Perusta

Kanta ( toinen kreikkalainen βάσις "kanta") on järjestynyt (äärellinen tai ääretön) joukko vektoreita vektoriavaruudessa siten , että mikä tahansa tämän avaruuden vektori voidaan esittää yksiselitteisesti tämän joukon vektoreiden lineaarisena yhdistelmänä . Kantavektoreita kutsutaan kantavektoreiksi .

Siinä tapauksessa, että perusta on ääretön, "lineaarisen yhdistelmän" käsite on selvennettävä. Tämä johtaa kahteen päätyyppiseen määritelmään:

Hamel - kanta , jonka määritelmässä otetaan huomioon vain äärelliset lineaariset yhdistelmät; käytetään pääasiassa abstraktissa algebrassa.
Schauderin perusta , jonka määritelmässä otetaan huomioon myös äärettömät lineaariset yhdistelmät, nimittäin laajennus sarjaksi ; käytetään pääasiassa funktionaalisessa analyysissä, erityisesti Hilbert-avaruudessa .

Äärillisulotteisissa avaruudessa molemmat kantamääritykset ovat yhteneväisiä.

Termin alkuperä

Eukleidesille ja muille antiikin kreikkalaisille matemaatikoille sana "perus" (βάσις, tarkoittaa perustaa ) merkitsi tasaisen tai spatiaalisen hahmon vaakasuoraa pohjaa. Dedekind antoi tämän termin modernin matemaattisen merkityksen artikkelissa 1885 .

Perusta tasolle ja kolmiulotteisessa avaruudessa

Mikä tahansa karteesinen koordinaattijärjestelmä tasossa tai kolmiulotteisessa avaruudessa (myös toisen ulottuvuuden avaruudessa) voidaan liittää kantaan, joka koostuu vektoreista, joista jokainen on suunnattu omaa koordinaattiakseliaan pitkin. Tämä pätee sekä suorakulmaisiin suorakulmaisiin koordinaatteihin (silloin vastaavaa kantaa kutsutaan ortogonaaliksi ) että vinoihin suorakulmaisiin koordinaatteihin (joita ei-ortogonaalinen kanta vastaa).

Usein on kätevää valita kunkin kantavektorin pituus ( norm ) yksikkönä, tällaista kantaa kutsutaan normalisoiduksi.

Useimmiten kanta valitaan ortogonaaliseksi ja normalisoiduksi samanaikaisesti, sitten sitä kutsutaan ortonormaaliksi .

Missä tahansa vektoriavaruudessa kanta voidaan valita monin eri tavoin (esimerkiksi muuttamalla sen vektoreiden suuntaa tai niiden pituutta).

Merkintä

Kantavektoreiden nimeäminen voi periaatteessa olla mielivaltainen. Usein he käyttävät jotain kirjainta indeksillä (numeerinen tai koordinaattiakselin nimen mukainen), esimerkiksi:

{\vec e}_{1},{\vec e}_{2}

tai

{\vec e}_{x},{\vec e}_{y}

ovat tyypillisiä nimityksiä kaksiulotteisen avaruuden (tason) pohjalle,

{\vec e}_{1},{\vec e}_{2},{\vec e}_{3}

tai

\vec e_x, \vec e_y, \vec e_z

- kolmiulotteinen avaruus. Kolmiulotteisessa avaruudessa merkintää käytetään usein perinteisesti

{\vec i},{\vec j},{\vec k}.

Tietyn (mitä tahansa) avaruusvektorin esittäminen kantavektoreiden lineaarisena yhdistelmänä (kantavektorien summa numeerisilla kertoimilla), esim. $\vec a$

{\vec a}=a_{x}{\vec e}_{x}+a_{y}{\vec e}_{y}+a_{z}{\vec e}_{z}

tai

{\vec a}=a_{1}{\vec e}_{1}+a_{2}{\vec e}_{2}+a_{3}{\vec e}_{3}

tai käyttämällä summamerkkiä : $\Sigma$

{\vec a}=\sum _{{i=1}}^{3}a_{i}{\vec e}_{i}

kutsutaan tässä kannassa tämän vektorin laajenemiseksi.

Numeerisia kertoimia kutsutaan laajennuskertoimiksi, ja niiden joukko on kokonaisuutena esitys (tai edustaja) kannassa olevasta vektorista ( Vektorin laajeneminen tietyssä kannassa on ainutlaatuinen; saman vektorin laajeneminen eri emäksissä on erilainen , eli saadaan erilainen joukko tiettyjä lukuja, mutta tuloksessa saadaan summattuina - kuten yllä on esitetty - sama vektori). $(a_{x},a_{y},a_{z})$ $\vec a$ ${\vec e}_{x},{\vec e}_{y},{\vec e}_{z}.$

Pohjien tyypit

Hamelin perusta

Hamel-kanta on joukko vektoreita lineaarisessa avaruudessa siten, että mikä tahansa avaruusvektori voidaan esittää joidenkin niiden äärellisenä lineaarisena yhdistelmänä ( kannan täydellisyys ), ja tällainen esitys on ainutlaatuinen mille tahansa vektorille.

Täydellisessä vektorijärjestelmässä vektorin laajentamisen ongelman ratkaisun ainutlaatuisuuden kriteeri on täydelliseen järjestelmään sisältyvien vektorien lineaarinen riippumattomuus . Lineaarinen riippumattomuus tarkoittaa, että millä tahansa lineaarisella järjestelmävektoreiden yhdistelmällä, jossa vähintään yksi kerroin on nollasta poikkeava, on nollasta poikkeava summa. Eli se vastaa nollavektorin hajoamisen ainutlaatuisuutta.

Lineaaristen avaruuksien tapauksessa, kun jokainen nollasta poikkeava kerroin on käännettävä, lineaarinen riippumattomuus on yhtä suuri kuin mahdottomuus ilmaista mitä tahansa täydellisen järjestelmän vektoria muiden vektoreiden lineaarisella yhdistelmällä. (Yleisemmässä tilanteessa - moduulit renkaiden päällä - nämä kaksi ominaisuutta eivät ole vastaavia). Mahdottomuus ilmaista mitä tahansa kantavektoria lopun suhteen tarkoittaa, että kanta on minimaalinen täydellisenä vektorijärjestelmänä - kun jokin niistä poistetaan, täydellisyys menetetään.

Perusteiden olemassaoloa koskevassa kysymyksessä tärkein on seuraava lemma (tämän lemman todistus on yleensä ei-konstruktiivinen ja käyttää valinnan aksioomaa ):

Lemma. Antaa olla täydellinen ja lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä. Sitten järjestelmä sisältää joukon vektoreita, jotka täydentävät avaruuden kantaan . $S_{1}$ $S_{2}$ $S_{1}$ $S_{2}$ $V$

Todiste

Todistus perustuu Zornin lemman soveltamiseen. Harkitse . Antaa olla joukko kaikkien lineaarisesti riippumattomien osajoukkojen . Tämä sarja on osittain tilattu sisällyttämisen suhteen. ${\displaystyle S=S_{1}\cup S_{2))$ $L$ $S$

Osoittakaamme, että minkä tahansa lineaarisesti riippumattomien joukkojen ketjun liitto pysyy lineaarisesti riippumattomana. Todellakin, otetaan vektorit liitosta ja joukot ketjusta, johon nämä vektorit kuuluvat: . Koska nämä joukot ovat ketjun elementtejä, niiden yhdistäminen antaa niistä suurimman, joka on lineaarisesti riippumaton, ja siten tässä joukossa olevat vektorit ovat myös lineaarisesti riippumattomia. ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n))$ ${\displaystyle a_{1}\in A_{1},\ldots ,a_{n}\in A_{n))$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n))$

Ketjujoukkojen liitto on lineaarisesti riippumaton, ja siksi se sisältyy joukkoon . Soveltakaamme siihen Zornin lemman vahvistettua formulaatiota , joka sanoo, että jokaiselle elementille on maksimialkio, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin se. , mikä tarkoittaa, että on olemassa suurin elementti sellainen, että . On helppo nähdä, että perusteita on. Itse asiassa, jos täydellistä vektorijärjestelmää ei olisi olemassa, olisi vektori , jota ei voida esittää vektorien lineaarisena yhdistelmänä . Sitten on lineaarisesti riippumaton järjestelmä, mikä tarkoittaa, että , joka on ristiriidassa sen tosiasian kanssa, että on :n maksimielementti . $L$ $L$ $S_{2}\in L$ $B\in L$ $S_{2}\subset B$ $B$ $B$ $a\in S_{1}$ $B$ $B\cup \{a\}$ $B\cup \{a\}\in L$ $B$ $L$

Tämän lemman seuraukset ovat seuraavat:

Jokaisella lineaarisella avaruudella on perusta.
Avaruuskanta voidaan erottaa mistä tahansa täydellisestä vektorijärjestelmästä.
Mikä tahansa lineaarisesti riippumaton järjestelmä voidaan täydentää avaruuden V kantaan.

Lineaarisen avaruuden kaksi emästä ovat yhtä voimakkaita, joten kannan kardinaalisuus on kantavektoreiden valinnasta riippumaton suure. Sitä kutsutaan avaruuden ulottuvuudeksi (merkitty ). Jos lineaarisella avaruudella on äärellinen kanta, sen ulottuvuus on äärellinen ja sitä kutsutaan äärellisulotteiseksi , muuten sen ulottuvuus on ääretön ja avaruutta kutsutaan äärettömäksi. $\dim V$

Lineaarisen avaruuden valittu perusta mahdollistaa vektoreiden koordinaattiesityksen käyttöönoton, joka valmistelee analyyttisten menetelmien käyttöä.

Lineaarinen kuvaus yhdestä lineaarisesta avaruudesta toiseen on yksiselitteisesti määritelty, jos se on määritelty jonkin perusteen vektoreilla. Tämän tosiasian yhdistelmä vektorien koordinaattiesityksen mahdollisuuteen määrää ennalta matriisien käytön vektoriavaruuksien (ensisijaisesti äärellisulotteisten) lineaaristen kuvausten tutkimiseen. Samalla monet matriisiteorian tosiasiat saavat visuaalisen esityksen ja saavat erittäin merkityksellisen merkityksen, kun ne ilmaistaan lineaaristen tilojen kielellä. Ja perustan valinta tässä tapauksessa toimii apuvälineenä, mutta samalla keskeisenä työkaluna.

Esimerkkejä

Avaruusvektorit muodostavat perustan silloin ja vain, jos näiden vektoreiden koordinaattisarakkeista koostuvan matriisin determinantti ei ole yhtä suuri kuin 0: . $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\det\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}\}\neq 0$
Kentän kaikkien polynomien avaruudessa yksi kanta koostuu potenssifunktioista: . $1,x,x^{2},\pisteet ,x^{n},\pisteet$
Kanta-käsitettä käytetään äärettömän ulottuvuuden tapauksessa, esimerkiksi reaaliluvut muodostavat lineaarisen avaruuden rationaalilukujen päälle ja sillä on jatkuva Hamel-kanta ja vastaavasti jatkuva ulottuvuus.

Hamelin kanta ja epäjatkuva lineaarifunktio

Hamel-kannan avulla voidaan rakentaa epäjatkuva reaalifunktio, joka täyttää ehdon . Antaa olla Hamel perusteella joukko reaalilukuja yli kentän rationaaliset luvut . Sitten kullekin ( ) asetetaan , jossa on mielivaltaisia reaalilukuja, esimerkiksi rationaalisia (tässä tapauksessa funktio ottaa vain rationaalisia arvoja, ja siksi se ei taatusti ole lineaarinen funktio ). Tällainen funktio on additiivinen, eli se täyttää funktionaalisen Cauchyn yhtälön . Kuitenkin yleisessä tapauksessa, kun , se eroaa lineaarisesta funktiosta ja on siksi epäjatkuva missä tahansa pisteessä, eikä myöskään säilytä merkkiä, ei ole rajoitettu ylä- tai alapuolelta, ei ole monotoninen , ei ole integroitavissa eikä se ole mitattavissa millä tahansa mielivaltaisen pienellä aikavälillä, täyttäen arvoillaan tällä välillä kaikkialla tiheästi numeerisella akselilla . $f(x+y)=f(x)+f(y)$ $\{r_{\alpha }\}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $x=k_{{\alpha _{1}}}r_{{\alpha _{1}}}+\cdots +k_{{\alpha _{n}}}r_{{\alpha _{n}}}$ $k_{i}\in {\mathbb {Q}}$ $f(x)=k_{\alpha _{1}}f_{\alpha _{1}}+\cdots +k_{\alpha _{n}}f_{\alpha _{n}}$ $f_{\alpha _{n}}=f(r_{\alpha _{n}})$ $f(x)$ $f(x)=(c\cdot x)$ $f(x)$ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ $f_{\alpha _{n}}\neq c\cdot r_{\alpha _{n}}$ $f(x)=c\cdot x$ $\left(-\infty ,+\infty \oikea)$

Schauderin perusta

Topologisessa vektoriavaruudessa olevaa vektorijärjestelmää kutsutaan Schauder -kantaiseksi ( Schauderin kunniaksi ), jos jokainen elementti hajoaa yhdeksi sarjaksi , joka suppenee : $\{e_{n}\}$ $L$ $f\in L$ $f$ $\{e_{n}\}$

f=\sum _{{i=1}}^{{\infty }}f_{i}e_{i},

missä ovat numerot, joita kutsutaan vektorin laajenemiskertoimiksi perusteella . $f_{i}$ $f$ $\{e_{n}\}$

Yleisten lineaariavaruuksien Hamel-kannan määritelmän (vain äärelliset summat ovat sallittuja) ja topologisten vektoriavaruuksien Schauder- kannan (laajennus konvergenttisarjaksi on sallittu) välisen eron korostamiseksi käytetään usein termiä lineaarinen kanta . entinen , jättäen termin perustan sarjan laajennuksille . Lineaarisen kannan tehoa kutsutaan myös lineaariseksi ulottuvuudeksi . Äärillisulotteisissa avaruudessa nämä määritelmät ovat samat, koska kanta on äärellinen. Äärettömän ulottuvuuden avaruudessa nämä määritelmät eroavat merkittävästi, ja lineaarinen ulottuvuus voi olla tiukasti suurempi kuin Schauder-kannan kardinaalisuus.

Esimerkiksi yhdelläkään äärettömän ulottuvuuden Hilbert-avaruudella ei ole laskettavaa lineaarista kantaa, vaikka sillä voi olla laskettavia sarjalaajennuksia sisältävää Schauder-kantaa, mukaan lukien ortonormaalit kannat . Kaikki Hilbert-avaruuksien ortonormaalit kantakannat ovat Schauder-kantoja, esimerkiksi funktioiden joukko on Schauder-kanta . Yleisemmissä Banach-avaruuksissa ortonormaalikannan käsitettä ei voida soveltaa, mutta usein on mahdollista rakentaa Schauder-kantoja, jotka eivät käytä ortogonaalisuutta. $\{1,{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\sin(2\pi nx),{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\cos(2\ pi nx)\mid n=1,2,\pisteet \}$ $L^{2}[0,1]$

Esimerkki: Schauder-kanta jatkuvien funktioiden avaruudelle C [ a, b ]

$Ohjaamo]$ on Banach-tila , jossa on normi . Laajennuksissa Fourier-sarjoihin ja yleistettyihin Fourier-sarjoihin ortonormaaleissa funktiojärjestelmissä konvergenssi Hilbert-avaruudessa on helposti todistettavissa , mutta ei . Schauder rakensi Schauder- perustan . Antaa olla tiheä laskettava joukko pisteitä , , , Loput pisteet voivat olla esimerkiksi kaikki rationaaliset pisteet segmentissä , järjestetty mielivaltaisesti. Oletetaan, että , on lineaarinen funktio. Määritellään paloittain lineaarinen funktio siten, että varten ja . Pisteet on jaettu segmentteihin . Pointti on tiukasti yhden niistä sisällä. Olkoon tämä joillekin (numeroiden numerointijärjestys ei vastaa niiden kokoa). $\|f\|=\max _{{x\in [a,b]}}|f(x)|$ $L^{2}[a,b]$ $Ohjaamo]$ $\{e_{n}\}$ $Ohjaamo]$ $\{x_{0},x_{1},\pisteet ,x_{n},\pisteet \}$ $[a,b]$ $x_{0}=a$ $x_{1}=b$ $[a,b]$ $e_{0}=1$ $e_{1}=(xa)/(ba)$ $e_{n}(x)$ $e_{n}(x_{i})=0$ $i=0,1,\pisteet,n-1$ $e_{n}(x_{n})=1$ $x_{0},x_{1},x_{2},\pisteet ,x_{{n-1}}$ $[a,b]$ $n-1$ $x_{n}$ $I_{n}=[x_{j},x_{k}]$ $j,k\in \{0,\pisteet ,n-1\}$ $x_{0},x_{1},x_{2},\pisteet$

Laitetaan:

e_{n}(x)=0

segmentin ulkopuolella

I_{n}=[x_{j},x_{k}],

e_{n}(x)={\frac {x-x_{j}}{x_{n}-x_{j}}}

klo

x\in [x_{j},x_{n}],

e_{n}(x)={\frac {x_{k}-x}{x_{k}-x_{n}}}

klo

x\in[x_{n},x_{k}].

Tuloksena oleva paloittain lineaaristen "hattujen" järjestelmä on vaadittu Schauder-perusta. Mielivaltaisen funktion laajennuskertoimet tässä pohjassa ilmaistaan eksplisiittisillä rekursiivisilla kaavoilla arvojen sarjana . Sarjan ensimmäisten ehtojen osasumma $f(x)\in C[a,b]$ $f(x_{i})$ $n+1$

L_{n}(x)=\sum _{{i=0}}^{{n}}f_{i}e_{i}(x),

on tässä tapauksessa paloittain lineaarinen approksimaatio solmujen kanssa pisteissä ; kertoimien kaava (katso kuva) $f(x)$ $x_{0},x_{1},x_{2},\pisteet ,x_{{n}}$ $f_{n}=f(x_{n})-L_{{n-1}}(x_{n});\;\;f_{0}=f(a)$

Perusongelma

Schauder-kannat on rakennettu useimmille tunnetuille esimerkeille Banach-avaruuksista, mutta Banach-Schauder-ongelma Schauder-pohjan olemassaolosta jokaisessa erotettavassa Banach-tilassa ei kelvannut ratkaisuun yli 50 vuoteen ja se ratkesi negatiivisesti vasta 1972: on olemassa erotettavia Banach-avaruuksia ilman Schauder-perustaa (Enflo-vastaesimerkit [1] , Shankovsky, Davy ja Figel).

Sovellukset kristallografiassa

Vektorialgebrassa vektoritulon ja sekatulon avulla määritellään kolmiulotteisen euklidisen avaruuden perustan keskinäisen perustan käsite ja sitä käytetään todistamaan joitain väitteitä, jotka liittyvät sekatuloon ja vektorien välisiin kulmiin [2 ] :212-214 . Kristallografiassa käänteispohjaa kutsutaan perusteen kristallografiseksi määritelmäksi, jonka perusteella käänteishila määritetään .

Katso myös

Reper on läheisesti liittyvä käsite.
Ortogonaalinen kanta on erityinen perusluokka (Schauder-pohjat) tiloille, joissa on sisätulo ( Hilbert-avaruus ).
Gröbnerin perusteella
Rieszin perusteella
äärellisulotteinen avaruus
Lippu (matematiikka)

Muistiinpanot

↑ Enfloa kohden. Vastaesimerkki approksimaatioongelmalle Banach-avaruuksissa (englanniksi) // Acta Math .. - 1973. - Vol. 130 (1973) . - s. 309-317 . - doi : 10.1007/BF02392270 .
käännös: Per Enflo. Vastaesimerkki approksimaatioongelmalle Banach- avaruuksissa = Vastaesimerkki approksimaatioongelmalle Banach-avaruuksissa // Mathematics / käännös. B. S. Mityagin. - 1974. - T. 18 , no. 1 . — S. 146–155 .
↑ Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Vektorialgebra esimerkeissä ja ongelmissa . - M . : Korkeakoulu , 1985. - 232 s.

Kirjallisuus

Kutateladze S. S., Funktionaalisen analyysin perusteet . - 4. painos, korjattu. - Novosibirsk: Matematiikan instituutin SB RAS kustantamo, 2001. - XII + 354 s.

Vektorit ja matriisit

Vektorit

Peruskonseptit	Vektori geometriassa Perusta Ortogonaalinen perusta Vektorikoordinaatit Kollineaarisuus Ortogonaalisuus Lineaarinen riippuvuus Saraketila
Vektorityypit	Yksikkövektori Aksiaalinen vektori isotrooppinen vektori Normaali Kollineaarisuus Nolla vektori Sädevektori Omavektori
Operaatiot vektoreille	Skalaarituote vektorituote sekoitettu tuote Pseudoskalaarinen tuote Kaksinkertainen ristituote
Tilatyypit	vektoriavaruus affinista tilaa Euklidinen avaruus Pseudoeuklidinen avaruus Normaali tila Minkowskin tila

matriiseja

Peruskonseptit	Matriisin kertolasku Transponoitu matriisi Hermitian konjugaattimatriisi Symmetrinen matriisi käänteinen matriisi Ominaisarvo Matriisin karakteristinen polynomi
Erikoismatriisit	Identiteettimatriisi Nolla matriisi Diagonaalinen matriisi lambda matriisi
Matriisihajotukset	LU:n hajoaminen Cholesky-hajoaminen QR-hajotus LUP-hajoaminen singulaariarvon hajottelu Matriisin spektrihajotus

muu