Jos ja , niin sitten . $A\ikä B$ $c>0$ $c A \ge c B$
Mikä tahansa monotonirajoitettu symmetristen operaattorien sarja konvergoi johonkin symmetriseen operaattoriin [2] [6] .

Puolirajoitettu operaattori

Symmetristä operaattoria kutsutaan alemmaksi puolirajoitteiseksi, jos on olemassa sellainen reaaliluku $S$ $c$

(S x, x) \ge c(x, x)

mille tahansa operaattorin alalle ; suurinta kaikista arvoista , joille tämä epäyhtälö pätee, kutsutaan operaattorin infimumiksi . Ylempi puolirajoitettu operaattori ja sen yläraja [9] määritellään samalla tavalla . $x$ $S$ $c$ $S$

Positiivinen operaattori on erikoistapaus operaattorista, joka on puolirajoitettu alla. Toisaalta mikä tahansa puolirajoitettu operaattori voidaan ilmaista positiivisena operaattorina jollakin seuraavista kaavoista: $P$

S = P + cI, \quad S = -P + cI,

missä on identiteettioperaattori [10] . $minä$

Friedrichin laajennus. Mikä tahansa puolirajoitettu symmetrinen operaattori (erityisesti positiivinen operaattori) voidaan laajentaa jollekin puolirajoitteiselle itseadjoint-operaattorille , jolloin operaattorilla on sama (ylä- tai alaraja) kuin [11] . $S$ $A$ $A$ $S$

Äärillisulotteisen avaruuden tapaus

Symmetristä operaattoria (operaattoria, jolla on symmetrinen matriisi ) euklidisessa avaruudessa kutsutaan ei-negatiiviksi , jos jollekin . Tässä tapauksessa neliömuotoa kutsutaan ei-negatiiviseksi ja operaattorimatriisia ei - negatiiviseksi . $S$ $R$ $(S x, x) \ge 0$ $x\in R$ $(S x, x)$ $S$

Symmetristä operaattoria kutsutaan positiiviseksi määrätyksi , jos mille tahansa vektorille . Tässä tapauksessa neliömuotoa ja operaattorimatriisia kutsutaan positiivisiksi definiteiksi . $S$ $x \ne 0$ $R$ $(S x, x) > 0$ $(S x, x)$ $S$

Sylvester-kriteerillä [12] on mahdollista määrittää, onko matriisi positiivinen vai ei-negatiivinen definiitti .

Esimerkki

Esimerkki operaattorista, joka on puolirajoitettu alla, on Sturm-Liouville-operaattori

A u(x) = -(p(x)u'(x))' + q(x) u(x),

missä

p(x) \ge 0, \quad q(x) \ge q_0, \quad (0 \le x \le 1),

jos sitä tarkastellaan avaruudessa $L_2(0, 1)$ funktion määritelmäalueeseen viitaten , kahdesti jatkuvasti differentioituva ja ehdot täyttävä $u(x)$

u(0) = 0, \quad u'(1) + hu(1) = 0,

missä on jokin vakio ; funktioiden oletetaan myös olevan jatkuvia . Itse asiassa se voidaan varmistaa suoralla laskelmalla $h\ge0$ $p(x), p'(x), q(x)$

(A u, u) = hp(1) |u(1)|^2 + \int\limits_0^1 p(x) |u'(x)|^2 dx + \int\limits_0^1 q(x) ) |u(x)|^2 dx \ge \int\limits_0^1 q_0 |u(x)|^2 dx = q_0 (u, u).

Jos , niin operaattori on positiivinen [11] . $q_0 \ge0$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 Rudin U. Funktionaalinen analyysi, 1975 , s. 12.32.
↑ 1 2 3 Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Funktionaalisen analyysin elementit, 1965 , s. 317.
↑ Shulman V.S., Lomonosov V.I. Positiivinen operaattori // Mathematical Encyclopedia : [5 osassa] / Ch. toim. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1984. - T. 4: Ok - Slo. - 1216 jne. : sairas. - 150 000 kappaletta.
↑ Tarkkaan ottaen rajattoman operaattorin tapauksessa määritelmän epäyhtälö otetaan kaikille symmetrisen operaattorin alueelta , joka on tiheä koko Hilbert-avaruudessa. $(A x, x) \ge 0$ $x$ $A$
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Funktionaalisen analyysin elementit, 1965 , s. 318.
↑ 1 2 Riess F., Sökefalvi-Nagy B. Lectures on Functional Analysis, 1979 , s. 104.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Funktionaalisen analyysin elementit, 1965 , s. 320.
↑ Rudin W. Funktionaalinen analyysi, 1975 , s. 12.33.
↑ Akhiezer N. I., Glazman I. M. Lineaaristen operaattoreiden teoria Hilbert-avaruudessa, 1966 .
↑ Riess F., Sökefalvi-Nagy B. Lectures on Functional Analysis, 1979 , s. 122.
↑ 1 2 Riess F., Sökefalvi-Nagy B. Lectures on Functional Analysis, 1979 , s. 124.
↑ Gantmakher F. R. Matriisiteoria. - Toim. 2., lisä .. - M . : Nauka, Ch. toim. Fys.-Math. lit., 1966.

Kirjallisuus

Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. Funktionaalisen analyysin elementit. - Toim. 2., tarkistettu .. - M . : Nauka, 1965. - 520 s.
Rudin W. Funktionaalinen analyysi. - M . : Mir, 1975. - 444 s.
Riess F. , Sökefalvi-Nagy B. Luennot funktionaalisesta analyysistä. - M .: Mir, 1979. - 592 s.
Akhiezer N. I. , Glazman I. M. Lineaaristen operaattoreiden teoria Hilbert-avaruudessa. - Toim. 2., tarkistettu. ja muita .. - Tiede, ch. toim. fysiikka ja matematiikka lit., 1966. - 543 s.