Aksioomakaavio on yleistys aksiooman käsitteestä .
Aksioomaskeema on kaava aksiomaattisen skeeman metakielessä , jossa yksi tai useampi muuttuja esiintyy. Nämä muuttujat, jotka ovat metalingvistisiä rakenteita, tarkoittavat mitä tahansa järjestelmän termiä tai alikaavaa , jota voidaan tai ei vaadita täyttämään tietyt ehdot. Usein tällaiset ehdot edellyttävät, että tietyt muuttujat ovat vapaita muuttujia tai että tietyt muuttujat eivät esiinny osakaavassa tai termissä.
Koska mahdollisten alikaavojen tai termien määrä, jotka voidaan lisätä skeemamuuttujan tilalle, on lukemattomasti ääretön, aksioomaskeema tarkoittaa laskettavasti ääretöntä aksioomien joukkoa. Tämä joukko voidaan yleensä määritellä rekursiivisesti . Teoriaa, joka voidaan aksiomatisoida ilman skeemoja, kutsutaan äärelliseksi aksiomatisaatioksi . Tietysti aksiomatisoitavissa olevat teoriat nähdään metamaattisesti tyylikkäämpinä, vaikka ne olisivat vähemmän käytännöllisiä deduktiiviseen työhön.
Kaksi hyvin kuuluisaa aksioomakaavioiden tapausta ovat:
Cheslav Ryl-Nardzewski [1] osoitti, että Peanon aritmetiikkaa ei voida äärellisesti aksiomatisoida, ja Richard Montagu osoitti, että Zermelo-Fraenkel-järjestelmää ei voida aksiomatisoida äärellisesti. [2] Siksi aksioomakaavioita ei voida sulkea pois näistä teorioista. Tämä koskee myös monia muita aksiomaattisia teorioita matematiikan, filosofian, kielitieteen jne.
Kaikki Zermelo-Fraenkel-järjestelmän lauseet ovat myös von Neumann–Bernays–Gödel- joukkoteorian lauseita , mutta jälkimmäinen voidaan äärellisesti aksiomatisoida.