Gelfond-Schneiderin lause

Gelfond–Schneiderin lause on lukuteorian lause, joka vahvistaa suuren lukuluokan ylityksen ja ratkaisee siten (myönteisesti) Hilbertin seitsemännen tehtävän . Sen todettiin itsenäisesti vuonna 1934 Neuvostoliiton matemaatikko Alexander Gelfond [1] ja saksalainen matemaatikko Theodor Schneider [2] .

Sanamuoto

Jos - algebralliset luvut , eikä nolla eikä yksi, vaan irrationaalinen , niin mikä tahansa arvo on transsendentaalinen luku . $a,b$ $a$ $b$ $a^{b}$

Vastaavat formulaatiot logaritmille (logaritmin kanta valitaan mielivaltaisesti) [3] :

Jos - algebralliset luvut , jotka eivät ole yhtä kuin nolla tai yksi, niin - joko rationaalinen tai transsendentaalinen luku . $a,b$ $\log(b)/\log(a)$

Jos ovat lineaarisesti riippumattomia rationaalilukujen alalla , niin ne ovat myös lineaarisesti riippumattomia algebrallisten lukujen alalla . $\log(a),\log(b)$

Katso viimeisimmän sanamuodon yleistys artikkelista Transsendenttisten lukujen teoria .

Arvot voivat olla paitsi reaalilukuja myös kompleksilukuja ; koska kompleksinen tutkinto on moniarvoinen, se korostuu erityisesti muotoilussa: mikä tahansa arvo . $a,b$
Jos poistamme vaatimuksen, joka oli algebrallinen luku , lause on virheellinen. Esimerkki: $a,b$

{\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)}^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2} }\cdot {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2.

Esimerkistä, ottaen huomioon lause, on myös selvää, että se on transsendenttinen luku.

{{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}

Lause tarkoittaa joidenkin tärkeiden matemaattisten vakioiden ylittämistä .

Yllä mainittu Gelfond-Schneiderin vakio ja sen neliöjuuri : $2^{{{\sqrt {2))))$ ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}.$
Gelfondin vakio , ja $e^{\pi }=\left(e^{i\pi }\right)^{-i}=(-1)^{-i}=23.14069263\ldots$ $i^{i}=\left(e^{i\pi /2}\right)^{i}=e^{-\pi /2}=0,207879576\ldots .$

↑ Gelfond A. O. Sur le septième problème de Hilbert // Neuvostoliiton tiedeakatemian julkaisut. VII sarja. Matemaattisten ja luonnontieteiden laitos. - M. , 1934. - Numero. 4 . - S. 623-634 . Arkistoitu alkuperäisestä 9. elokuuta 2018.
↑ Schneider, Theodor . Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen, Teil 1,2, Journal für Reine und Angewandte Mathematik, osa 172, 1934, pp. 65-69, 70-74.
↑ Feldman .

Gelfond A. O. Transsendentaaliset ja algebralliset luvut. - M .: GITTL, 1952. - 224 s.
Transsendenttinen luku // Mathematical Encyclopedia (5 osassa) . - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja , 1985. - T. 5.
Feldman N.I. Hilbertin seitsemäs ongelma. - M .: Moskovan valtionyliopiston kustantamo, 1982. - 312 s.
Baker, Alan. Transsendenttinen lukuteoria. - Cambridge University Press , 1975. - ISBN 0-521-20461-5 .
Lang, Serge. Johdatus transsendenttisiin numeroihin. - Addison-Wesley, 1966. - ISBN 0-521-20461-5 .

Zhukov A. Algebralliset ja transsendentaaliset luvut . Haettu: 9. elokuuta 2017. (määrätön)
Feldman N. Algebralliset ja transsendentaaliset luvut . Haettu: 9. elokuuta 2017. (määrätön)
Todistus Gelfond-Schneiderin lauseesta
Hyun Seok Lee. Transcendenssiteoriasta vähän historiaa, uusia tuloksia ja avoimia ongelmia . Haettu: 9. elokuuta 2017. (määrätön)
Waldschmidt, Michel (2001). Gel'fond-Schneiderin menetelmä // Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer , ISBN 978-1-55608-010-4 .
Weisstein, Eric W. Gelfond-Schneiderin lause (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .