Malmquistin siirtymä

Malmquist -siirtymä ( Malmquist shift ) on havaintoastronomian vaikutus, joka johtaa korkean valoisuuden omaavien kohteiden etusijalle. Tämän vaikutuksen kuvasi ensimmäisen kerran vuonna 1922 ruotsalainen tähtitieteilijä Gunnar Malmqvist (1893-1982), joka tutki tätä ilmiötä yksityiskohtaisesti vuonna 1925. [1] [2] Tilastoissa tämä harha on systemaattinen virhe ja vaikuttaa tutkimustuloksiin näytteissä, jotka on rajoitettu näennäisen magnitudin rajoissa ja jotka eivät sisällä tähtiä, joiden näennäinen magnitudi ylittää tietyn arvon. Koska havaitut tähdet ja galaksit näyttävät himmeämmiltä suuremmilla etäisyyksillä tarkkailijasta, näennäinen magnitudi kasvaa etäisyyden myötä, kunnes se ylittää tämän tutkimuksen raja-arvon. Kohteita, joilla on suurempi kirkkaus, voidaan havaita kauempaa, mikä voi luoda harhaanjohtavan suhteen, joka lisää kirkkautta etäisyyden mukaan. Menetelmä tällaisen vaikutuksen oikean huomioon ottamiseksi vaati tutkijoilta erityistä huomiota.

Siirtymäteoria

Näennäinen suuruus ja loisto

Tiedetään, että lähteen siirtyessä pois havaitsijasta lähde näyttää heikommalta ja heikommalta. Vaimennus tapahtuu käänteisen neliön lain mukaan , jonka mukaan valolähteestä tuleva valaistus pienenee 1/ d 2 , missä d on yhtä suuri kuin etäisyys valonlähteestä havainnoijaan.

Tähtien valo etenee myös käänteisen neliön lain mukaan. Valosäteet etenevät pallon sisällä, jonka keskipiste on tähti. Ajan myötä pallo kasvaa suuremmaksi valon siirtyessä pois tähdestä. Pallon koko kasvaa, mutta säteiden määrä pysyy samana. Siksi yhden pallon alueen läpi kulkevan valon määrä pienenee etäisyyden ja siten ajan myötä. Tähtiä havainnoitaessa tarkkailija tallentaa vain ne säteet, jotka osuvat tietylle alueelle. Tämä tosiasia osoittaa, miksi kauempana olevat tähdet näyttävät himmeämmiltä.

Tarkastellaan kahta saman kirkkauden tähteä eri etäisyyksillä. Lähempänä oleva tähti näyttää kirkkaammalta. Näin ollen tähtien näennäinen suuruus ei riipu vain lähteen kirkkaudesta, vaan myös etäisyydestä siihen.

Jos kaikilla tähdillä olisi sama kirkkaus, etäisyys maasta tähteen määritettäisiin yksinkertaisesti. Tähtien kirkkaus on kuitenkin merkittävästi erilainen, joten kaukainen kirkas tähti on vaikea erottaa heikosta läheisestä. Näin ollen etäisyyden määrittäminen tähtitieteellisiin esineisiin on vaikea tehtävä.

Syy Malmquistin poistamiseen

Yleensä kun tarkkailemme jotakin taivaan aluetta, voimme nähdä tähtiä vain tiettyyn suuruuteen asti. Kuten edellä on käsitelty, näemme korkean kirkkauden kaukaisia ​​tähtiä ja lähellä olevia tähtiä, sekä kirkkaita että himmeitä. Näin ollen näyttää siltä, ​​​​että tiettyyn etäisyyteen asti korkean kirkkauden tähtiä on paljon enemmän kuin heikkoja. Itse asiassa himmeitä tähtiä on paljon enemmän, [3] mutta ne eivät kuulu havaittuun otokseen, koska ne ovat liian himmeitä. Taivaan osuutta tarkasteltaessa siirtyminen kohti kirkkaampia tähtiä vaikuttaa tähtien absoluuttisen magnitudin keskiarvon ja tähtiryhmän keskimääräisen etäisyyden määrittämiseen. Koska suuren valoisuuden tähdet näkyvät suurilla etäisyyksillä, saattaa vaikuttaa siltä, ​​että tarkasteltava näyte on keskimäärin kauempana, ja siksi jokaisen tähden katsotaan olevan kirkkaampi. Tätä vaikutusta kutsutaan Malmquist-biasiksi. [yksi]

Kun tutkitaan näytteitä korkean valoisuuden lähteistä, tähdistä tai galakseista, on tärkeää ottaa huomioon siirtyminen kohti kirkkaampia kohteita. On olemassa useita menetelmiä Malmquistin harhavaikutuksen huomioon ottamiseksi.

Malmquistin muutoksen vaikutus ei rajoitu esineiden kirkkauteen. Muut havaittavat suureet ovat saman muutoksen kohteena, ja niiden kyky havaita heikkenee etäisyyden myötä. [neljä]

Korjausmenetelmät

Ihannetapauksessa tätä harhaa tutkimuksissa tulisi välttää. Suuruusrajoitetut tutkimukset ovat kuitenkin helpoimmin toteutettavissa, kun taas muut menetelmät ovat monimutkaisempia ja vaativat muuntyyppisten epävarmuustekijöiden huomioon ottamista, mikä voi olla vaikeaa ensimmäistä kertaa havaittaville kohteille. Useita erilaisia ​​menetelmiä on ehdotettu harhojen poistamiseksi. Alla on menetelmät monimutkaisuuden lisäämisessä sekä tarkkuuden ja tehokkuuden lisäämisessä.

Näytteenottoraja

Yksinkertaisin tapa käyttää vain puolueetonta osaa tietojoukosta. [5] Rajoittavasta magnitudista riippuen etäisyysarvoissa voi olla aikaväli, jolla kaikki objektit, joilla on eri absoluuttinen suuruus , ovat näkyvissä. Silloin tällainen data-alajoukko on vapaa Malmquistin harhasta. Sellaisen osajoukon saaminen voidaan tehdä seuraavasti: etäisyyden raja-arvo on se, jolla heikoimmilla kohteilla on raja-arvo. Valitettavasti tämä menetelmä sulkee pois suuren tietomäärän ja rajoittaa mahdollisen analyysin vain lähellä olevien kohteiden tietoihin. Tämä menetelmä edellyttää myös tarkan tiedon etäisyyksistä esineisiin.

Korjauksen perinteinen versio

Ensimmäinen Malmquistin vuonna 1922 ehdottama ratkaisu oli korjata näytteen keskimääräinen absoluuttinen suuruus ( ) puolueettoman arvon ( M 0 ) saamiseksi . [1] Korjaus on

Tämän korjauksen laskemiseksi Malmquist ja muut tutkijat käyttivät useita oletuksia. [6]

  1. Tähtienvälistä sukupuuttoa ei tapahdu tai tähtien välinen aine (kaasu tai pöly) ei vaikuta valon kulkemiseen. Tämä oletus viittaa siihen, että valon eteneminen noudattaa vain käänteistä neliölakia.
  2. Valoisuusfunktio (Φ) on riippumaton etäisyydestä ( r ). Tämä oletus tarkoittaa, että universumi on sama missä tahansa osassa ja tähdet ovat jakautuneet millä tahansa alueella samalla tavalla kuin Auringon läheisyydessä.
  3. Tietyllä taivaanpallon alueella tähtien tiheys ( ρ ) riippuu vain etäisyydestä, mikä tarkoittaa samaa määrää tähtiä keskimäärin eri suuntiin.
  4. Näyte katsotaan täydelliseksi, eli se ottaa huomioon kaikki tähdet rajoittavaan näennäiseen tähtien magnitudiin ( m lim ).
  5. Valoisuusfunktio voidaan approksimoida Gaussin keskimääräisellä absoluuttisella magnitudilla M 0 .
  6. Tähdet kuuluvat samaan spektriluokkaan , jonka keskimääräinen absoluuttinen tähtien magnitudi on yhtä suuri kuin M 0 , varianssi on yhtä suuri kuin σ .

Tämä tilanne on ihanteellinen, ja viimeinen oletus liittyy suurimpiin vaikeuksiin, mutta mahdollistaa yksinkertaisen muodon korjaamisen. Kun integroimme kirkkausfunktion kaikilla etäisyyksillä ja kirkkaammilla kuin m lim , meillä on

[1] [6]

jossa A(m lim ) on yhtä suuri kuin m lim kirkkaampien tähtien kokonaismäärä . Jos tähtien tilajakaumaa voidaan pitää yhtenäisenä, tämä suhde yksinkertaistetaan ja pelkistetään muotoon

[1] [6] Korjaus havaintojen sisällä useissa vyöhykkeissä

Perinteinen menetelmä tarkoittaa, että näennäisen suuruuden mittaukset ja mittaukset, joista etäisyydet määritetään, suoritetaan samalla aallonpituusalueella (esimerkiksi H-kaistalla, aallonpituusväli infrapuna-alueella, noin 1300-2000 nm ), mikä johtaa korjaukseen muodossa cσ 2 , jossa c on vakio. Valitettavasti tällaiset tapaukset ovat harvinaisia, koska yleensä etäisyys esineisiin määritetään muiden aallonpituusalueiden havaintojen perusteella. Esimerkiksi galaksit valitaan usein B-kaistan tutkimusluetteloista, täydellisimpiä tutkimuksia ja sitten tämän kaistan näennäisiä tähtien magnitudeja, mutta etäisyydet määritetään Tully-Fisher-riippuvuudesta ja H-kaistasta. Tässä tapauksessa varianssi korvataan kovarianssilla galaksien etäisyyssironta- ja sirontaparametrien välillä (esimerkiksi näennäinen magnitudi). [7]

Punnitus tilavuuden mukaan

Toinen yksinkertainen korjausmenetelmä on käyttää painotettua keskiarvoa ottamaan huomioon kunkin arvon suhteellinen osuus. Koska objekteja, joilla on eri absoluuttinen suuruus, voidaan nähdä eri etäisyyksillä, kunkin pisteen osuutta keskimääräiseen absoluuttiseen suuruuteen tai valoisuusfunktioon voidaan ottaa huomioon painolla 1/V max , jossa V max osoittaa maksimitilavuuden, jossa esineet voidaan käsitellä. havaittu. Kirkkaammilla kohteilla (pienempi absoluuttinen magnitudi) on suurempi tilavuus, jossa ne voidaan havaita, ja siksi niillä on vähemmän painoa, vaikka yleensä tällaista ryhmää edustaa suuri määrä kohteita. [8] Maksimitilavuus voidaan esittää pallon tilavuutena, jonka säde määräytyy etäisyysmoduulista kohteen absoluuttisen suuruuden ja rajoittavan näennäisen suuruuden mukaan.

V max -arvon määrittämisessä on kaksi päävaikeutta . Ensinnäkin tutkimus ei välttämättä kata koko taivasta, eli tulee ottaa huomioon se taivaan osan alue, jossa tutkittavia kohteita tarkkaillaan. [8] Täysmittauksessa kohteita tarkkaillaan koko taivaanpallolla, mutta käytännössä kokonaiset tutkimukset ovat harvinaisia ​​havaintojen aikarajoitusten sekä maantieteellisten rajoitusten vuoksi (osa taivaasta ei välttämättä näy tietystä leveysasteesta). ). Sen sijaan havaintoja tehdään pieneltä taivaan alueelta, jonka jälkeen oletetaan tiettyjen kohteiden jakautuminen (tasainen tai paksuuntuva kohti Galaxyn tasoa), mikä mahdollistaa havaintojen ekstrapoloinnin koko taivaanpallolle. On myös mahdollista yksinkertaisesti skaalata havaittujen kohteiden lukumäärä tarkkailtavan taivaan osan mukaan. Katsauksen epätäydellisyyden vaikutus tulee ottaa huomioon vertailtaessa erilaisia ​​arvioita.

Toiseksi kaukaisia ​​kohteita havainnoitaessa tulee ottaa huomioon kosmologinen punasiirtymä ja universumin laajeneminen . Tässä tapauksessa on otettava huomioon liikkumisetäisyys , joka on vakio kahden kohteen välillä, olettaen, että ne liikkuvat suhteessa toisiinsa vain universumin laajenemisen vuoksi. Jos jätämme huomiotta universumin laajenemisen, niin mukana tulevaa etäisyyttä voidaan pitää kohteiden välisenä etäisyydenä. Siihen liittyvää etäisyyttä voidaan käyttää äänenvoimakkuuden laskemiseen. Jos punasiirtymä on yhtä suuri kuin z , D A ja VA ovat yhtä suuria kuin etäisyys ja tilavuus (mitä tahansa ne tällä hetkellä mitataan), D C ja V C ovat yhtä suuria kuin liikkuva etäisyys ja tilavuus,

[9]

Tilavuuspainotuksen vakava haittapuoli on sen suuri herkkyys suurille rakenteille, kuten tähtiklusteille tai onteloille . [10] Alueen läsnäolo, jolla on erittäin suuri tai erittäin pieni esinetiheys, aiheuttaa merkittävän muutoksen keskimääräiseen absoluuttiseen suuruuteen tai valoisuusfunktioon. Laajamittaisten epähomogeenisuuksien esiintyminen vaikuttaa eniten heikkojen kohteiden laskemiseen, koska niille tilavuudet, joissa näitä esineitä voidaan havaita, ovat pieniä.

Monimutkaisemmat korjausmenetelmät

Malmquistin puolueellisuuden huomioon ottamiseksi on useita aikaa vievämpiä ja oikeampia menetelmiä. Jotkut menetelmistä on lueteltu alla lyhyen kuvauksen kera; tarkempia tietoja saa artikkelien linkeistä.

Suurimman todennäköisyyden korjaus

Tämä menetelmä perustuu kohteiden, kuten tähtien tai galaksien, jakautumisfunktioihin , jotka näyttävät objektien odotetun määrän tietyllä parametrialueella. Jokaisella tarkasteltavien objektien parametrilla, kuten näennäinen tähtien suuruus, etäisyys, on oma jakaumafunktionsa, jonka mukaan satunnaislukugeneraattorin läsnä ollessa voidaan luoda teoreettinen näyte kohteista. Etäisyyksien jakaumafunktio oletetaan tunnetuksi, absoluuttisten suuruuksien jakaumafunktio voi vaihdella. On mahdollista verrata erilaisia ​​absoluuttisen suuruusjakauman funktioita havaittuun kohteiden jakaumaan ja löytää sellainen funktio, jolla havaittu kohteiden jakauma on todennäköisin. Jos objektien havaitsemiskyvylle on tiettyjä rajoituksia, voit saada todellisen puolueettoman jakelufunktion. Tämä menetelmä vaatii suuria laskelmia. [10] [11]

Schechterin menetelmä

Tutkiessaan galakseja Paul Schechter havaitsi spektriviivan leveyden logaritmin ja tähtien näennäisen magnitudin välisen suhteen. [12] Ihannetapauksessa spektriviivojen tulisi olla äärettömän kapeita huippuja, mutta kohteen liike, kuten pyöriminen tai siirtyminen näkölinjaa pitkin havainnointiin nähden, johtaa viivojen levenemiseen ja siirtymiseen. Suhde löydettiin Tully-Fisher-suhteen perusteella, joka kertoo etäisyyden galaksiin, näennäisen suuruuden ja nopeuden (kiertokäyrän maksimiarvo ) . Doppler -laajennuksesta johtuen havaitun spektriviivan leveyden logaritmi voidaan verrata nopeusjakauman leveyteen. Jos katsomme, että etäisyydet ovat hyvin tiedossa, niin absoluuttinen suuruus ja viivojen leveys ovat läheisesti yhteydessä toisiinsa. [12] Esimerkiksi havaittaessa neutraalia vetyä 21 cm:n viivalla suhde esitetään lineaarisena laina.

jossa P on spektrin viivanleveyden logaritmi ja α ja β ovat vakioita.

Syy tähän arvioon on hyödyllinen, koska käänteinen regressioviiva ei ole Malmquistin biasin alainen, valintavaikutus vaikuttaa vain suuruuteen. P:n odotettu arvo annettuna M on puolueeton, mikä antaa puolueettoman arvion etäisyyden logaritmista. [13]

Kehittyneemmät matemaattiset menetelmät

Korjausmenetelmien parannetut versiot perustuvat ylimääräisiin rajoittaviin oletuksiin. Usein tällaiset menetelmät johtavat monimutkaisiin matemaattisiin lausekkeisiin, joita voidaan soveltaa tiettyihin tapauksiin. Esimerkiksi Luri ym. johtivat suhteen tähtien siirtymälle galaksissa, joka liittyy tähtien näennäiseen suuruuteen, absoluuttiseen suuruuteen ja korkeuteen galaksin tason yläpuolella. Suhteen soveltaminen antaa oikeampia arvioita, mutta vaatii tiettyjä olettamuksia tähtien tilajakaumasta. [neljätoista]

Sovellus

Kun käytetään suuruusrajoitettua näytteenottoa, yhtä yllä olevista menetelmistä on käytettävä Malmquistin harhaa korjaamaan. Esimerkiksi kun johdetaan valoisuusfunktiota, kalibroidaan Tully-Fisher-suhdetta tai määritetään Hubble-vakio , Malmquistin harha voi vaikuttaa suuresti tulokseen.

Valoisuusfunktio näyttää tähtien tai galaksien lukumäärän yksikkövälillä valoisuuden tai absoluuttisen magnitudin mukaan. Käytettäessä näytettä, jonka näennäissuuruus on rajoitettu, himmeiden kohteiden määrä aliarvioituu, mikä siirtää valoisuusfunktion huippua suuremman valoisuuden omaavien kohteiden alueelle ja muuttaa funktion muotoa. Tyypillisesti Malmquistin poikkeaman korjaamiseen käytetään tilavuuspainotettua menetelmää, jonka jälkeen näytettä katsotaan etäisyysrajoitetuksi. [15] Oikeanpuoleisessa kuvassa on kaksi valoisuusfunktiota näytemagnitudin rajoittamalle tähtinäytteelle. Pistekäyrä näyttää valoisuusfunktion ilman Malmquistin bias-korjausta, kiinteä sininen käyrä näyttää korjatun valoisuusfunktion. Malmquistin poikkeama vaikuttaa merkittävästi käyrän muotoon.

Tully-Fisher-riippuvuuteen, joka yhdistää galaksien valoisuuden pyörimisnopeuteen, vaikuttaa myös Malmquistin harha. Jos läheistä galaksijoukkoa käytetään kalibroimaan suhdetta ja sitten suhdetta sovelletaan kauempana olevaan galaksijoukkoon, etäisyys kaukaiseen klusteriin siirtyy systemaattisesti alaspäin. [13]

Vaihtoehdot

Malmquistin puolueellisuuden välttämiseksi on kehitetty useita vaihtoehtoisia menetelmiä, joista osa esitellään alla.

Etäisyysrajoitettu näytteenotto

Kun otetaan huomioon esineiden otos tietylle etäisyydelle asti, Malmquistin harhaa ei esiinny. [5] Tällaisessa näytteessä tarkasteltu tilavuus sisältää kaiken tyyppisiä tähtiä, jakaumafunktiot ja valoisuusfunktiot eivät vääristy. Käytännössä tämä menetelmä on erittäin vaikea toteuttaa, koska etäisyyksien määrittämiseen esineisiin liittyy useita vaikeuksia. Jopa silloin, kun etäisyys määritetään standardikynttilöitä käyttäen , saaduissa arvioissa on epävarmuutta. Useimmiten täydellinen näytteenotto kohteista tietylle etäisyydelle on mahdollista vain suhteellisen pienillä etäisyyksillä.

Yhtenäiset ja epäyhtenäiset Malmquist-korjaukset

Tämä menetelmä yrittää jälleen korjata offsetin, mutta eri tavalla. Absoluuttisten magnitudien vahvistamisen sijaan menetelmä pitää etäisyydet esineisiin satunnaismuuttujina ja skaalaa sitten nämä etäisyydet uudelleen. [13] Sen sijaan, että näytteessä oleville tähdille määritettäisiin oikea absoluuttisten magnitudien jakauma, objektien siirtäminen suoritetaan siten, että etäisyyksien jakautuminen osoittautuu oikeaksi. Ihannetapauksessa tulosten tulisi vastata suuruuskorjausmenetelmillä saatuja tuloksia. Sekä homogeenisissa että epähomogeenisissa menetelmissä harha määritellään etäisyyksien aiemman jakauman, etäisyysestimaatin ja todennäköisyysfunktion perusteella . Homogeenisessa tapauksessa alkuetäisyydet kerrotaan lopulta samalla kertoimella. Tällainen menetelmä antaa epätarkan tuloksen laajamittaisten rakenteiden ja havaintojen valintavaikutusten läsnä ollessa. Epähomogeenisessa tapauksessa tällaiset vaikutukset yritetään ottaa huomioon, kun luodaan monimutkaisempi aiempi jakauma, joka sisältää epähomogeenisuudet havaittuun jakaumaan. Molemmissa tapauksissa oletetaan Gaussin jakauman funktiota, jonka varianssi ja keskiarvo on yhtä suuri kuin etäisyyden todellinen keskilogaritmi. Tämän menetelmän sovellettavuuden rajoja käsitellään, koska etäisyyksien alkumittauksessa esineisiin on useita epävarmuustekijöitä. [13]

Historialliset vaihtoehtoiset määritelmät

Termiä Malmquist bias ei ole aina sovellettu edellä kuvattuun vaikutukseen. Vuonna 2000 useita tilastollisia vaikutuksia kutsuttiin kirjallisuudessa Malmquist-harhaksi. [16]

Muistiinpanot

  1. ↑ 1 2 3 4 5 Malmquist, Gunnar. Joistakin suhteista tähtitilastoissa // Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik. - 1922. - T. 16 , nro 23 . - S. 1-52 . - .
  2. ↑ Malmquist, Gunnar. Avustus tähtien avaruudessa jakautumisen määrittämisongelmaan  //  Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik : Journal. - 1925. - Voi. 19A , no. 6 . - s. 1-12 . - .
  3. ↑ Salpeter, Edwin. Valoisuusfunktio ja tähtien evoluutio  //  The Astrophysical Journal  : Journal. - IOP Publishing , 1955. - Voi. 121 . - s. 161 . - doi : 10.1086/145971 . - .
  4. ↑ Seinä, JV; Jenkins, CR Practical Statistics for Astronomers. – 2. - Cambridge, UK: Cambridge University Press , 2012. - s. 189. - (Cambridge Observing Handbooks for Research Astronomers). - ISBN 978-0-521-73249-9 .
  5. ↑ 1 2 Sandage, Allan (marraskuu 2000), Malmquist Bias and Completeness Limits , Murdin, P., The Encyclopedia of Astronomy and Astrophysics , Bristol: Institute of Physics Publishing, artikkeli 1940, ISBN 0-3083-8 10.1888/0333750888/1940 . 
  6. ↑ 1 2 3 Butkevich, AG; Berdyugin, A.V.; Terrikorpi, P. Statistical biases in stellar astronomy. the Malmquist bias revisited  (englanniksi)  // MNRAS  : Journal. - 2005. - syyskuu ( osa 362 , nro 1 ) . - s. 321-330 . - doi : 10.1111/j.1365-2966.2005.09306.x . - .
  7. ↑ Gould, Andrew. Selection, Covariance ja Malmquist Bias  //  The Astrophysical Journal  : Journal. - IOP Publishing , 1993. - Elokuu ( nide 412 ). - s. 55-58 . - doi : 10.1086/186939 . - .
  8. ↑ 1 2 Blanton, Michael; Schlegel, DJ; Strauss, M.A.; Brinkmann, J.; Finkbeiner, D.; Fukugita, M.; Gunn, JE; Hogg, DW; Ivezic, Z.; Knapp, G. R.; Lupton, RH; Munn, JA; Schneider, D.P.; Tegmark, M.; Zehavi, I. New Yorkin yliopiston lisäarvogalaksiluettelo: uusiin julkisiin tutkimuksiin perustuva  galaksiluettelo //  The Astronomical Journal  : Journal. - IOP Publishing , 2005. - Kesäkuu ( nide 129 , nro 6 ). - P. 2562-2578 . - doi : 10.1086/429803 . - . - arXiv : astro-ph/0410166 .
  9. ↑ Hogg, David W. (joulukuu 2000), Etäisyysmittarit kosmologiassa, arΧiv : astro-ph/9905116 . 
  10. ↑ 1 2 Blanton, Michael R.; Lupton, RH; Schlegel, DJ; Strauss, M.A.; Brinkmann, J.; Fukugita, M.; Loveday, J. Extremely Low Luminosity Galaxies Properties and Luminosity Function of Extremely Low Luminosity Function  //  The Astrophysical Journal  : Journal. - IOP Publishing , 2005. - Syyskuu ( nide 631 , nro 1 ). - s. 208-230 . - doi : 10.1086/431416 . - . — arXiv : astro-ph/0410164 .
  11. ↑ Efstathiou, George; Frank, C.S.; Valkoinen, SDM; Davis, M. Gravitational clustering from scale-free alkuehdot  // MNRAS  :  Journal. - 1988. - joulukuu ( nide 235 ). - s. 715-748 . - doi : 10.1093/mnras/235.3.715 . - .
  12. ↑ 1 2 Schechter, PL Elliptisten galaksien massa-valosuhteet  // Astronomical Journal  :  Journal. - 1980. - heinäkuu ( nide 85 ). - s. 801-811 . - doi : 10.1086/112742 . - .
  13. ↑ 1 2 3 4 Hendry, MA; Simmons, JFL & Newsam, AM (lokakuu 1993), Mitä me tarkoitamme "Malmquist Biasilla"?, arΧiv : astro-ph/9310028 . 
  14. ↑ Luri, X.; Mennessier, MO; Torra, J.; Figueras, F. Uusi lähestymistapa Malmquistin harhaan  // Astronomy and Astrophysics  : Journal  . - 1993. - tammikuu ( nide 267 ). - s. 305-307 . - .
  15. ↑ Binney, James; Merrifield, Michael. Galaktinen tähtitiede. - Princeton University Press , 1998. - S. 111-115.
  16. ↑ Murdin, Paul. Malmquist, Gunnar (1893-1982) // Encyclopedia of Astronomy and Astrophysics  (englanniksi) . - 2000. - ISBN 0-333-75088-8 . - doi : 10.1888/0333750888/3837 .