Sekatilavuus

Sekoitettu tilavuus on numeerinen ominaisuus kuperille kappaleille -ulotteisessa euklidisessa avaruudessa. $n$ $n$

Yleensä merkitään joukon sekoitettu tilavuus ${\displaystyle K_{1},K_{2},\dots ,K_{n))$

V(K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})

Määritelmä

Olkoon kupera kappaleiden joukko positiivisia reaalilukuja . Merkitään kehon tilavuudella ${\displaystyle K_{1},K_{2},\dots ,K_{n))$ $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n))$ $v(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})$

\lambda _{1}\cdot K_{1}+\lambda _{2}\cdot K_{2}+\dots +\lambda _{n}\cdot K_{n},

jossa " " tarkoittaa Minkowskin summaa ja $+$

\lambda _{i}\cdot K_{i}=\{\,\lambda \cdot x\mid x\in K_{i}\,\}.

Funktio on homogeeninen astepolynomi . Tämän polynomin kerroin kohdassa on määritelmän mukaan yhtä suuri kuin . $v(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})$ $n$ ${\displaystyle \lambda _{1}\cdot \lambda _{2}\cdot \dots \cdot \lambda _{n))$ $n!\cdot V(K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})$

huomaa, että

v(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})=\sum _{i_{1},\dots ,i_{n}=1}^ {n}V(K_{i_{1}},K_{i_{2}},\dots ,K_{i_{n}})\cdot \lambda _{i_{1}}\cdot \lambda _{i_ {2}}\cdot \dots \cdot \lambda _{i_{n}}.

Ominaisuudet

Satunnaisille ei-negatiivisille luvuille , ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n))$ $V(\lambda _{1}\cdot K_{1},\lambda _{2}\cdot K_{2},\dots ,\lambda _{n}\cdot K_{n})=\lambda _{1}\cdot \lambda _{2}\cdot \dots \cdot \lambda _{n}\cdot V(K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})$
Sekoitettu tilavuus on muuttumaton joukon kappaleiden rinnakkaisten käännösten yhteydessä.
Sekoitettu tilavuus on yksitoikkoinen kappaleiden sisällyttämisen suhteen.
Sekoitettu tilavuus on jatkuvaa suhteessa Hausdorffin metriikkaan .
Sekoitettu tilavuus ei ole negatiivinen.
- Lisäksi jos ja vain jos jokaiseen on mahdollista piirtää segmentti siten, että nämä segmentit ovat lineaarisesti riippumattomia. $V(K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})>0$ $K_{i}$
Ei-negatiiviselle kokonaisluvulle kuperan kappaleen ja yksikköpallon kopioiden sekoitettu tilavuus ilmaistaan poikittaismitan keskiarvona . Erityisesti $k\leq n$ $nk$ $K$ $\mathbb {R} ^{n}$ $k$ $k$ $K$
- Kopiosarjan sekoitettu tilavuus on yhtä suuri kuin normaali tilavuus . $n$ $K$ $K$
- Keihässarjan ja yhden pallon sekoitettu tilavuus on yhtä suuri kuin pinta-ala . $n-1$ $K$ ${\frac {1}{n}}$ $K$
Tyypillinen ratkaisujen lukumäärä polynomiyhtälöjärjestelmälle on yhtä suuri kuin Newtonin monitahojen sekatilavuus . $f_{1}=f_{2}=\dots =f_{n}=0$ $f_{i}$
Minkowskin epätasa-arvo $V^{n}(K,L,\dots ,L)\geq V(K)\cdot V^{n-1}(L)$
Aleksandrov - Fenchelin epätasa -arvo $V(K_{1},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})\geq {\sqrt {V(K_{1},K_{1},K_{3} ,\ldots ,K_{n})\cdot V(K_{2},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})}}.$

Katso myös

Hadwigerin lause

Kirjallisuus

Burago, Juri Dmitrievich , Viktor Abramovitš Zalgaller . Geometriset epäyhtälöt. Tiede, 1980.