Borsuk-Ulam lause

Borsuk-Ulam-lause on klassinen algebrallisen topologian lause , jossa todetaan, että kaikilla jatkuvalla funktiolla , joka kuvaa -ulotteisen pallon -ulotteiseksi euklidiseksi avaruuteen jollekin diametraalisesti vastakkaisten pisteiden parille , on yhteinen arvo. Epävirallisesti väite tunnetaan "lämpötila- ja painelauseena": maan pinnalla on kulloinkin saman lämpötilan ja saman paineen vastakkaisia pisteitä [1] ; yksiulotteinen tapaus havainnollistetaan yleensä kahdella diametraalisesti vastakkaisella pisteellä päiväntasaajassa , joiden lämpötila on sama. $n$ $n$

Lyusternik ja Shnirelman kohtaavat tämän lausunnon ensimmäisen kerran vuoden 1930 paperissa [2] [3] ; ensimmäisen todisteen julkaisi vuonna 1933 Borsuk , joka mainitsi Ulamin sanamuodon kirjoittajana.

Sanamuoto

Jatkuvalle funktiolle , jossa on pallo -ulotteisessa euklidisessa avaruudessa , on kaksi diametraalisesti vastakkaista pistettä siten, että . ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$ ${\mathbb S}^{n}$ $(n+1)$ $a,-a\in \mathbb {S} ^{n}$ $f(a)=f(-a)$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Vastaava väite on yleinen nollalause : mikä tahansa pariton (suhteessa diametraaliseen vastakkaiseen) jatkuva funktio -ulotteisesta pallosta -ulotteiseen euklidiseen avaruuteen katoaa yhteen pisteistä: . Ekvivalenssi määritetään ottamalla käyttöön pariton funktio jatkuvalle funktiolle . Yksiulotteisessa tapauksessa yhteinen nollalause seuraa suoraan väliarvolauseesta ; yleinen todistus käyttää Gurevichin isomorfismia (algebrallinen-topologinen variantti) tai se on johdettu Tuckerin lemasta ( kombinatoristinen muunnelma; Tuckerin lemmaa pidetään Borsuk-Ulam-lauseen kombinatorisena analogina). ${\displaystyle g\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$ $n$ $n$ $a\in \mathbb {S} ^{n}$ $g(a)=0$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$ $g(x)=f(x)-f(-x)$

Vuonna 1954 Abram Iljitš Fet yleisti tuloksen [4] : lauseen väite pätee paitsi antipodien suhteelle, myös mielivaltaiselle -ulotteisen pallon involuutiolle , toisin sanoen kaikille involuutioille ja kaikille jatkuville . funktiolla on sellainen piste , että [5] [6] . $n$ ${\displaystyle ^{*}\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {S} ^{n))$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$ $a\in \mathbb {S} ^{n}$ $f(a)=f(a^{*})$

Muistiinpanot

↑ O. Ya. Viro, O. A. Ivanov, N. Yu. Netsvetaev, V. M. Kharlamov. Perustopologia . - MCMNO, 2010. - 352 s. - ISBN 978-5-94057-587-0 . Arkistoitu 19. helmikuuta 2012 Wayback Machinessa
↑ L. A. Lyusternik, L. G. Shnirelman. Topologiset menetelmät variaatioongelmissa // Moskovan valtionyliopiston matematiikan ja mekaniikan instituutin julkaisut (erikoisnumero). – 1930.
↑ Jiri Matousek. Käyttämällä Borsuk–Ulam-lausetta. - Berliini: Springer Verlag, 2003. - ISBN 3-540-00362-2 . - doi : 10.1007/978-3-540-76649-0 .
↑ Kerin - Nudelman, 1983 , Neuvostoliiton matemaatikko A. Fet havaitsi hienovaraisia ja vahvoja topologian keinoja käyttäen, että Borsuk-Ulam-lause (jopa -ulotteisessa versiossaan) pysyy voimassa, jos pallolle annetaan mielivaltainen involuutio , s. 25. $n$ $S$ $P\to P'$
↑ A. I. Fet. Lyusternik-Shnirelmanin lauseen yleistys pallojen päällysteistä ja eräistä siihen liittyvistä lauseista // Dokl . - 1954. - T. 95 , nro 6 . Arkistoitu alkuperäisestä 25.1.2020.
↑ A. I. Fet. Involuutiokartoitukset ja pallojen peitteet // Toiminnallisen analyysin seminaarin aineisto. - Voronežin yliopisto , 1955. - Numero. 1 .

Kirjallisuus

K. Borsuk. Drei Sätze über die -dimensionale euklidische Sphäre (saksa) // Fund. Math.. - 1933. - Bd. 20 . - S. 177-190 . $n$
FE Su. Borsuk-Ulam-lause viittaa Brouwerin kiinteän pisteen lauseeseen Borsuk—Ulam Implies Brouwer: A Direct Construction // Amer . Matematiikka. Kuukausittain. - 1997. - Voi. 104 . - s. 855-859 .
M. Crane , A. Nudelman . Borsuk-Ulam-lause, tai jotain säästä, koulutetusta hevosesta ja kaksiulotteisista kentistä // Kvant . - 1983. - Nro 8 . - S. 20-25 .