Permutaatiooperaattorit

Permutaatiooperaattorit ovat rajoitettu lineaarinen operaattori ja lineaarinen operaattori , joille operaattori on operaattorin jatke : . Jos operaattorit ja on määritelty koko avaruudessa (lisäksi ne eivät välttämättä ole rajoitettuja ), ne liikkuvat jos . Tässä tapauksessa permutaatiooperaattoreita kutsutaan myös commutingiksi [1] . Yleisessä tapauksessa yhtäläisyyttä on hankala käyttää permutaation määritelmänä, koska silloin edes käänteisoperaattori ei permutoidu kanssa, jos sitä ei ole määritelty koko avaruudessa - niin operaattoreilla ja on eri määrittelyalueet . Joskus permutaatiooperaattorit käyttävät merkintää: tai [2] [3] . $B$ $T$ $TV$ $BT$ $BT\subseteq TB$ $B$ $T$ $BT=TB$ $BT=TB$ $B^{{-1}}$ $B$ $B^{{-1}}$ $BB^{-1}$ $B^{-1}B$ $B\cup T$ $B\smile T$

Ominaisuudet

Jos operaattori liikennöi :lla ja kanssa , niin se myös liikkuu :lla ja . $B$ $T_{1}$ $T_{2}$ $B$ $T_{1}+T_{2}$ $T_{1}T_{2}$
Jos liikennöi :lla ja liikennöi kanssa , niin operaattorit ja commute kanssa . $B_1$ $T$ $B_{2}$ $T$ ${\näyttötyyli B_{1}+B_{2))$ ${\displaystyle B_{1}B_{2))$ $T$
Jos liikennöi kanssa ja on olemassa , niin liikennöi kanssa . $B$ $T$ $T^{-1}$ $B$ $T^{-1}$
Jos permutettavissa jokaisella operaattorilla , niin permutoitava kanssa . $B$ $T_{n}\,(n=1,2,\pisteet )$ $B$ $\lim \limits _{n\to \infty }T_{n}$
Jos kukin operaattoreista liikennöi kanssa , niin se liikennöi kanssa oletuksen mukaisesti, joka on rajoitettu ja suljettu . $B_{n}\,(n=1,2,\pisteet )$ $T$ ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }B_{n))$ $T$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }B_{n))$ $T$
Jos se liikkuu kanssa ja adjoint-operaattori on olemassa, se liikennöi [3] :lla . $B$ $T$ $T^{*}$ $B^{*}$ $T^{*}$

Äärillisulotteisen avaruuden tapaus

Äärillisulotteisessa avaruudessa permutaatiooperaattorit vastaavat permutaatiomatriiseja : . Frobenius-tehtävä on määrittää kaikki matriisit , jotka liikkuvat tietyn matriisin kanssa . Kaikilla Frobenius-ongelman ratkaisuilla on muoto $AB=BA$ $X$ $A$

X=UX_{A}U^{-1},

missä on mielivaltainen matriisi , joka kommutee kanssa , on matriisi , joka johtaa normaaliin Jordan - muotoon : . Frobenius -tehtävän lineaarisesti riippumattomien ratkaisujen lukumäärä määritetään kaavalla: $X_{A}$ $A$ $U$ $A$ $J$ $A=UJU^{-1}$

N=n_{1}+3n_{2}+\pisteet +(2t-1)n_{t},

missä ovat matriisin ei-vakioiden invarianttien polynomien asteet . ${\displaystyle n_{1},n_{2},\dots ,n_{t))$ $i_{1}(\lambda ),i_{2}(\lambda ),\dots ,i_{t}(\lambda )$ $A$

Jos äärellisulotteisen avaruuden lineaariset operaattorit ovat pareittain muuttuvia, niin koko avaruus voidaan jakaa aliavaruuksiin , jotka ovat invariantteja kaikkien operaattoreiden kohdalla : ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{m))$ $R$ $R$ $A_{i}$

{\displaystyle R=I_{1}+I_{2}+\pisteet +I_{m))

niin, että minkä tahansa näiden aliavaruuksien minimipolynomi minkä tahansa operaattorin suhteen on redusoitumattoman polynomin aste [ 4] . $A_{i}$

Permutaatiooperaattoreilla on aina yhteinen ominaisvektori [5] . Kun on annettu äärellinen tai ääretön joukko pareittain muuttuvia normaalioperaattoreita unitaarisessa avaruudessa , niin kaikilla näillä operaattoreilla on täydellinen ortonormaali yhteisten ominaisvektorien järjestelmä . Matriisien kannalta tämä tarkoittaa, että mikä tahansa äärellinen tai ääretön joukko parittaisia permutaatiomatriiseja voidaan pelkistää diagonaalimuotoon samalla unitaarimuunnolla [6] . $A_{1},A_{2},\dots$

Katso myös

Täydellinen työmatkahavaintojärjestelmä

Muistiinpanot

↑ Gantmakher, 1966 , s. 263.
↑ Wojciechowski, 1984 .
↑ 1 2 Riess, 1979 , s. 116.
↑ Gantmakher, 1966 , luku VIII, § 2.
↑ Gantmakher, 1966 , s. 245.
↑ Gantmakher, 1966 , luku IX, §15.

Kirjallisuus

Voitsekhovsky M.I. Permutaatiooperaattorit // Matemaattinen tietosanakirja : [5 osassa] / Ch. toim. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1984. - T. 4: Ok - Slo. - 1216 jne. : sairas. - 150 000 kappaletta.
Riess F. , Sökefilvi-Nagy B. Luennot funktionaalisesta analyysistä. - M .: Mir, 1979. - 592 s.
Gantmakher F. R. Matriisiteoria. - Toim. 2., lisä .. - M . : Nauka, Ch. toim. Fys.-Math. lit., 1966.
Suprunenko D. A. , Tyshkevich R. I. Permutaatiomatriisit. - Minsk: Tiede ja tekniikka, 1966. - 2500 kappaletta.