Weylin tasaisen jakauman lause

Weylin tasajakaumalause muotoilee kriteerin reaalilukujen äärettömän sarjan tasaiselle jakautumiselle väliltä . $(0;1)$

Lauseen todisti vuonna 1914 ja julkaisi vuonna 1916 Hermann Weyl . [1] [2]

Määritelmät

Antaa olla ääretön sarja reaalilukuja väliltä $\xi _{1},\xi _{2},\pisteet$ $(0;1)$

Numeroille merkitään välissä olevien numeroiden lukumäärä alkaen . $a,b\in (0;1),\ a<b$ $\varphi _{n}(a,b)=\#\left\lsulku {k:1\leq k\leq n,\xi _{k}\in (a;b)}\oikea\rsulku$ ${\displaystyle \xi _{1},\dots ,\xi _{n))$ $(a;b)$

Määrittelemme suurimman maksimipoikkeaman muodossa . $D_{\xi }=\lim \sup _{n\to \infty }{\left(({\frac {\varphi _{n}(a,b)}{n))-(ba) }\oikea)}$

Jaksoa kutsutaan tasaisesti jakautuneeksi jos . Toisin sanoen sekvenssi on jakautunut tasaisesti, jos jossakin nollasta poikkeavassa segmentissä tähän segmenttiin osuvien elementtien osuus pyrkii segmentin koon murto-osaan . $\xi _{1},\xi _{2},\pisteet$ $(0;1)$ $D_{\xi }=0$ $(0;1)$ $(0;1)$

Lauseen lause

Sekvenssi jakautuu tasaisesti, jos ja vain, jos jollekin Riemannin integroitavalle funktiolle välissä on seuraava identiteetti: $\left({\xi _{n}}\right)_{n=1}^{\infty },\xi _{n}\in (0;1)$ $(0;1)$ $(0;1)$ $f$

\lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f(\xi _{k}) }}=\int \limits _{0}^{1}{f(x)dx}

Todiste

Ilmeisesti lause yhtenäisestä jakautumisesta vastaa identiteetin täyttymistä muodon paloittain vakiofunktioille . Tämä tarjoaa välittömästi yhtenäisyyden seurauksen kaikkien toimintojen identiteetin täyttymisestä. $f(x)=\left\lsulku {\begin{matrix}1,x\in (a;b)\\0,x\not \in (a;b)\end{matrix}}\right .$

Lisäksi tasaisesti jakautuneen sekvenssin tapauksessa käyttämällä tällaisten funktioiden koostumusta ja vastaavia kertolaskuja (vakiolla) ja rajojen ja integraalien yhteenlaskuja voidaan todistaa minkä tahansa palakohtaisen vakiofunktion identiteetin pätevyys.

Koska mikä tahansa Riemannin integroitava funktio voidaan approksimoida integraalin arvoon asti palakohtaisella vakiofunktiolla (lisäksi siten, että ) varten , niin $f$ ${\displaystyle \varepsilon =\int _{0}^{1}{|f(x)-f_{1}(x)|dx))$ $f_1$ $\forall x:\ |f_{1}(x)-f(x)|<\varepsilon$ $\varepsilon >0$

{\Bigg |}{\lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n))\sum \limits _{k=1}^{n}{f_{1 }(\xi _{k})}}-\int _{0}^{1}{f(x)dx}}{\Bigg |}={\Bigg |}{\int _{0}^{ 1}{f_{1}(x)dx}-\int _{0}^{1}{f(x)dx)){\Bigg |}<\varepsilon

\exists N:\ \forall n>N:\ {\Bigg |}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f_{1} (\xi _{k})}-\int _{0}^{1}{f(x)dx}}{\Bigg |}<2\varepsilon

Koska määritelmän mukaan seuraa , niin riittävän suurille se kestää $f_1$ ${\Bigg |}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f(\xi _{k})}-{\frac {1 }{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f_{1}(\xi _{k}))){\Bigg |}={\Bigg |}{{\frac { 1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{(f(\xi _{k})-f_{1}(\xi _{k))))){\Bigg |}<{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{|f(\xi _{k})-f_{1}(\xi _{k} )}|<\varepsilon$ $n$

{\Bigg |}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f(\xi _{k})}-\int _{0 }^{1}{f(x)dx}}{\Bigg |}<\varepsilon

Koska mielivaltaisen pieni voidaan korvata näihin argumentteihin , tämä tarkoittaa sitä $\varepsilon >0$

\lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f(\xi _{k}) }}=\int _{0}^{1}{f(x)dx}

Seuraukset

Testaa trigonometrisilla summilla

Weilin lause mahdollistaa suoran yhteyden jakautumisen tasaisuuden ja trigonometristen summien välillä . [2]

Sekvenssi jakautuu tasaisesti jos ja vain jos millä tahansa kokonaisluvulla $\left({\xi _{n}}\right)_{n=1}^{\infty },\xi _{n}\in (0;1)$ $(0;1)$ $m\not =0$

\lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{e^{2\pi m\xi _{k}i}}}=0

Viimeisen lauseen todistus suoritetaan samalla tavalla kuin päälauseen todistus (katso edellä), mutta paloittain lineaarifunktion approksimoinnin sijaan käytetään Fourier-sarjan osasummien approksimaatiota .

Kaavan vakio on itse asiassa integraalin arvo . $0$ $\int \limits _{0}^{1}{e^{2\pi mxi}dx}=0$

Irrationaalisten kerrannaisten murto-osat

Lauseen muotoilun ansiosta trigonometrisiä summia käyttämällä on helppo päätellä seuraava tulos:

Merkitään luvun murto - osalla $\left\lhakasulku {x}\oikea\rhakasulke$ $x$

Jos on irrationaalinen luku, sekvenssi on jakautunut tasaisesti . $\xi \in {\mathbb {R} }$ $\left\lhakasulke {\xi }\oikea\rhauluke ,\left\lhakasulke {2\xi }\oikea\rhauluke ,\left\lhakasulke {3\xi }\oikea\rhakasulke ,\pisteet ,\vasen\ lbrace {n\xi }\oikea\rhakasulke ,\pisteet$ $(0;1)$

Todiste

Todistaakseen yhdenmukaisuuskriteerin kautta trigonometrisessa muodossa riittää estimoimaan irrationaalin ja kokonaisluvun trigonometrisen summan moduuli . Voit tehdä tämän käyttämällä yksinkertaisinta geometrisen progression summan kaavaa . $\xi _{k}=k\xi$ $m\not =0$

{\Bigg \vert }{\sum \limits _{k=1}^{n}{e^{2\pi mk\xi ))}{\Bigg \vert }={\Bigg \vert } {\frac {e^{2\pi m\xi }-e^{2\pi m(n+1)\xi }}{1-e^{2\pi m\xi }}}{\Bigg \ vert }={\frac {\vert {e^{2\pi m\xi }-e^{2\pi m(n+1)\xi }}\vert }{\vert {e^{2\pi m\xi }-1}\vert }}<{\frac {2}{\vert {e^{2\pi m\xi }-1}\vert }}

Koska määrä ei riipu , niin jokaiselle kiinteälle yksilölle se seuraa yllä olevasta epätasa-arvosta $\vert {e^{2\pi m\xi }-1}\vert$ $n$ $m\not =0$

\lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{e^{2\pi mk\xi i}}}=0

Kirjallisuus

Kuipers L., Niederreiter G. Sekvenssien yhtenäinen jakautuminen. - M .: Nauka, 1985. - 408 s.
Cassels J.W.S. Johdatus diofantiiniapproksimaatioiden teoriaan. - M . : Ulkomaisen kirjallisuuden kustantamo, 1961. - 213 s.

Muistiinpanot

↑ Hermann Weyl . Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins // Mathematische Annalen . - 1916. - Voi. 77. - S. 313-352 . Arkistoitu alkuperäisestä 15. elokuuta 2017.
↑ 1 2 K. Chandrasekharan. Johdatus analyyttiseen lukuteoriaan . - World, 1968. Arkistoitu 29. marraskuuta 2014 Wayback Machinessa