Kloosterman summat

Kloostermanin summat - analyyttisen lukuteorian tutkimuskohde , trigonometriset summat jäännösrenkaan elementtien yli , käänteismoduuli jonkin luonnollisen rakenteen omaavan joukon elementteihin (yleensä intervalli tai välin alkuluvut).

Ensimmäiset arviot summista saatiin Kloostermanin toimesta vuonna 1926, kun hän tutki lukujen esitysten määrää muodossa . [yksi] ${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dt^{2))$

Määritelmä

Antaa olla mielivaltainen kokonaisluku ja anna merkintä otetaan käyttöön koprime kanssa . Silloin Kloostermanin kokonaissumma on muodon summa $q\geq 3$ ${\displaystyle n\in {\mathbb {F} }_{q))$ $q$ $n{\overline {n}}\equiv 1{\pmod {q}}$ ${\displaystyle a,b\in {\mathbb {F} }_{q))$

S(q;a,b):=\sum \limits _{\stackrel {0\leq n\leq q-1}{(n,q)=1}}{e_{q}\left( {a{\overline {n}}+bn}\right)}\ .

Epätäydellistä summaa kutsutaan summaksi tietyllä aikavälillä . [2] ${\displaystyle \sum \limits _{n=M+1}^{M+N}{e_{q}\left({a{\overline {n}}+bn}\right)))$

Joskus summat alkulukujen [3] yläpuolella , monilineaariset summat , joissa on käänteiselementtejä [4] ja muut muodon summat , jossa . ${\displaystyle \sum \limits _{n\in A}{e_{q}\left({a{\overline {n}}+bn}\right)))$ ${\displaystyle A\subset {\mathbb {F} }_{q))$

Annetuille Kloosterman-summat on yleensä arvioitu mielivaltaisille , mukaan lukien . $q$ ${\displaystyle a\not =0,b\in {\mathbb {F} }_{q))$ ${\displaystyle S(q)=\max \limits _{a\not =0,b\in {\mathbb {F} }_{q}}{S(q;a,b)))$

Ominaisuudet

Kloostermanin kokonaissummat muuttuvat Ramanujan- summaksi . $a = 0$

Jos , niin estimointikysymys pelkistetään tapaukseksi . $(q_{1},q_{2})=1$ $S(q)=S(q_{1})S(q_{2})$ $S(q)$ $q=p^{n}$

Arviot

$|S(q)|\leq \tau (q){\sqrt {q))$ , missä on jakajien lukumäärä . Tästä seuraa, että mille tahansa . [5] $\tau (q)$ $\sum \limits _{\stackrel {0\leq n\leq x}{(n,q)=1}}{e_{q}\left({a{\overline {n}}+bn} \right)}\leq \tau (q){\sqrt {q}}(\log q+1)$ $x<q$

Jälkimmäisen tyyppisille summille tunnetaan myös muita arvioita, jotka eivät ole triviaaleja . [6] $q=p,\ b=0$ $x\geq \exp \left({\Omega ((\log p)^{2/3}(\log \log p)^{2})}\oikea)$

Muistiinpanot

↑ Kloosterman, 1926 .
↑ Korolev (1), 2016 , s. 80.
↑ Baker, 2012 .
↑ Burgain, Garaev, 2014 .
↑ Korolev (1), 2016 , kaava (1) ja lause 3
↑ Burgain, Garaev, 2014 , lause 16; katso myös katsaus vastaaviin tuloksiin Korolev (2), 2016 , s. 838–839

Kirjallisuus

HD Kloosterman. Numeroiden esittämisestä muodossa ${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dt^{2))$ (englanniksi) // Acta Math .. - 1926. - Vol. 49 , iss. 1 . — s. 407–464 .

M. A. Korolev. Kloostermanin lyhyiden summien arviointimenetelmät // Chebyshevsky-kokoelma. - 2016. - T. 17 , nro 4 . — s. 79–109 . (Venäjän kieli)

M. A. Korolev. Lyhyillä Kloosterman-summalla modulo a alkuluku // Matemaattiset huomautukset . - 2016. - T. 100 , no. 6 . — S. 838–846 . (Venäjän kieli)

J. Bourgain, M. Z. Garaev. Alkujärjestyksen kenttien käänteiselementtien ja monilineaaristen Kloosterman-summien muodostamien joukkojen summa // Izvestiya RAN. - 2014. - T. 78 , no. 4 . - S. 19-72 . - arXiv : 1211.4184 . (Venäjän kieli)

R. C. Baker. Kloostermanin summat alkumuuttujalla (englanniksi) // Acta Arithmetica. - 2012. - Vol. 156 . — s. 351–372 .