Symplektinen geometria

Symplektinen geometria on differentiaaligeometrian ja differentiaalitopologian ala , joka tutkii symplektisiä monistoja : sileitä jakoputkia , joissa on valittu suljettu , rappeutumaton 2-muoto. Alkuperäinen symplektinen geometria syntyi Hamiltonin formalismista klassisessa mekaniikassa , kun klassisen järjestelmän vaiheavaruus osoittautui symplektiseksi monimutkaiseksi.

Symplektisellä geometrialla on sekä yhtäläisyyksiä että eroja Riemannin geometrian kanssa , joka tutkii monistoja valitulla neliöllisen positiivisella määrätyllä muodolla - metrisellä tensorilla -, jonka avulla voidaan määrittää etäisyydet jakoputkesta. Toisin kuin Riemannilaisen geometrian tapauksessa, symplektisissä monisarjoissa ei ole paikallista invarianttia, joka on kaarevuus Riemannin tapauksessa . Tämä seuraa Darboux'n lauseesta , jossa todetaan, että 2n -ulotteisen symplektisen moniston minkä tahansa pisteen riittävän pieni ympäristö on isomorfinen jollekin alueelle , jolla on vakiomuotoinen symplektinen muoto: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n))$

{\displaystyle \omega =\sum _{j}dp_{j}\wedge dq_{j))

Toinen ero Riemannin geometriaan on se, että jokaiselle monistolle ei voida antaa symplektistä rakennetta: topologisia rajoituksia on useita. Siten jakotukin tulee olla tasaulotteinen ja suuntautuva . Myös suljetun jakosarjan tapauksessa sen toisen homologiaryhmän on oltava ei-triviaali: symplektinen muoto kompaktissa jakosarjassa ilman rajaa ei voi olla tarkka . $M$ $H^{2}(M,\mathbb {R} )$

Kirjallisuus

Fomenko A. T. Symplektinen geometria. Menetelmät ja sovellukset. - M .: MGU, 1988. - 413 s. — ISBN 5-211-00083-8 .