Homogeeninen toiminto

Homogeeninen astefunktio on numeerinen funktio , jossa yhtäläisyys on totta mille tahansa funktion alueelle ja mille tahansa funktiolle: $q$ $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}$ $f$ $\lambda \in \mathbb {R}$

f(\lambda \mathbf {v} )=\lambda ^{q}f(\mathbf {v} ).\qquad \qquad (*)

Parametria kutsutaan homogeenisuusasteeksi . Tarkoituksena on olettaa, että jos se sisältyy funktion alueeseen, niin kaikki näkökulmat sisältyvät myös funktion verkkoalueeseen. $q$ $\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}$ $\lambda \mathbf {v}$

Siellä on myös

positiivisesti homogeeniset funktiot , joiden tasa-arvo pätee vain positiivisiin $(*)$ $\lambda$ $(\lambda >0),$
ehdottoman homogeeniset funktiot , joille tasa-arvo pätee
$f(\lambda \mathbf {v} )=|\lambda |^{q}f(\mathbf {v} ),$
rajallisesti homogeeniset funktiot , joille tasa-arvo pätee vain joihinkin erottuviin arvoihin $(*)$ $\lambda ,$
monimutkaiset homogeeniset funktiot , joille yhtäläisyys on totta ja tai (sekä monimutkaisille eksponenteille ). $f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}$ $(*)$ $\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}$ $\lambda \in \mathbb {R}$ $\lambda \in \mathbb {C}$ $q\in \mathbb {C}$

Vaihtoehtoinen homogeenisen funktion määritelmä

Joissakin matemaattisissa lähteissä funktioita kutsutaan homogeenisiksi, jotka ovat funktionaalisen yhtälön ratkaisu

f ( λ v ) = g ( λ ) f ( v ) {\displaystyle f(\lambda \mathbf {v} )=g(\lambda )f(\mathbf {v} )}

f(\lambda \mathbf {v} )=g(\lambda )f(\mathbf {v} )

ennalta määrätyllä funktiolla ja vasta sitten todistetaan, että ratkaisun ainutlaatuisuus vaatii lisäehdon, että funktio ei ole identtinen nolla ja että funktio kuuluu tiettyyn funktioluokkaan (esimerkiksi oli jatkuva tai oli monotoninen) . Jos funktio on kuitenkin jatkuva ainakin yhdessä pisteessä, jossa funktion arvo on nollasta poikkeava, niin sen on oltava jatkuva funktio kaikille arvoille ja siten laajalle funktioluokalle tapaus on ainoa mahdollinen tapaus.

g(\lambda )

g(\lambda )=\lambda ^{q}.

{\displaystyle g(\lambda )=\lambda ^{q))

f(\mathbf {v} )

g(\lambda )

f(\mathbf {v} )

g(\lambda )

\lambda ,

f(\mathbf {v} )

{\displaystyle g(\lambda )\equiv \lambda ^{q))

Perustelut:

Funktio, joka on identtinen nollan kanssa, täyttää funktionaalisen yhtälön mille tahansa funktion valinnalle, mutta tämä rappeutunut tapaus ei ole erityisen kiinnostava. $f(\lambda \mathbf {v} )=g(\lambda )f(\mathbf {v} )$ $g(\lambda ),$

Jos arvo jossain vaiheessa on : ${\mathbf {v}}_{0}$ $f(\mathbf {v} _{0})\neq 0,$

$g(\lambda _{1}\lambda _{2})f(\mathbf {v} _{0})=f(\lambda _{1}\lambda _{2}\mathbf {v} _{0})=g(\lambda _{1})f(\lambda _{2}\mathbf {v} _{0})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{2 })f(\mathbf {v} _{0})$ , missä: ∀ λ yksi , λ 2 : g ( λ yksi λ 2 ) = g ( λ yksi ) g ( λ 2 ) ; {\displaystyle \forall \lambda _{1},\lambda _{2}:g(\lambda _{1}\lambda _{2})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{ 2});} $\forall \lambda _{1},\lambda _{2}:g(\lambda _{1}\lambda _{2})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{ 2});$
$g(\lambda _{1}\lambda _{2})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{2})\Leftrightarrow G(\mu _{1}+\mu _{2})=G(\mu _{1})+G(\mu _{2}),$ missä $\mu =\log \lambda ,G(\mu )=\log g(\exp(\mu )).$

Funktionaalisella Cauchyn yhtälöllä on ratkaisu lineaarifunktion muodossa: lisäksi jatkuvien funktioiden luokalle tai monotonisten funktioiden luokalle tämä ratkaisu on ainutlaatuinen. Siksi, jos tiedetään, että jatkuva tai monotoninen funktio, niin $G(\mu _{1}+\mu _{2})=G(\mu _{1})+G(\mu _{2})$ $G(t)=q\cdot t,$ $g(\lambda )$ $g(\lambda )\equiv \lambda ^{q}.$

Todistus funktionaalisen Cauchyn yhtälön ratkaisun ainutlaatuisuudesta 1. Järkevällä tavalla se on totta , koska:

{\näyttötyyli t=m/n}

G(t\mu )=t\cdot G(\mu ),

a) eli

G(2\mu )=G(\mu +\mu )=G(\mu )+G(\mu )=2G(\mu ),

G(2\mu )=2G(\mu );

b) eli

2G(\mu /2)=G(\mu /2)+G(\mu /2)=G(\mu /2+\mu /2)=G(\mu ),

G(\mu /2)=(1/2)G(\mu );

jne.; 2. Koska irrationaaliset luvut, jotka voidaan mielivaltaisesti "puristaa" kahden rationaalisen luvun väliin, jatkuville tai monotonisille funktioille, relaatio on täytettävä myös irrationaalisille

G(t\mu )=t\cdot G(\mu )

t;

3. Viimeinen vaihe: suhde tulee asettaa

G(t\mu )=t\cdot G(\mu )

\mu =1.

Huomaa: laajemmille funktioluokille tarkasteltavalla funktionaalisella yhtälöllä voi olla myös muita, hyvin eksoottisia ratkaisuja (katso artikkeli "Hamelin perusteet" ). Todistus jatkuvuudesta, jos se on jatkuvaa vähintään yhdessä pisteessä

g(\lambda ),

f(\mathbf {v} )

Olkoon funktio jatkuva kiinteässä pisteessä ja harkitse identiteettiä $f(\mathbf {v} )$ $\mathbf {v} _{0},$ $f(\mathbf {v} _{0})\neq 0.$

f((1+\varepsilon )\lambda _{0}\mathbf {v} _{0})=g((1+\varepsilon )\lambda _{0})f(\mathbf {v} _{0})=g(\lambda _{0})f((1+\varepsilon )\mathbf {v} _{0}).

Kun arvolla on taipumus johtua funktion jatkuvuudesta pisteessä Siitä lähtien tämä tarkoittaa, että se pyrkii , eli että funktio on jatkuva pisteessä Koska sen voi valita kuka tahansa, niin se on jatkuva kaikissa pisteissä . $\varepsilon \to 0$ $f((1+\varepsilon )\mathbf {v} _{0})$ $f(\mathbf {v} _{0})$ $f(\mathbf {v} )$ $\mathbf {v} _{0}.$ $f(\mathbf {v} _{0})\neq 0,$ $g((1+\varepsilon )\lambda _{0})$ $g(\lambda _{0}),$ $g(\lambda )$ $\lambda _{0}.$ $\lambda _{0}$ $g(\lambda )$

Seuraus: Jos homogeeninen funktio on jatkuva jossakin pisteessä, se on myös jatkuva muodon kaikissa kohdissa (mukaan lukien milloin ). $f(\mathbf {v} )$ $\mathbf {v} _{0},$ $f(\mathbf {v} )$ ${\displaystyle \lambda \mathbf {v} _{0))$ $f(\mathbf {v} _{0})=0$

Ominaisuudet

Jos homogeeniset funktiot ovat samaa kertaluokkaa, niin niiden

lineaarinen yhdistelmä vakiokertoimien kanssa on samaa kertaluokkaa oleva homogeeninen funktio

f_{1},f_{2},\dots

q,

q.

Jos ovat homogeenisiä funktioita tilausten kanssa, niin niiden tuote on homogeeninen funktio järjestyksen kanssa

f_{1},f_{2},\dots

q_{1},q_{2},\dots ,

q=q_{1}+q_{2}+\pisteet .

Jos on homogeeninen järjestysfunktio, niin sen th potenssi (ei välttämättä kokonaisluku), jos sillä on järkeä (eli jos on kokonaisluku tai jos arvo on positiivinen), on homogeeninen järjestysfunktio vastaavalla alueella. Erityisesti, jos on järjestyksen homogeeninen funktio , niin se on järjestyksen ja määritelmäalueen homogeeninen funktio kohdissa, joissa on määritelty eikä se ole nolla.

f

q,

m

m

f

mq

f

q

1/f

{\näyttötyyli (-q)}

f

Jos on homogeeninen järjestyksen funktio ja ovat homogeenisia järjestyksen funktioita, niin funktioiden superpositio on järjestyksen homogeeninen funktio

f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)

p,

h_{k}\left(y_{1},y_{2},\dots ,y_{m}\right)

q,

F\left(y_{1},y_{2},\dots ,y_{m}\right)=f\left(h_{1},h_{2},\dots ,h_{n}\ oikein)

pq.

Jos on astemuuttujien homogeeninen funktio ja hypertaso kuuluu sen määritelmäalueeseen, niin muuttujien funktio on homogeeninen astefunktio

f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)

n

p,

x_{1}=x_{2}=\dots =x_{j}=0

\left(nj\right)

g\left(x_{j+1},x_{j+2},\dots ,x_{n}\right)=f\left(0,\pisteet ,0,x_{j+1}, \pisteet ,x_{n}\oikea)

s.

Nolla-asteen homogeenisen funktion logaritmi tai nolla-asteen homogeenisen funktion

moduulin logaritmi on nolla-asteen homogeeninen funktio. Homogeenisen funktion logaritmi tai homogeenisen funktion moduulin logaritmi on homogeeninen funktio silloin ja vain, jos itse funktion homogeenisuusaste on nolla.

Homogeenisen funktion

moduuli tai absoluuttisen homogeenisen funktion moduuli on ehdottoman homogeeninen funktio. Homogeenisen funktion moduuli tai positiivisesti homogeenisen funktion moduuli on positiivisesti homogeeninen funktio. Nolla-asteen homogeenisen funktion moduuli on nolla-asteen homogeeninen funktio. Absoluuttisesti homogeeninen nolla-asteen funktio on nolla-asteen homogeeninen funktio ja päinvastoin.

Nolla-asteen homogeenisen funktion mielivaltainen funktio on nolla-asteen homogeeninen funktio.

Jos ovat positiivisesti homogeenisia järjestysfunktioita, joissa a on positiivisesti homogeeninen järjestysfunktio, niin funktio on positiivisesti homogeeninen järjestysfunktio kaikissa kohdissa , joissa yhtälöjärjestelmällä ... on ratkaisu. Jos lisäksi on pariton kokonaisluku, niin positiivinen homogeenisuus voidaan korvata tavallisella homogeenisuudella. Johtopäätös: jos on jatkuva tai monotoninen funktio ja se on homogeeninen tai positiivisesti homogeeninen funktio, jossa on homogeeninen tai positiivisesti homogeeninen funktio , joka ei ole nollakertainen , niin on tehofunktio kaikissa kohdissa , joissa yhtälöllä on ratkaisu. Erityisesti on yhden muuttujan ainoa monotoninen tai jatkuva funktio, joka on homogeeninen järjestyksen funktio . (Todistuksessa toistetaan argumentit tämän artikkelin osiosta "Homogeenisen funktion vaihtoehtoinen määritelmä". Lisäksi, jos poistamme rajoituksen siitä, että funktio on jatkuva tai yksitoikkoinen, funktiolle voi olla muita, erittäin eksoottisia ratkaisuja , katso artikkeli "Hamelin perusta" .)

h_{k}\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)

p,

p\neq 0,

f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=g\left(h_{1},h_{2},\dots ,h_{m}\ oikein)

q,

g\left(y_{1},y_{2},\dots ,y_{m}\right)

q/p

y

y_{1}=h_{1}\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)

y_{m}=h_{m}\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)

p

g(y)

g\left(f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)\right)

f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)

{\displaystyle g(y)=cy^{m))

y

y=f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)

{\displaystyle f(x)=cx^{q))

q

g(y)

g(y)

Jos funktio on muuttujien polynomi , niin se on homogeeninen astefunktio silloin ja vain jos on homogeeninen astepolynomi.Erityisesti tässä tapauksessa homogeenisuusasteen tulee olla luonnollinen luku tai nolla. (Todistusta varten täytyy ryhmitellä yhteen polynomin monomit , joilla on sama homogeenisuusaste , korvattava tulos yhtälöllä ja käytettävä sitä tosiasiaa, että potenssifunktiot , joilla on eri eksponentit, mukaan lukien ei-kokonaisluvut, ovat lineaarisesti riippumattomia.) Lausunto voidaan yleistää tapaukseen, jossa on lineaarisia monomiyhdistelmiä , joissa on ei-kokonaislukuindeksit.

f

n

q

f

q.

q

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

{\displaystyle k_{j}=i_{1}+i_{2}+\pisteet +i_{n))

(*)

\lambda ^{k_{1)),\lambda ^{k_{2)),\dots

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

Jos polynomien äärellinen tulo on homogeeninen funktio, niin jokainen tekijä on homogeeninen polynomi . (Todistuksen vuoksi valitaan jokaiseen tekijään monomit , joilla on minimi- ja maksimihomogeenisuusaste . Koska kertolaskujen jälkeen tuloksena olevan polynomin tulee koostua monomeista , joilla on sama homogeenisuusluokka, niin kullekin tekijälle minimi- ja maksimihomogeenisuusasteet. on oltava sama luku.) Väite voidaan yleistää muodon monomien lineaarisille yhdistelmille ei-kokonaislukuindeksien kanssa.

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

{\displaystyle k=i_{1}+i_{2}+\pisteet +i_{n))

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

Jos murto-osan rationaalisen funktion osoittaja ja nimittäjä ovat homogeenisia polynomeja , funktio on homogeeninen homogeenisuusasteella, joka on yhtä suuri kuin osoittajan ja nimittäjän homogeenisuusasteiden välinen ero. Jos murto-osainen rationaalinen funktio on homogeeninen, sen osoittaja ja nimittäjä yhteiseen tekijään asti ovat homogeenisia polynomeja . Väite voidaan yleistää tapaukseen, jossa on muodoltaan ei-kokonaislukuindeksien ja monomiaalien lineaaristen yhdistelmien murto-rationaalinen suhde .

f={\frac {P_{n}(x_{1},\pisteet ,x_{n})}{Q_{m}(x_{1},\pisteet ,x_{m)))))

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

Nollasta poikkeava homogeeninen funktio nollassa on yhtä suuri kuin nolla, jos se määritellään siellä: (Se saadaan korvaamalla arvo yhtäläisyydellä tai negatiivisen homogeenisuusasteen tapauksessa arvolla ) Homogeeninen asteen funktio nolla, jos se on määritetty nollaksi, voi saada minkä tahansa arvon tässä vaiheessa.

f(\mathbf {0} )=0.

(*)

\lambda =0

\mathbf {v} =0.

Jos nolla-asteen homogeeninen funktio on jatkuva nollassa, niin se on vakio (mielivaltainen). Jos negatiivisen asteen homogeeninen funktio on jatkuva nollassa, niin se on identtisesti nolla. (Muunnosta voi tuoda minkä tahansa pisteen niin lähelle nollaa kuin haluat. Siksi, jos funktio nollassa on jatkuva, voit ilmaista funktion arvon pisteessä sen pisteen arvon kautta käyttämällä relaatiota )

\mathbf {v'} =\lambda \mathbf {v}

\mathbf{v}

\mathbf{v}

\mathbf {0}

\lim _{\lambda \to 0}\lambda ^{q}f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {0} ).

Homogeeninen funktio, jolla on positiivinen aste nollassa, pyrkii nollaan mihin tahansa suuntaan, joka tulee sen määritelmäalueeseen, ja negatiivisen asteen homogeeninen funktio pyrkii äärettömyyteen, jonka etumerkki riippuu suunnasta, ellei funktio ole identtinen nolla annettua pitkin suunta. Positiivisen asteen homogeeninen funktio on jatkuva nollassa tai se voidaan laajentaa jatkuvaksi nollassa, jos sen määritelmäalue sisältää nollan lähialueen. Nolla-asteen homogeeninen funktio voi olla joko epäjatkuva tai jatkuva nollassa, ja jos epäjatkuva on suunnasta riippuva vakio jokaisella säteellä, jonka kärki on origossa, jos suunta on sen määritelmäalueen sisällä. (Se saadaan korvaamalla arvo tasa -arvolla )

\varepsilon

(*)

\lambda \to 0.

Jos homogeeninen funktio nollassa on analyyttinen (eli laajenee suppenevaksi Taylor-sarjaksi , jonka konvergenssisäde ei ole nolla), se on polynomi ( homogeeninen polynomi ). Erityisesti tässä tapauksessa homogeenisuusjärjestyksen on oltava luonnollinen luku tai nolla. (Sen todistamiseksi riittää esittää funktio Taylor-sarjana , ryhmitellä Taylor-sarjan termit samoilla homogeenisuusasteikoilla , korvata tulos yhtälöllä ja käyttää potenssifunktioita eri eksponenteilla, mukaan lukien ei-kokonaisluvut. ne ovat lineaarisesti riippumattomia.)

f

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

{\displaystyle k_{j}=i_{1}+i_{2}+\pisteet +i_{n))

(*)

\lambda ^{k_{1)),\lambda ^{k_{2)),\dots

Funktio , jossa on muuttujien funktio, on homogeeninen funktio, jonka homogeenisuusluokka . Funktio jossa on muuttujien funktio, on ehdottoman homogeeninen funktio homogeenisuusasteen kanssa

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3 }/x_{1},...,x_{n}/x_{1})

h(t_{2},t_{3},...,t_{n})

{\näyttötyyli (n-1)}

q.

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x|^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3} /x_{1},...,x_{n}/x_{1}),

h(t_{2},t_{3},...,t_{n})

{\näyttötyyli (n-1)}

q.

Eulerin relaatio : differentioituvien homogeenisten funktioiden tapauksessa niiden gradientin ja muuttujien vektorin skalaaritulo on verrannollinen itse funktioon kertoimella, joka on yhtä suuri kuin homogeenisuus: tai vastaavalla merkinnällä saatu differentiaalisella yhtälöllä suhteessa

\mathbf {v} \cdot \nabla f(\mathbf {v} )=qf(\mathbf {v} )

\sum x_{k}f'_{x_{k))=qf.

(*)

\lambda

\lambda =1.

Jos on homogeenisuusluokkaa oleva differentioituva homogeeninen funktio , niin sen ensimmäiset osittaiset derivaatat kunkin riippumattoman muuttujan suhteen ovat homogeenisia funktioita, joiden homogeenisuusluokka on . Sen todistamiseksi riittää erottaa identiteetin oikea ja vasen puoli ja saada identiteetti

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q

f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q-1

x_k

f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{q}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})

f'_{x_{k))(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{q-1}f'_{ x_{k}}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).

Jos on homogeeninen funktio, jonka homogeenisuusluokka on , niin sen integraali (sillä edellytyksellä, että sellainen integraali on olemassa) minkä tahansa riippumattoman muuttujan kohdalla nollasta alkaen ovat homogeenisia funktioita, joiden homogeenisuusluokka on . Todistus: (tässä integrointimuuttujan korvaus on tehty ).

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q

F(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\int _{0}^{x_{1}}f(t,x_{2},... ,x_{n})dt

q+1.

F(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=

\int _{0}^{\lambda x_{1}}f(t,\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})dt=

\lambda \int _{0}^{x_{1}}f(\lambda t',\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})dt'=

\lambda ^{q+1}\int _{0}^{x_{1}}f(t',x_{2},...,x_{n})dt'=

\lambda ^{q+1}F(x_{1},x_{2},...,x_{n})

t=\lambda t'

Jos on homogeeninen funktio, jonka kertaluku on homogeeninen , niin sen kertaluvun murto-derivaata ( eri integraali ) , joka lasketaan kuten mille tahansa riippumattomalle muuttujalle, joka alkaa nollasta (edellyttäen, että vastaava integraali on olemassa, jolle se on valittava ) ovat homogeenisia funktioita . jonka homogeenisuuden järjestys Harkitse funktiota . Sitten (tässä tehdään integrointimuuttujan muutos ). Muuttujan suhteen kerta-erotuksen jälkeen homogeenisen järjestyksen funktiosta tulee homogeeninen funktio, jonka luokka on homogeeninen .

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q

\alpha

G(x_{1},x_{2},...,x_{n})={\frac {1}{\Gamma (n-\alpha ))){\frac {d^{n }}{dx_{1}^{n}}}\int _{0}^{x_{1}}(x_{1}-t)^{n-\alpha -1}f(t,x_{2 },...,x_{n})\,dt

n>\alpha

q-\alpha .

H(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\int _{0}^{x_{1}}(x_{1}-t)^{n- \alpha -1}f(t,x_{2},...,x_{n})\,dt

H(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=

\int _{0}^{\lambda x_{1}}(\lambda x_{1}-t)^{n-\alpha -1}f(t,\lambda x_{2},.. .,\lambda x_{n})\,dt=

\lambda \int _{0}^{x_{1}}(\lambda x_{1}-\lambda t')^{n-\alpha -1}f(\lambda t',\lambda x_ {2},...,\lambda x_{n})\,dt'=

\lambda ^{q+n-\alpha }\int _{0}^{x_{1}}(x_{1}-t')^{n-\alpha -1}f(t', x_{2},...,x_{n})dt'=

\lambda ^{q+n-\alpha }H(x_{1},x_{2},...,x_{n})

t=\lambda t'

n

x_{1}

H(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q+n-\alpha

q-\alpha

Jos on homogeeninen funktio, jonka homogeenisuusluokka on , niin sen -ulotteinen konvoluutio yleistetyn Abelin ytimen kanssa laskettuna (edellyttäen, että vastaava integraali on olemassa) on homogeeninen funktio, jonka homogeenisuusluokka on . Todistus: , jossa integrointimuuttujien muutos tehdään . (Huomaa: vain osaa muuttujista voidaan pienentää.)

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q

n

H(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\int _{0}^{x_{1}}\dots \int _{0}^{x_{ n}}(x_{1}^{k_{1}}-t_{1}^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{1}} \pisteet (x_{n}^{k_{n}}-t_{n}^{k_{n}})^{\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n}}f (t_{1},...,t_{n})\,dt_{1}\dots dt_{n}

{\displaystyle q+\mu _{1}+\dots +\mu _{n))

H(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=

\int _{0}^{\lambda x_{1}}\dots \int _{0}^{\lambda x_{n}}(\lambda ^{k_{1}}x_{1}^ {k_{1}}-t_{1}^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{1}}\dots (\lambda ^{k_{ n}}x_{n}^{k_{n}}-t_{n}^{k_{n}})^{\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n}}f (t_{1},...,t_{n})\,dt_{1}\dots dt_{n}=

\lambda ^{n}\int _{0}^{x_{1}}\dots \int _{0}^{x_{n}}(\lambda ^{k_{1}}x_{1 }^{k_{1}}-\lambda ^{k_{1}}t_{1}'^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{ 1}}\pisteet (\lambda ^{k_{n}}x_{n}^{k_{n}}-\lambda ^{k_{n}}t_{n}'^{k_{n}})^ {\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n}}f(\lambda t_{1}',...,\lambda t_{n}')\,dt_{1}' \dots dt_{n}'=

\lambda ^{q+\mu _{1}+\dots +\mu _{n}}\int _{0}^{x_{1}}\dots \int _{0}^{x_{ n}}(x_{1}^{k_{1}}-t_{1}'^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{1} }\pisteet (x_{n}^{k_{n}}-t_{n}'^{k_{n)))^{\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n} }f(t_{1}',...,t_{n}')\,dt_{1}'\dots dt_{n}'=

\lambda ^{q+\mu _{1}+\dots +\mu _{n}}H(x_{1},x_{2},...,x_{n})

t_{k}=\lambda t_{k}'

Lause . Mikä tahansa homogeeninen funktio, jolla on homogeenisuusluokka, voidaan esittää muodossa $q$

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3 }/x_{1},...,x_{n}/x_{1}),

missä on jokin muuttujien funktio. Mikä tahansa absoluuttisesti homogeeninen funktio, jonka homogeenisuusluokka on, voidaan esittää muodossa $h(t_{2},t_{3},...,t_{n})$ ${\näyttötyyli (n-1)}$ $q$

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x|^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3} /x_{1},...,x_{n}/x_{1}),

missä on jokin muuttujien funktio. $h(t_{2},t_{3},...,t_{n})$ ${\näyttötyyli (n-1)}$

Todiste.

Otetaan nollaasteen homogeeninen funktio . Sitten valittaessa saamme tietyn version vaaditusta suhteesta: $g(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $\lambda =1/x_{1}$

g(x_{1},x_{2},...,x_{n})=g(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n })=g(1,x_{2}/x_{1},...,x_{n}/x_{1})=h(x_{2}/x_{1},...,x_{ n}/x_{1}).

Homogeeniselle asteen funktiolle funktio osoittautuu nolla-asteen homogeeniseksi funktioksi. Siksi_ _ $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $q\neq 0,$ $g(x_{1},x_{2},...,x_{n})=f(x_{1},x_{2},...,x_{n})/x_{1 }^{q}$ $g(x_{1},...,x_{n})=h(x_{2}/x_{1},...,x_{n}/x_{1})$ $f(x_{1},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},...,x_{n} /x_{1}).$

Seuraus. Mikä tahansa homogeeninen astefunktio (absoluuttisesti homogeeninen astefunktio ) voidaan esittää muodossa $q$ $q$

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\phi (x_{1},x_{2},...,x_{n})\cdot h (\phi _{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),\phi _{2}(x_{1},x_{2},...,x_ {n}),...,\phi _{n-1}(x_{1},x_{2},...,x_{n})),

jossa on jokin sopiva muuttujien funktio, on kiinteä homogeeninen asteen funktio (kiinteä absoluuttisesti homogeeninen asteen funktio ), ja , ..., ovat kiinteitä toiminnallisesti riippumattomia homogeenisia nollaasteen funktioita. Kiinteälle funktioiden valinnalle tämä esitys määrittelee yksi-yhteen vastaavuuden muuttujien homogeenisten astefunktioiden ja muuttujien funktioiden välillä . $h(t_{1},t_{2},...,t_{n-1})$ ${\näyttötyyli (n-1)}$ $\phi (x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $q$ $q$ $\phi _{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),$ $\phi _{2}(x_{1},x_{2},...,x_{n}))$ $\phi _{n-1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}))$ ${\displaystyle \phi ,\phi _{1},\phi _{2},...,\phi _{n-1))$ $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $q$ $n$ $h(t_{1},t_{2},...,t_{n-1})$ $(n-1)$

Eulerin lause homogeenisille funktioille . Jotta differentioituva funktio olisi homogeeninen funktio, jolla on homogeenisuusluokka , on välttämätöntä ja riittävää, että Eulerin relaatio pätee $f(x_1,x_2,...,x_n)$ $q,$

\sum x_k f'_{x_k}(x_1,x_2,...,x_n) = qf(x_1,x_2,...,x_n).

Todiste.

Välttämättömyys saadaan tasa-arvon differentiaatiosta Riittävyyden osoittamiseksi otamme funktion "jäädytetty" Erottakaamme se suhteessa $(*)$ $\lambda =1.$ $\varphi (\lambda )=\lambda ^{-q}f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})$ $x_{1},x_{2},...,x_{n}.$ $\lambda :$

\varphi '(\lambda )=-q\lambda ^{-q-1}f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})+ \lambda ^{-q}\sum f'_{x_{k}}(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})x_{k}.

Ehdon perusteella saamme ja Vakio määräytyy ehdosta Tuloksena $\sum (\lambda x_{k})\cdot f'_{x_{k))(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n}) =qf(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})$ $\varphi '(\lambda )=0$ $\varphi (\lambda )=c=const.$ $c$ $\varphi (1)=f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).$ $\lambda ^{q}\varphi (\lambda )=f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=\lambda ^{q} f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).$

Seuraus. Jos funktio on differentioituva ja jokaisessa avaruuden pisteessä homogeenisuussuhde on voimassa tietyllä arvoalueella , niin se pätee kaikille $(*)$ $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right]\subset \left[0,\infty \right),$ $\lambda>0.$

Todiste.

Erota suhde pisteen suhteen $(*)$ $\lambda$ $\lambda =\lambda _{0}:$

\sum x_{k}f'_{x_{k))(\lambda _{0}x_{1},\lambda _{0}x_{2},...,\lambda _{0 }x_{n})=q\lambda _{0}^{q-1}f(x_{1},x_{2},...,x_{n})={\frac {q}{\ lambda _{0}}}f(\lambda _{0}x_{1},\lambda _{0}x_{2},...,\lambda _{0}x_{n}).

Tämä tarkoittaa, että Euler-relaatio pätee pisteessä, ja pisteen mielivaltaisuuden vuoksi piste on myös mielivaltainen. Toistamalla yllä olevaa homogeenisen funktion Eulerin lauseen todistusta saadaan, että homogeenisuussuhde pätee pisteessä, ja mielivaltaiselle pisteelle voidaan valita sellainen piste, että piste osuu yhteen minkä tahansa ennalta määrätyn avaruuden pisteen kanssa. Siksi suhde täyttyy jokaisessa avaruuden pisteessä mille tahansa ${\displaystyle y_{k}=\lambda _{0}x_{k))$ ${\näyttötyyli (x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ $(y_{1},y_{2},...,y_{n})$ $(y_{1},y_{2},...,y_{n})$ $\lambda >0.$ ${\näyttötyyli (x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ $(y_{1},y_{2},...,y_{n})$ $(*)$ $\lambda >0.$

Lambdan homogeeniset funktiot

Olkoon vektori . Muuttujien funktiota kutsutaan -homogeeniseksi homogeenisuusasteen kanssa, jos minkä tahansa ja minkä tahansa identtisyys $\mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}).$ $n$ $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $\lambda$ $q$ $t>0$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},...,x_{n})\in {\mathbb {R} }^{n))$

f(t^{\lambda _{1}}x_{1},t^{\lambda _{2}}x_{2},...,t^{\lambda _{n}}x_ {n})=t^{q}f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).

Homogeeniset funktiot siirtyvät tavallisiksi homogeenisiksi funktioiksi. Joskus homogeenisuusjärjestyksen sijaan otetaan käyttöön homogeenisuusaste , joka määräytyy suhteesta $\lambda _{k}=1$ $\lambda$ $q$ $m$

f(t^{\lambda _{1}}x_{1},t^{\lambda _{2}}x_{2},...,t^{\lambda _{n}}x_ {n})=t^{m{\frac {|\mathbf {\lambda } |}{n}}}f(x_{1},x_{2},...,x_{n}),

missä Tavallisille homogeenisille funktioille homogeenisuusjärjestys ja homogeenisuusaste ovat samat. $|\mathbf {\lambda } |=\sum |\lambda _{k}|.$ $q$ $m$

Jos osittaiset derivaatat ovat jatkuvia pisteessä , niin -homogeenisille funktioille Euler -relaation yleistävä relaatio , joka saadaan erottamalla -homogeenisuuden identiteetti pisteessä, on tosi : $f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\lambda$ $\lambda$ $t = 1$

\sum \lambda _{x}x_{k}f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=qf(x_{1) },x_{2},...,x_{n}).

Kuten tavallisten homogeenisten funktioiden tapauksessa, tämä suhde on välttämätön ja riittävä, jotta funktio olisi -homogeeninen funktio, jolla on vektori ja homogeenisuusluokka $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $\lambda$ $(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})$ $q.$ $\varphi (t)=t^{-q}f(t^{\lambda _{1}}x_{1},t^{\lambda _{2}}x_{2},... ,t^{\lambda _{n}}x_{n})$ $\varphi (t)\equiv \varphi (1).$

Jos on -homogeeninen funktio vektorin ja homogeenisuusjärjestyksen kanssa, niin se on myös -homogeeninen funktio vektorin ja homogeenisuusjärjestyksen kanssa (seuraa uuden parametrin -homogeenisuuden substituutiosta identiteettiin ). Tästä johtuen -homogeenisiä funktioita tarkasteltaessa riittää rajoittuminen tapaukseen .Erityisesti normalisointi voidaan valita siten, että homogeenisuusjärjestys on yhtä suuri kuin ennalta määrätty arvo. Lisäksi voimme olettaa, että menettämättä yleisyyttä $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $\lambda$ $\mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})$ $q$ $\lambda$ $\mathbf {\lambda } =(\alpha \lambda _{1},\alpha \lambda _{2},...,\alpha \lambda _{n})$ $\alpha q$ $\lambda$ ${\displaystyle t'\to t^{\alpha ))$ $\lambda$ $\sum |\lambda _{k}|=const.$ $\sum |\lambda _{k}|$ $q$ $\lambda _{k}\neq 0.$

Muuttujia vaihdettaessa -homogeeninen funktio , jolla on vektori ja homogeenisuusluokka, muuttuu tavalliseksi homogeeniseksi funktioksi , jonka homogeenisuusluokka on . Tästä seuraa, että yleinen esitys -homogeenisille funktioille, joilla on vektori ja homogeenisuusjärjestys, on: $x_{k}=y_{k}^{\lambda _{k))$ $\lambda$ $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $\mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})$ $q$ $g(y_{1},y_{2},...,y_{n})$ $q$ $\lambda$ $\mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})$ $q$

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q/\lambda _{1}}\cdot h(x_{2}^{ 1/\lambda _{2}}/x_{1}^{1/\lambda _{1}},x_{3}^{1/\lambda _{3}}/x_{1}^{1/ \lambda _{1}},\ldots ,x_{n}^{1/\lambda _{n}}/x_{1}^{1/\lambda _{1}}),

missä on jokin muuttujien funktio. $h(t_{2},t_{3},...,t_{n})$ ${\näyttötyyli (n-1)}$

Lähde: Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolsky, Korkeampi matematiikka: oppikirja yliopistoille (3 osaa), V.2: Differentiaali- ja integraalilaskenta ( http://www.sernam.ru/lect_math2.php Lokakuussa päivätty arkistokopio 1, 2012 Wayback Machinessa ), kohta 8.8.4.

Euler-operaattori

Differentiaalioperaattori

{\displaystyle x_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1))}+x_{2}{\frac {\partial f}{\partial x_{2))}+\ldots + x_{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{n))))

kutsutaan joskus Euler-operaattoriksi, analogisesti homogeenisten funktioiden Euler-identiteetin kanssa. Edellä esitetystä Eulerin homogeenisten funktioiden lauseesta seuraa, että tämän operaattorin ominaisfunktiot ovat homogeenisia funktioita ja vain ne, ja tällaisen funktion ominaisarvo on sen homogeenisuusaste.

Näin ollen funktiot, jotka muuttavat Euler-operaattorin vakioksi, ovat homogeenisten funktioiden logaritmeja ja vain ne. Funktiot, jotka häviävät Euler-operaattorin, ovat nolla-asteen homogeeniset funktiot ja vain ne ( nolla-asteen homogeenisen funktion logaritmi on itse nolla-asteen homogeeninen funktio).

Samoin differentiaalioperaattorille

{\displaystyle \lambda _{1}x_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1))}+\lambda _{2}x_{2}{\frac {\partial f}{ \partial x_{2))}+\ldots +\lambda _{n}x_{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{n))))

ominaisfunktiot ovat -homogeenisiä funktioita, joissa on vektori ja vain ne, ja ominaisarvo on -homogeenisen funktion homogeenisuusjärjestys. Tämä differentiaalioperaattori muunnetaan vakioksi -homogeenisten funktioiden logaritmeilla vektorin kanssa , eikä muita funktioita. $\lambda$ $(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})$ $\lambda$ $\lambda$ $(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})$

Euler-operaattorin lisäyleistys on differentiaalioperaattori

\lambda _{1}x_{1}^{\mu _{1}}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+\lambda _{2}x_{2} ^{\mu _{2}}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}+\ldots +\lambda _{n}x_{n}^{\mu _{n}}{ \frac {\partial f}{\partial x_{n}}},

joka pelkistetään Euler-operaattoriksi muutoksella at Myös kaikki muodon differentiaalioperaattorit pienennetään Euler-operaattoriksi muutoksella ${\displaystyle y_{1}{\frac {\partial f}{\partial y_{1))}+y_{2}{\frac {\partial f}{\partial y_{2))}+\ldots + y_{n}{\frac {\partial f}{\partial y_{n))))$ $y_{k}=\exp \left({\frac {x^{1-\mu _{k))}{\lambda _{k}\left(1-\mu _{k}\right )}}\oikea)$ $\mu _{k}\neq 1;$ $y_{k}=x^{1/\lambda _{k))$ $\mu _{k}=1.$ $y_{k}=\exp \left(\int _{a_{k))^{x}{\frac {dt}{h_{k}(t)))\right)$ $h_{1}(x_{1}){\frac {\partial f}{\partial x_{1))}+h_{2}(x_{2}){\frac {\partial f}{ \partial x_{2))}+\ldots +h_{n}(x_{n}){\frac {\partial f}{\partial x_{n))}.$

Lähde: Chi Woo, Igor Khavkine, Eulerin teoreema homogeenisista funktioista Arkistoitu 2. elokuuta 2012 Wayback Machinessa ( PlanetMath.org )

Rajallisesti homogeeniset funktiot

Funktion sanotaan olevan rajallisesti homogeeninen homogeenisuuden eksponentin kanssa suhteessa positiivisten reaalilukujen joukkoon (kutsutaan homogeenisuusjoukoksi), jos identiteetti pätee kaikille ja kaikille $f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $q$ $\lambda$ ${\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$ $\lambda \in \Lambda$

f(\lambda {\vec {x)))=\lambda ^{q}f({\vec {x))).

Homogeenisuusjoukko sisältää aina yksikön. Homogeenisuusjoukko ei voi sisältää mielivaltaisen pientä jatkuvaa segmenttiä – muuten rajallisesti homogeeninen funktio osoittautuu tavalliseksi homogeeniseksi funktioksi (katso jäljempänä kohta ”Joitakin homogeenisiin funktioihin liittyviä funktionaalisia yhtälöitä”). Siksi kiinnostavia ovat ne rajallisesti homogeeniset funktiot, joille ja joille homogeenisuusjoukko on puhtaasti diskreetti. $\lambda$ $\lambda$ $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right]$ ${\displaystyle \Lambda \neq \{1\))$ $\lambda$

Esimerkki 1. Funktio on rajallisesti homogeeninen homogeenisuuden eksponentin kanssa suhteessa joukkoon, jossa ovat kokonaisluvut. $f(x)=x^{q}\sin(\log |x|)$ $q$ $\Lambda =\{e^{2\pi m}\},$ $m$

Esimerkki 2. Funktio on rajallisesti homogeeninen homogeenisuuden eksponentin kanssa suhteessa joukkoon, jossa ovat kokonaisluvut. $f(x,y,z)=(x^{2}+2y^{2}+3z^{2})^{q/2}\cos(\log {\sqrt {x^{2 }-xy+y^{2}}})$ $q$ $\Lambda =\{e^{2\pi k}\},$ $k$

Lause. Jotta kohdassa määritelty funktio olisi rajallisesti homogeeninen homogeenisuusasteen kanssa , on välttämätöntä ja riittävää, että sillä on muoto $f(x_{1},x_{2},...,x_{n}),$ $x_{1}>0,$ $q,$

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot H(\log x_{1},x_{2}/x_ {1},x_{3}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1}),

jossa on funktio, joka on jaksollinen muuttujassa , jossa on vähintään yksi jakso riippumaton Tässä tapauksessa homogeenisuusjoukko koostuu luvuista , joissa funktion jaksot ovat riippumattomia $H(y,t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n})$ $y$ $t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}.$ $\lambda$ $\{e^{Y_{k))\},$ $Y_{k}$ $H(y,t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}),$ $t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}.$

Todiste. Riittävyys varmistetaan suoraan, tarpeellisuus on todistettava. Tehdään muuttujien muutos

x_{1},x_{2},...,x_{n}\to x_{1},t_{2},...,t_{n},

missä

t_{k}=x_{k}/x_{1},

joten Jos nyt tarkastellaan funktiota , niin homogeenisuusehdosta saadaan kaikille hyväksyttäville tasa -arvo $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=g(x_{1},t_{2},...,t_{n}).$ $h(x_{1},t_{2},...,t_{n})=g(x_{1},t_{2},...,t_{n})/x_{1 }^{q},$ $x_{1}$

h(\lambda x_{1},t_{2},...,t_{n})=h(x_{1},t_{2},t_{3},...,t_{ n}),

joka on voimassa, kun Jos vain joukko ei koostu vain yhdestä, niin korvauksen jälkeen funktio $\lambda \in \Lambda .$ $\lambda$ $x_{1}=\exp(y)$

H(y,t_{2},...,t_{n})=H(\log x_{1},t_{2},...,t_{n})=h(x_{ 1},t_{2},...,t_{n})

osoittautuu jaksolliseksi muuttujassa , jossa on nollasta poikkeava jakso mille tahansa kiinteällä tavalla valitulle, koska yllä oleva yhtälö merkitsee suhdetta $y$ $\log \lambda$ $\lambda \in \Lambda ,$

H(\log x_{1}+\log \lambda ,t_{2},...,t_{n})=H(\log x_{1},t_{2},..., t_{n}).

Ilmeisesti valittu kiinteä arvo on funktion jakso kerralla kaikille $\log \lambda$ $H(y,t_{2},...,t_{n})$ $t_{2},...,t_{n}.$

Seuraukset:

Jos on pienin positiivinen jakso riippumaton, niin homogeenisuusjoukolla on muoto missä ovat mielivaltaisia kokonaislukuja. (Jos on funktion pienin positiivinen jakso, niin kaikki ovat sen jaksoja, joten luvut sisällytetään homogeenisuusjoukkoon. Jos homogeenisuus on sellainen, jostain tulee positiivinen jakso, josta riippumaton olla pienempi kuin ) $Y>0,$ $t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n},$ $\lambda$ $\{e^{mY}\},$ $m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$ $Y$ $H(y,...),$ $Y_{m}=mY$ $\{e^{mY}}\}$ $\lambda _{*}=e^{Y_{*)),$ $e^{mY}<e^{Y_{*}}<e^{(m+1)Y},$ $Y_{*}-mY$ $t_{2},...,t_{n},$ $Y.$
Jos funktio on muuttujan suhteen vakio, sillä ei ole pienintä positiivista jaksoa (mikä tahansa positiivinen luku on sen jakso). Tässä tapauksessa se ei riipu muuttujasta ja funktio on tavallinen positiivisesti homogeeninen funktio (ainakin). Homogeenisuus asetettu tässä tapauksessa on koko positiivinen puoliakseli (ainakin). $H(y,\ldots )$ ${\näyttötyyli y,}$ $H(y,\ldots )$ ${\näyttötyyli y,}$
$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot H(x_{2}/x_{1},x_{3 }/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1})$
$\lambda$ $\lambda >0$
Eksoottiset tapaukset ovat mahdollisia, kun jaksollisella funktiolla ei ole pienintä positiivista jaksoa, mutta samalla se ei ole vakio. Esimerkiksi Dirichlet-funktiolla , joka on yhtä suuri kuin 1 rationaalisissa pisteissä ja yhtä suuri kuin 0 irrationaalisissa pisteissä, on minkä tahansa rationaalisen luvun jakso. Tässä tapauksessa homogeenisuusjoukolla voi olla melko monimutkainen rakenne. Jos kuitenkin jokaiselle arvojoukolle jaksollisen funktion muuttujassa on raja vähintään yhdessä pisteessä, tällä funktiolla on joko pienin positiivinen jakso (ja kaikki muut jaksot ovat pienimmän positiivisen jakson kerrannaisia) tai se on vakio. muuttujassa $H(y,...)$ $\lambda$ ${\näyttötyyli t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n))$ $H(y,...)$ ${\näyttötyyli y}$ $y.$
Rajallisesti homogeenisilla funktioilla, jotka on määritelty kohdassa, on muoto , jossa muuttujassa on jaksollinen sopivasti valittu funktio $x<0,$
$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=(-x_{1})^{q}\cdot H(\log(-x_{1}), x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1})$
$H(y,t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}),$ $y.$
Rajallisesti homogeeniset funktiot, jotka on määritelty koko reaaliakselille miinus piste, ovat muotoa , jossa muuttujassa on jaksollinen oikein valittu funktio (jossa merkintä korostaa, että arvovälille ja arvovälille yleisesti ottaen eri jaksolliset funktiot valitaan, jokaisella on määritelmäalue , mutta joilla on välttämättä sama jakso). $x=0,$
$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x_{1}|^{q}\cdot H_{\pm }(\log |x_{1} |,x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1}),$
$H_{\pm }(y,t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}),$ $y$ $H_{\pm }(\ldots )$ $x_{1}>0$ $x_{1}<0$ $H(y)$ $y\in (-\infty ,+\infty )$
Kaava on universaali, mutta se ei heijasta kaikkien muuttujien yhtäläisyyttä. Funktiota voidaan esittää siten, että funktion jakso on yhtä suuri kuin normalisointikerroin ei riipu ja funktio valitaan kiinteäksi. Tällaisella merkinnällä rajallisesti homogeeniset funktiot saavat muodon _ _ _ _ $f(x_{1},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot H(\log |x_{1}|,x_{2}/x_{1} ,\ldots ,x_{n}/x_{1}),$ $H(y,t_{2},\dots ,t_{n}\ldots )$ $G\left(w\cdot y+\log W(t_{2},\dots ,t_{n}),t_{2},\dots ,t_{n}\right),$ $G\left(t,t_{2},\dots ,t_{n}\right)$ $2\pi ,$ $w$ $t_{2},\dots ,t_{n},$ $W(t_{2},\dots ,t_{n})$
$f(x_{1},...,x_{n})=F(\log Q(x_{1},\ldots ,x_{n}),x_{1},\ldots ,x_{ n}),$
$F(y,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ $q$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n))$ $2\pi$ ${\näyttötyyli y,}$ $Q(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),$ $w$ $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},$ $\Lambda =\{e^{2\pi m/w}\},$ $m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$
Laajentamalla jaksollinen funktio edellisestä kappaleesta Fourier- sarjaksi , voimme saada lausekkeen Tämä kaava on yleisin tapa kirjoittaa kappaleittain jatkuville, rajoitetusti homogeenisille funktioille, joiden homogeenisuus ja homogeenisuus on . Erityisesti kiinteän funktion korvaaminen mielivaltaisten homogeenisten funktioiden joukolla ei lisää yleisyyttä tähän kaavaan, vaan monipuolistaa vain esitysmuotoa samalle rajallisesti homogeeniselle funktiolle. $F(y,x_{1},\ldots ,x_{n})$
$A_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})+\sum A_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})\cos k\log Q(x_ {1},\ldots ,x_{n})+B_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})\sin k\log Q(x_{1},\ldots ,x_{n} ),$
$A_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $B_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $q,$ $Q(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $w,$ $\Lambda =\{e^{mY}\},$ $\Lambda =\{e^{2\pi m/w}\},$ $m$ $q$ $\Lambda =\{e^{2\pi m/w}\}.$ $Q(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $Q_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})$

Bibliografia: Konrad Schlude, Bemerkung zu beschränkt homogenen Funktionen . - Elemente der Mathematik 54 (1999).

Tietolähde: J.Pahikkala. Rajallisesti homogeeninen funktio Arkistoitu 23. elokuuta 2012 Wayback Machineen ( PlanetMath.org ) sivustoon.

Liittyvät homogeeniset funktiot

[osio ei vielä kirjoitettu]

Lähde: I. M. Gelfand, Z. Ya. Shapiro. Homogeeniset funktiot ja niiden sovellukset. Advances in Mathematical Sciences, osa 10 (1955) nro. 3, s. 3-70.

Keskinäisesti homogeeniset funktiot

[osio ei vielä kirjoitettu]

Lähde: I. M. Gelfand, Z. Ya. Shapiro. Homogeeniset funktiot ja niiden sovellukset. Advances in Mathematical Sciences, osa 10 (1955) nro. 3, s. 3-70.

Jotkut homogeenisiin funktioihin liittyvät funktionaaliset yhtälöt

1. Anna

f\left(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\dots ,\lambda x_{n}\right)=C\left(\lambda \right)f\left(x_{1) },x_{2},\pisteet ,x_{n}\oikea)

jollekin intervallin funktiolle Mikä funktion pitäisi olla $C\left(\lambda\right)$ $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right].$ $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)?$

Ratkaisu. Erota tämän suhteen molemmat puolet suhteessa Saamme $\lambda .$

x_{1}{\frac {\partial f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})}{\partial (\lambda x_{1)))))+x_{ 2 }{\frac {\partial f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})}{\partial (\lambda x_{2)))))+\dots +x_{n} {\ frac {\partial f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})}{\partial (\lambda x_{n))))={\frac {\partial C\left (\lambda \right)}{\partial \lambda }}f(x_{1},\dots ,x_{n}).

Erottelemme saman suhteen molemmat puolet suhteiden saamiseksi $x_{k},$

\lambda {\frac {\partial f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})}{\partial (\lambda x_{k)))))=C\left( \ lambda \right){\frac {\partial f(x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial x_{k))}.

Täältä

{\frac {1}{f(x_{1},\dots ,x_{n)))))\left(x_{1}{\frac {\partial f(x_{1},\dots) , x_{n})}{\partial x_{1))}+\pisteet +x_{n}{\frac {\partial f(x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial x_ { n}}}\right)={\frac {\lambda }{C\left(\lambda \right)}}{\frac {\partial C\left(\lambda \right)}{\partial \lambda } } .

Oikea puoli riippuu vain vasemmasta puolesta riippuu vain siitä , joten ne ovat molemmat yhtä suuret kuin sama vakio, jota merkitsemme. Ehdoista ja ehdoista seuraa, että on siis homogeeninen funktio, jolla on homogeenisuusparametri . käsitellään erikseen, eivätkä ne kiinnosta. $\lambda ,$ $x_{1},x_{2},\pisteet ,x_{n}$ $q.$ ${\frac {\lambda }{C\left(\lambda \right)}}{\frac {\partial C\left(\lambda \right)}{\partial \lambda }}=q$ $C\left(1\right)=1$ $C\left(\lambda \right)=\lambda ^{q}.$ $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$ $q.$ $C\left(\lambda \right)\equiv 0$ $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)\equiv 0$

Merkintä. Ei ole tarpeen käyttää ehtoa , yleisesti ottaen, jota ei ole alun perin määritelty, ja myös pakottaa funktiota huomioimaan välin ulkopuolella . Tasa-arvosta $C\left(1\right)=1,$ $C\left(\lambda\right)$ $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right].$

{\frac {1}{f))\left(x_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1))}+x_{2}{\frac {\partial f} {\partial x_{2))}+\dots +x_{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{n))}\right)=q

Homogeenisten funktioiden Eulerin lauseen mukaan tästä seuraa myös, että se on homogeeninen funktio, jolla on homogeenisuusparametri , joten erityisesti siitä seuraa, että jos homogeenisuussuhde on voimassa tietyllä aikavälillä, niin se pätee kaikille $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$ $q.$ $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right],$ $\lambda>0.$

2. Anna

f\left(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\dots ,\lambda x_{n}\right)=Cf\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\oikea)

joillekin kiinteille ja mielivaltaisille arvoille Mikä funktion pitäisi olla $C\neq 0,$ $\lambda \neq 1$ $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}.$ $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)?$

Ratkaisu. Jos sitten ongelma pelkistetään pienemmän ulottuvuuden funktionaaliseksi yhtälöksi $x_{1}=0,$

f\left(0,\lambda x_{2},\dots ,\lambda x_{n}\right)=Cf\left(0,x_{2},\dots ,x_{n}\right) ,

kunnes se pelkistyy tapaukseksi , jolla on ilmeinen vastaus .. Siksi voimme edelleen tarkastella vain tapausta $f\left(0,0,\dots ,0\right)=Cf\left(0,0,\pisteet ,0\oikea)$ $f\left(0,0,\dots ,0\right)=0.$ $x_{1}\neq 0.$

Teemme muuttujien muutoksen, jolloin myös funktionaalinen yhtälö saa muodon $x_{1}=y,$ $x_{2}=t_{2}\cdot y,$ $x_{3}=t_{3}\cdot y,$ $x_{n}=t_{n}\cdot y.$ $f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\to F(y,t_{2},\dots ,t_{n})$

F\left(\lambda y,t_{2},\dots ,t_{n}\right)=CF\left(y,t_{2},\dots ,t_{n}\right).

Meidän tulisi tarkastella erikseen tapauksia ja ja ja Olkoon ja Sitten, kun otetaan logaritmi yhtälön molemmista osista ja korvauksesta, saadaan ehto $C>0$ $C<0,$ $\lambda >0$ $\lambda <0,$ $y>0$ $y<0.$ $C>0,$ $\lambda >0$ $y>0.$ $\log y\to t,$ $\log F(y,\dots )\to \Phi (t,\dots )$

\Phi \left(t+\log \lambda ,\dots \right)=\log C+\Phi \left(t,\dots \right),

mistä seuraa, että sen muoto on missä on funktio, joka on jaksollinen muuttujassa , jossa on jakso . $\Phi \left(t,\dots \right)$ $\Omega \left(t,\dots \right)+{\frac {\log C}{\log \lambda }}t,$ $\Omega \left(t,\dots \right)$ $t$ $\log \lambda .$

f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega \left(\log x_{1},{\frac {x_{2}}{ x_{1}}},\pisteet {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\oikea)\exp \left({\frac {\log C\cdot \log x_{1}}{ \log \lambda}}\right),

jossa on funktio, joka on jaksollinen muuttujassa jaksolla ja täyttää vaaditun funktionaalisen suhteen $\Omega \left(t,\dots \right)$ $t$ $\log \lambda ,$ $x_{1}>0.$

Puoliakselille käytetään korvausta , ja samanlaisen päättelyn jälkeen saamme lopullisen vastauksen: $x_{1}<0$ $\log(-y)\to t$

a) jos sitten

x_{1}>0

f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega _{+}\left(\log(+x_{1}),x_{2 }/x_{1},\dots x_{n}/x_{1}\right)\exp \left({\frac {\log C\cdot \log(+x_{1})}{\log \lambda }}\oikea),

b) jos sitten

x_{1}<0

f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega _{-}\left(\log(-x_{1}),x_{2 }/x_{1},\dots x_{n}/x_{1}\right)\exp \left({\frac {\log C\cdot \log(-x_{1})}{\log \lambda }}\oikea),

tai lyhyessä muodossa

f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega _{\pm }\left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\pisteet {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\oikea)\exp \left({\frac {\log C\cdot \ loki |x_{1}|}{\log \lambda }}\right),

jossa merkintä korostaa, että for ja for nämä ovat yleisesti ottaen kaksi erilaista jaksollista funktiota ja , joilla kullakin on määritelmäalue ja eri arvot tälle alueelle, mutta samalla samalla jaksolla. $\Omega _{\pm }\left(\log |x_{1}|,\dots \right)$ $x_{1}>0$ $x_{1}<0$ $\Omega _{+}\left(t,\dots \right)$ $\Omega _{-}\left(t,\dots \right)$ $t\in (-\infty ,+\infty )$

Asiaa yksinkertaistaa se, että suhteiden ketjusta $C<0,$ $\lambda >0$

F\left(\lambda ^{2}y,t_{2},\dots ,t_{n}\right)=CF\left(\lambda y,t_{2},\dots ,t_{n }\right)=C^{2}F\vasen(y,t_{2},\pisteet ,t_{n}\oikea)

seuraa tapausta, jota olemme jo tarkastelleet. Joten funktio voidaan kirjoittaa muodossa $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$

f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega _{\pm }\left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\pisteet {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\oikea)\exp \left({\frac {\log |C|\ cdot \log |x_{1}|}{\log \lambda }}\right),

jossa on jokin funktio, joka on jaksollinen muuttujassa jaksolla Tämän lausekkeen korvaaminen alkuperäiseen yhtälöön osoittaa, että se ei ole vain jaksollinen funktio, jossa on jakso, vaan antijaksollinen funktio, jolla on jakso $\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right)$ $t$ $2\log \lambda .$ $\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right)$ $2\log \lambda ,$ $\log \lambda :$

\Omega _{\pm }\left(t+\log \lambda ,\dots \right)=-\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right)

(Ilmeisesti antijaksollisuus jaksolla tarkoittaa jaksollisuutta jaksolla ). Päinvastoin on ilmeinen: esitetty kaava, jossa on antijaksollinen funktio, täyttää vaaditun funktionaalisen yhtälön. $\log \lambda$ $2\log \lambda$ $\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right)$

Kotelossa on lisäominaisuus, että puoliakselit ja puoliakselit vaikuttavat toisiinsa. Harkitse tapausta Sitten suhdeketjusta $\lambda <0$ $y<0$ $y>0$ $y>0.$

F\left(\lambda ^{2}y,t_{2},\dots ,t_{n}\right)=CF\left(\lambda y,t_{2},\dots ,t_{n }\right)=C^{2}F\vasen(y,t_{2},\pisteet ,t_{n}\oikea)

tästä seuraa, että , funktiolla on oltava muoto $x_{1}>0$ $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$

f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega \left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2} }{x_{1}}},\pisteet {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\oikea)\exp \left({\frac {\log |C|\cdot \log |x_ {1}|}{\log |\lambda |}}\right),

jossa on funktio, joka on jaksollinen muuttujassa , jolla on jakso ja määritelmäalue. Siitä lähtien jokainen positiivinen piste on yksi yhteen negatiivisen pisteen kanssa, jonka funktion arvo on yhtä suuri kuin . Tämän seurauksena funktion jaksollisuus huomioon ottaen funktio lasketaan muodossa $\Omega \left(t,\dots \right)$ $t$ $2\log |\lambda |$ $t\in (-\infty ,+\infty ).$ $\lambda <0,$ $x_{1}>0$ $\lambda x_{1}<0$ $Cf\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\oikea).$ $\Omega \left(t,\dots \right)$ $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$

a) klo

x_{1}>0:

f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\Omega \left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2}}{x_{ 1}}},\pisteet {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\oikea)\exp \left({\frac {\log |C|\cdot \log |x_{1}| }{\log |\lambda |}}\right),

b) milloin

x_{1}<0:

f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=sign(C)\cdot \Omega \left(\log |x_{1}|+\log |\lambda | ,{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\pisteet {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\oikea)\exp \left({\frac {\log |C|\cdot \log |x_{1}|}{\log |\lambda |}}\oikea),

jossa on jaksollinen funktio muuttujassa jaksolla On helppo tarkistaa, että tapaukselle tällä tavalla määritetty funktio todella täyttää halutun funktionaalisen yhtälön sekä $\Omega \left(t,\dots \right)$ $t$ $2\log |\lambda |.$ $f(x_{1},x_{2},\pisteet ,x_{n})$ $\lambda <0$ $x_{1}>0,$ $x_{1}<0.$

Merkintä. Jos jokin funktio täyttää määritetyn funktionaalisen yhtälön joillekin arvoille, on helppo nähdä, että se täyttää saman funktionaalisen yhtälön muille arvojoukoille . Joten tässä tapauksessa tällaisten parien joukko on kaikille nollasta poikkeaville kokonaislukuarvoille jossa kokonaisluku valitaan siten, että arvo on funktion pienin positiivinen jakso. Esittelemme merkinnän siten, että saadaan ehto , joka vastaa rajallisesti homogeenisia funktioita. Korvaus tuo rajallisesti homogeenisten funktioiden esityksen tavanomaiseen muotoon. $C_{0},\lambda _{0},$ $\left(C,\lambda\oikea).$ $C_{0}>0,\lambda _{0}>0$ $\lambda _{k}=\lambda _{0}^{k/m},$ ${\displaystyle C_{k}=C_{0}^{k/m))$ $k=\pm 1,\pm 2,\dots ,$ $m$ $|\log \lambda _{0}|/m$ $\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right).$ ${\displaystyle q=\log C_{0}/\log \lambda _{0))$ $C_{0}=\lambda _{0}^{q},$ $C_{k}\equiv \left(\lambda _{k}\right)^{q},$ $\exp \left({\frac {\log C\cdot \log x_{1}}{\log \lambda }}\right)\to x_{1}^{q}$

3. Muita funktionaalisia yhtälöitä on saatavilla tämän artikkelin osissa "Assosioituneet homogeeniset funktiot" ja "Keskinäiset homogeeniset funktiot".

Homogeeniset yleiset funktiot

Yleistyneet funktiot tai jakaumat määritellään lineaarisiksi jatkuviksi funktionaaliksi, jotka on määritelty "riittävän hyvien" funktioiden avaruudessa. Homogeenisten yleistettyjen funktioiden tapauksessa on tarkoituksenmukaista käyttää "riittävän hyvinä" funktioina minkä tahansa asteen derivaattaisten funktioiden avaruutta, tahansa tavallinen funktio, joka on integroitavissa mihin tahansa äärelliseen alueeseen, liittyy toiminnallinen $\mathbb{S}$ $\varphi (x)=\varphi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),$ $\left|x\right|\to \infty$ ${\frac {1}{\left|x\right|}}.$ $f(x)$

T_{f}\left[\varphi \right]=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\varphi (x)dx,

määritelty avaruudessa ja ilmeisesti lineaarinen ja jatkuva. Yleistetyt funktiot mahdollistavat monien analyysikysymysten käsittelyn yksinkertaistamisen (esimerkiksi millä tahansa yleistetyllä funktiolla on minkä tahansa luokan derivaatat, se sallii Fourier-muunnoksen jne.) sekä legitimoi eksoottisia objekteja, kuten -funktio ja sen derivaatat . . $\varphi \in \mathbb {S}$ $\delta$

Tavallisille integroitaville funktioille , jotka ovat homogeenisia homogeenisuuden eksponentin kanssa , helposti todennettavissa oleva identiteetti pätee $f(x_{1},\dots ,x_{n}),$ $q,$

T_{f}\left[\varphi \left({\frac {x_{1)){\lambda )),{\frac {x_{2)){\lambda )),\dots ,{\ frac {x_{n}}{\lambda }}\right)\right]=\lambda ^{q+n}T_{f}\left[\varphi \left(x_{1},x_{2},\ pisteet ,x_{n}\oikea)\oikea].\qquad \qquad \qquad (**)

Tätä identiteettiä pidetään yleistyneen homogeenisen funktion määritelmänä: homogeeninen yleinen funktio, jolla on homogeenisuuden eksponentti (yleisesti sanottuna kompleksi), on lineaarinen jatkuva funktio, joka on määritelty avaruudessa ja joka täyttää identiteetin (**). $q$ $\varphi \in \mathbb {S}$

Liittyvät homogeeniset yleistyneet funktiot määritellään samalla tavalla. Siihen liittyvä homogeeninen yleistetty järjestysfunktio homogeenisuuden eksponentin kanssa on lineaarinen jatkuva funktio, joka täyttää minkä tahansa suhteen $T_{k}\left[\varphi \right]$ $k$ $q$ $\lambda >0$

T_{k}\left[\varphi \left({\frac {x_{1)){\lambda )),{\frac {x_{2)){\lambda )),\dots ,{\ frac {x_{n}}{\lambda }}\right)\right]=\lambda ^{q+n}T_{k}\left[\varphi \left(x_{1},x_{2},\ pisteet ,x_{n}\oikea)\oikea]+\lambda ^{q+n}\log \lambda \cdot T_{k-1}\left[\varphi \left(x_{1},x_{2} ,\pisteet ,x_{n}\oikea)\oikea],

missä on jokin liitännäinen homogeeninen yleistetty : nnen kertaluvun funktio homogeenisuuden eksponentin kanssa $T_{k-1}\left[\varphi \right]$ $(k-1)$ $q.$ $q$ $q.$

Esimerkki. Yleistetty funktio on homogeeninen yleinen funktio, jonka homogeenisuuden eksponentti on alkaen $\delta (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ ${\näyttötyyli (-n)}$ $\delta [\varphi ({x_{1}}/\lambda ,{x_{2}}/\lambda ,\dots ,{x_{n}}/\lambda )]=\varphi (0,0 ,\dots ,0)=\delta [\varphi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})].$

Homogeenisten yleistettyjen funktioiden tutkiminen mahdollistaa merkityksellisen merkityksen integraaleille, joilla on singulaariset singulaaruudet, jotka eivät ole integroitavia tavallisessa merkityksessä. Tarkastellaan esimerkiksi yleistettyä funktiota. Tämä funktio on määritelty ja, kuten se on helppo tarkistaa, on homogeeninen yleinen funktio, jonka eksponentti on homogeeninen . Jos testifunktio on valittu kiinteästi , arvoa voidaan pitää funktiona monimutkaisen muuttujan ja yleisesti ottaen sitä voidaan jatkaa analyyttisesti annetun alueen ulkopuolella. Nimittäin tasa-arvon oikea ja vasen puoli $T_{q}^{+}\left[\varphi \right]=\int _{0}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx.$ $Re(q)>-1$ $q.$ ${\displaystyle T_{q}^{+))$ $\varphi \left(x\right)$ $q$

\int _{0}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx=\int _{1}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx+ \int _{0}^{1}x^{q}\left(\varphi (x)-\sum _{k=0,n}x^{k}{\frac {\varphi ^{(k) }(0)}{k!}}\right)dx+\sum _{k=0,n}{\frac {\varphi ^{(k)}(0)}{k!(q+k+1) }},

ovat analyyttisiä muuttujassa ja identtisesti yhtä suuret toistensa kanssa . Kuitenkin yhtälön oikea puoli on järkevä ja analyyttinen myös :lle . Tästä johtuen yhtälön oikea puoli on analyyttinen jatko vasemmalle -tasa-arvon puolella. Tuloksena tasa-arvo $q$ $Re(q)>-1.$ $Re(q)>-n.$ $Re(q)>-n.$

T_{q}^{+}[\varphi (x)]=\int _{1}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx+\int _{0}^{ 1}x^{q}\left(\varphi (x)-\sum _{k=0,n}x^{k}{\frac {\varphi ^{(k)}(0)}{k! }}\right)dx+\sum _{k=0,n}{\frac {\varphi ^{(k)}(0)}{k!(q+k+1))),

määrittelee lineaarisen jatkuvan funktion, joka on aiemmin määritellyn funktion laajennus arvoihin asti . Kaavat ja for antavat saman tuloksen samoilla arvoilla , joilla molemmilla on järkeä: tämä määritelmä on johdonmukainen. Kaikille nyt määritelty yleistetty funktio on edelleen homogeeninen yleistetty funktio, koska homogeenisuussuhde säilyy analyyttisen jatkon alla. ${\displaystyle T_{q}^{+))$ $Re(q)>-n.$ $Re(q)>-n$ $Re(q)>-m$ $q,$ $T_{q}^{+},$ $q,$

Avulla määritetään integraalin säännellyt arvot, jotka ovat järkeviä mille tahansa kompleksille . Poikkeuksia ovat kokonaislukuarvot , joissa regularisoitu integraali on yksikkö: funktiolla on muuttujan funktiona pisteessä yksinkertainen napa, jolla on jäännös $T_{q}^{+}\left[\varphi \right]$ $\int _{0}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx,$ $q.$ $q=-1,-2,\pisteet ,-n,\pisteet ,$ $T_{q}^{+}\left[\varphi \right]$ $q$ $q=-n$ $\varphi ^{(n-1)}(0)/(n-1)!.$

Saman kaavion mukaan voidaan analyyttisesti jatkaa adjungoitua homogeenista funktiota , jonka avulla määritetään integraalien regularisoituja arvoja, jotka ovat järkeviä $Re(q)\leq -1$ $T_{p,q}^{+}\left[\varphi \right]=\int _{0}^{+\infty }x^{q}\log ^{p}(x)\varphi (x)dx.$ $\int _{0}^{+\infty }x^{q}\log ^{p}(x)\varphi (x)dx,$ $Re(q)\leq -1.$

Samalla, mutta monimutkaisemmalla tavalla, homogeeniset yleistyneet funktiot ja niihin liittyvät homogeeniset yleistetyt funktiot konstruoidaan muuttujien tapauksessa. Yksityiskohdat löytyvät täältä lainatusta bibliografiasta. Homogeenisten yleistettyjen funktioiden teoria mahdollistaa yleistettyjen funktioiden avaruuteen sovelletun tavanomaisten funktioiden, joilla on ei-integroituvia singulaarisuuksia, konstruktiivisen ymmärtämisen - laskea tällaisten funktioiden integraalit, löytää niiden Fourier-muunnos jne. $n$

Bibliografia: I. M. Gelfand, Z. Ya. Shapiro . Homogeeniset funktiot ja niiden sovellukset. Advances in Mathematical Sciences, osa 10 (1955) nro. 3, s. 3-70.

Homogeeninen toiminto

Vaihtoehtoinen homogeenisen funktion määritelmä

Ominaisuudet

Lambdan homogeeniset funktiot

Euler-operaattori

Rajallisesti homogeeniset funktiot

Liittyvät homogeeniset funktiot

Keskinäisesti homogeeniset funktiot

Jotkut homogeenisiin funktioihin liittyvät funktionaaliset yhtälöt

Homogeeniset yleiset funktiot

Katso myös