Cauchyn funktionaalinen yhtälö

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 14. tammikuuta 2014 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 20 muokkausta .

Funktiofunktion Cauchyn yhtälöllä on muoto $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

f(x+y)=f(x)+f(y)

Funktiota, joka täyttää tämän yhtälön, kutsutaan additiiviseksi . Tämä termi koskee mielivaltaisia toimintoja, ei vain todellisia.

Cauchyn yhtälö on yksi vanhimmista ja yksinkertaisimmista funktionaalisista yhtälöistä , mutta sen ratkaisu reaalilukuina on melko monimutkainen. Rationaalisissa luvuissa alkeismatematiikan avulla voidaan todistaa , että on olemassa ainutlaatuinen muodon ratkaisuperhe , jossa c on mielivaltainen vakio. Tämä ratkaisuperhe on myös yksi reaalilukujoukon ratkaisuista. Kohteeseen , asetetut lisärajoitukset voivat sulkea pois mahdollisuuden muiden ratkaisujen olemassaolosta. Esimerkiksi lineaarifunktiot ovat ainoat mahdolliset ratkaisut, jos: $f(x)=cx$ $f$ $f(x)=cx$

$f$ on jatkuva (todisti Cauchy vuonna 1821 ). Tätä ehtoa lievensi vuonna 1875 Darboux , joka osoitti, että funktion jatkuvuus on välttämätön vain yhdessä kohdassa.
$f$ on monotoninen jollain aikavälillä.
$f$ rajattu ylhäältä tai alhaalta jollain välillä (erikoistapaus: säilyttää merkin jollain välillä). $f$
joillekin argumenttiarvojen aikavälille on nollasta poikkeava arvoväli, jota funktio ei ota tällä välillä (yleisempi versio edellisestä tapauksesta). $f$
$f$ integroitavissa (erityisesti Lebesguen mukaan ) jollain aikavälillä.
$f$ mitattavissa tietyllä aikavälillä.

Toisaalta, jos :lle ei ole lisärajoituksia , yhtälön täyttäviä funktioita on äärettömän paljon (katso artikkeli Hamelin perusteet ). Georg Hamel todisti tämän vuonna 1905 käyttämällä Hamel-pohjaa ja siten valinnan aksioomaa . Hilbertin kolmannen ongelman yleistys moniulotteisten tilojen tapaukseen käyttää tätä yhtälöä. $f$

Muut funktionaalisen Cauchyn yhtälön muodot

Seuraavat funktionaaliset yhtälöt vastaavat additiivista Cauchyn yhtälöä : $f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$

logaritminen Cauchyn yhtälö (yksi ratkaisuperheistä on muotoa ). $f\left(xy\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$ $f\left(x\right)=c\ln \left|x\right|=\log _{a}\left|x\right|$
teho Cauchyn yhtälö (yksi ratkaisuperheistä on muotoa ). $f\left(xy\right)=f\left(x\right)f\left(y\right)$ ${\displaystyle f\left(x\right)=\left|x\right|^{a))$
eksponentiaalinen Cauchyn yhtälö (yksi ratkaisuperheistä on muotoa ). $f\left(x+y\right)=f\left(x\right)f\left(y\right)$ ${\displaystyle f\left(x\right)=\exp \left(cx\right)=a^{x))$

Näiden yhtälöiden rappeutunut ratkaisu on funktio . $f\left(x\right)=0$

Ratkaisu rationaaliluvuilla

Osoitetaan, että rationaalilukuja voidaan ottaa pois funktiomerkistä. Otetaan : $n\in \mathbb {N}$

f(nx)=f(x+x+\cdots +x)=f(x)+f(x)+\cdots +f(x)=nf(x)

f\left({\frac {x}{n}}\right)={\frac {nf(x/n)}{n}}={\frac {f(x)}{n}}

Laitetaan nyt ja : $x=y=0$ $y=-x$

f(0)=f(0)+f(0)\Rightarrow f(0)=0

f(0)=f(x)+f(-x)\Oikea nuoli f(-x)=-f(x)

Yhdistämällä kaikki saamme:

\forall a\in \mathbb {Q} ,x\in \mathbb {R} :f(ax)=af(x)

Asettamalla ja merkitsemällä meillä on ainutlaatuinen ratkaisuperhe . $x=1$ $c=f\left(1\right)$ $f(x)=cx$ $\mathbb {Q}$

Epälineaaristen ratkaisujen olemassaolo

Todistus epälineaaristen ratkaisujen olemassaolosta on ei- konstruktiivinen ja perustuu valinnan aksioomiin . Sen avulla todistetaan Hamel -kannan olemassaolo missä tahansa vektoriavaruudessa , mukaan lukien äärettömät.

Tarkastellaan vektoriavaruutta kentän päällä : sillä on Hamel-pohja. Otetaan kerroin jonkin kantavektorin eteen luvun laajennuksessa kannan mukaan - tästä tulee arvo . Tuloksena oleva funktio ottaa rationaalisia arvoja (kertoimena laajennuksessa ) ja ei ole identtisesti yhtä suuri kuin nolla ( ), eikä siksi voi olla lineaarinen. On helppo ymmärtää, että se on additiivinen, eli se täyttää Cauchyn yhtälön. $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $\alpha$ $x$ $f(x)$ $\mathbb {Q}$ $f(\alpha )=1$

Yleisessä tapauksessa olkoon reaalilukujen joukon Hamel -kanta rationaalisten lukujen kentän yli . Sitten jokaiselle realille on laajennus Hamel-kannassa (jossa ), ja tällainen laajennus on ainutlaatuinen laajennustermien ja nollakertoimien termien järjestykseen asti. Additiiviselle funktiolle ehdon tulee täyttyä , jossa on kiinteitä reaalilukuja (rationaaliset tekijät voidaan ottaa pois additiivisen funktion etumerkistä, katso edellinen kappale). On selvää, että tämän suhteen antama funktio tyydyttää additiivisen Cauchyn yhtälön mille tahansa apulukuvalinnalle . Kuitenkin vain silloin, kun , missä on mielivaltainen reaaliluku, kyseinen funktio osoittautuu funktion lineaariseksi funktioksi . $\{r_{\alpha }\}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $x$ $x=k_{{\alpha _{1}}}r_{{\alpha _{1}}}+\cdots +k_{{\alpha _{n}}}r_{{\alpha _{n}}}$ $k_{i}\in {\mathbb {Q}}$ $f(x)$ $f(x)=k_{\alpha _{1}}f_{\alpha _{1}}+\cdots +k_{\alpha _{n}}f_{\alpha _{n}}$ $f_{\alpha _{n}}=f(r_{\alpha _{n}})$ $f(x)$ $f_{\alpha _{n))$ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ $f_{\alpha _{n}}\equiv c\cdot r_{\alpha _{n}}$ $c$

Epälineaaristen ratkaisujen ominaisuudet

Nyt todistetaan, että minkä tahansa epälineaarisen ratkaisun täytyy olla melko epätavallinen funktio - sen graafin on oltava kaikkialla tiheä . Tämä tarkoittaa, että mikä tahansa mielivaltaisen pieni ympyrä tasossa sisältää ainakin yhden pisteen tästä kuvaajasta. Tästä on helppo päätellä muita ominaisuuksia, kuten epäjatkuvuus missä tahansa kohdassa, ei-monotonisuus ja rajoittamattomuus millä tahansa aikavälillä. $y = f(x)$ $\mathbb {R} ^{2}$

Jakamalla funktion luvulla voimme olettaa, että . (Jos , niin , ja alla annettu päättely pysyy voimassa pienin muutoksin, olettaen, että on olemassa piste , jolle .) Jos funktio ei ole lineaarinen, niin joillekin : asetetaan . Näytämme nyt kuinka löytää kaaviopiste mielivaltaisesta ympyrästä, jonka keskipiste on sädepiste , jossa . On selvää, että tämä riittää graafin tiheydelle kaikkialla . $c=f(1)$ $\forall a\in \mathbb {Q} :f(a)=a$ $f(1)=0$ $\forall a\in \mathbb {Q} :f(a)=0$ $\alpha \in \mathbb {R}$ $f(\alpha )\neq 0$ $f(x)$ $f(\alpha )\neq \alpha$ $\alpha \in \mathbb {R}$ $f(\alpha )=\alpha +\delta ,\delta \neq 0$ $(x,y)$ $r$ $x,y,r\in \mathbb {Q} ,r>0,x\neq y$ $y = f(x)$ $\mathbb {R} ^{2}$

Asetetaan ja valitaan rationaalinen luku lähellä , jotta: $\beta ={\frac {yx}{\delta ))$ $b\neq 0$ $\beeta$

\left|\beta -b\right|<{\frac {r}{3\left|\delta \right|}}

Valitse sitten rationaalinen luku , joka on lähellä , jotta: $a$ $\alpha$

\left|\alpha -a\right|<{\frac {r}{3\left|b\right|}}

Otetaan nyt ja käyttämällä funktionaalista yhtälöä, saamme: $X=x+b(\alpha -a)$

Y=f(X)=f(x+b(\alpha -a))

=x+bf(\alpha )-bf(a)

=y-\delta \beta +bf(\alpha )-bf(a)

=y-\delta \beta +b(\alpha +\delta )-ba

=y+b(\alpha -a)-\delta (\beta -b)

Mutta sitten , eli piste oli ympyrän sisällä. $(Yy)^{2}+(Xx)^{2}=(b(\alpha -a)-\delta (\beta -b))^{2}+(b(\alpha -a) )^{2}\leqslant \left({\frac {r}{3}}+{\frac {r}{3}}\right)^{2}+\left({\frac {r}{3 }}\oikea)^{2}<r^{2}$ ${\näyttötyyli (X,Y)}$

Voidaan myös osoittaa [1] , että kun additiivinen funktio ei ole lineaarinen, se on epäjatkuva missä tahansa reaaliakselin kohdassa, eikä myöskään säilytä etumerkkiä, ei ole rajoitettu ylä- tai alapuolelta, ei ole monotoninen , ei ole integroitavissa , ja se ei ole mitattavissa millään mielivaltaisen pienellä aikavälillä, joka täyttää edellä todistetun graafin tiheyttä koskevan väitteen mukaisesti kaikkialla tasolla , millä tahansa mielivaltaisen pienellä välillä, täyttäen koko reaaliakselin arvoillaan tiheästi . $f(x)$ $y = f(x)$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\left(-\infty ,+\infty \oikea)$

Muistiinpanot

↑ Rutgersin yliopisto . Haettu 3. marraskuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 3. marraskuuta 2019. (määrätön)

Kirjallisuus

N. K. Vereshchagin, A. Shen. Joukkoteorian alku . — S. 82. — (Luentoja matemaattisesta logiikasta ja algoritmien teoriasta).
Cauchyn funktionaalisen yhtälön ratkaiseminen - Rutgersin yliopisto