Transsendenttisten lukujen teoria

Transsendenttisten lukujen teoria on lukuteorian haara , joka tutkii transsendenttisia lukuja , eli lukuja ( todellisia tai kompleksisia ) , jotka eivät voi olla minkään kokonaislukukertoimien polynomin juuria . Esimerkiksi sellaiset tärkeät analyysivakiot , kuten e , ovat transsendentaalisia, mutta eivät ole, koska polynomilla on juuri $\pi$ ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$ $x^{2}-2.$

Yksi tämän teorian pääongelmista on selvittää, onko tietty luku transsendenttinen vai ei. Transsendenttisten lukujen teorian menetelmiä ja tuloksia käytetään laajalti diofantiiniyhtälöiden tutkimuksessa .

Transsendenttiset numerot

Algebran peruslauseen mukaan kaikilla nollasta poikkeavilla polynomilla , joilla on kokonaislukukertoimet , on kompleksijuuri . Toisin sanoen mille tahansa polynomille , jolla on kokonaislukukerroin, on olemassa kompleksiluku , jonka avulla Transsendenttinen lukuteoria käsittelee pääasiassa käänteistä kysymystä: annettu kompleksiluku ; sen määrittämiseksi, onko olemassa polynomia , jonka kokonaislukukertoimet ovat sellaiset, että Jos osoitetaan, että tällaista polynomia ei ole olemassa, niin luvun ylittäminen todistetaan . $P(x)$ $\alpha$ $P(\alpha )=0.$ $\alpha$ $P(x)$ $P(\alpha )=0.$ $\alpha$

Kaikkien kokonaislukukertoimien polynomien juurijoukkoa kutsutaan algebrallisten lukujen joukoksi . Esimerkiksi jokainen rationaalinen luku on algebrallinen polynomijuurena ; kaikki mahdolliset äärelliset radikaalien yhdistelmät, joiden aste on mielivaltainen kokonaisluvuista, kuuluvat myös algebrallisiin lukuihin. Siten kaikki kompleksiluvut on jaettu kahteen ei-päällekkäiseen luokkaan - algebralliseen ja transsendenttiseen. Kuten kävi ilmi, on tietyssä mielessä paljon enemmän transsendenttisia lukuja kuin algebrallisia lukuja (katso alla). ${\displaystyle {m \over n))$ $nx-m;$

Toisin kuin algebrallisten lukujen joukko, joka on kenttä , transsendentaaliset luvut eivät muodosta mitään algebrallista rakennetta aritmeettisten toimintojen suhteen - transsendenttisten lukujen yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku voi olla sekä transsendentaalinen luku että algebrallinen luku. On kuitenkin olemassa joitain rajoitettuja tapoja saada transsendentti luku toisesta transsendenttisesta numerosta.

Jos t on transsendentaalinen luku, niin ja ovat myös transsendenttisia. $-t$ $1/t$
Jos a on algebrallinen luku, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla, t on transsendentaalinen, niin ne ovat transsendentaalisia. $a\pm t,\ at,\ a/t,\ t/a$
Jos t on transsendentaalinen luku ja luonnollinen luku , niin myös transsendentaaliluku. $n$ $t^{n}$ ${\sqrt[{n}]{t))$

Historia

Approksimaatio rationaalisilla luvuilla: Liouvillesta Rothiin

Transsendenttisten lukujen käsite , toisin kuin algebralliset luvut, juontaa juurensa 1600-luvulle, jolloin Gottfried Leibniz osoitti, että sini ei ole algebrallinen funktio [1] . Tätä kysymystä tutki tarkemmin 1740-luvulla Euler [2] ; hän totesi [3] , että logaritmin arvo rationaalisille lukuille ei ole algebrallinen, paitsi siinä tapauksessa , että jollekin rationaaliselle Eulerin väite osoittautui todeksi, mutta se todistettiin vasta 1900-luvulla. Euler omistaa itse termit: algebrallinen ja transsendentaalinen luku (vuoden 1775 teoksessa) [4] . $\log _{a}{b}$ $a,b$ $b=a^{c}$ $c.$

Ensimmäiset konkreettiset esimerkit transsendenttisista luvuista osoitti Joseph Liouville 1840 - luvulla jatkuvien murtolukujen avulla . Myöhemmin, 1850-luvulla, hän muotoili edellytyksen , että luku on algebrallinen; vastaavasti, jos tätä ehtoa rikotaan, luku on ilmeisen transsendenttinen [5] . Tällaisen kriteerin avulla hän kuvasi laajan luokan transsendenttisia lukuja, joita kutsuttiin " Liouvillen numeroiksi ". Myöhemmin todettiin, että Liouvillen luvut muodostavat kaikkialla tiheän joukon todellisella reaaliakselilla , jolla on jatkumon kardinaalisuus ja samalla Lebesguen nollamitta [6] .

Liouvillen kriteeri tarkoittaa oleellisesti sitä, että algebrallisia lukuja ei voida hyvin approksimoida (approksimoida) rationaalisilla luvuilla (katso Liouvillen algebrallisten lukujen approksimaatiolause ). Jos luku on siis hyvin approksimoitu rationaalisilla luvuilla, sen on oltava transsendentaalinen. Liouvillen käsitteen " hyvin approksimoitu " tarkka merkitys on seuraava: jos on algebrallinen asteen luku ja ε on mikä tahansa positiivinen luku, niin epäyhtälö $\alpha$ $d\geqslant 2$

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{d+\varepsilon }}}

Sillä voi olla vain äärellinen määrä rationaalisia ratkaisuja , joten transsendenssin todistamiseksi on varmistettava, että millä tahansa ja on äärettömän monta osoitetun epäyhtälön ratkaisua [7] . $p/q.$ $d$ $\varepsilon >0$

1900-luvulla Axel Thuen [8] , Karl Siegelin [9] ja Klaus Rothin [10] teokset mahdollistivat jonkin verran Liouvillen eriarvoisuuden todentamisen yksinkertaistamisen korvaamalla lausekkeen ensin sanalla ja sitten (1955) tällä tuloksella . , joka tunnetaan nimellä Thue-Siegel-Roth -lause , kuten uskottiin, ei voitu enää parantaa, koska todettiin, että korvaaminen vain kahdella antaa virheellisen väitteen. Serge Leng ehdotti kuitenkin parannusta Rothin versioon; erityisesti hän ehdotti, että voitaisiin korvata pienempi lauseke . $d+\varepsilon$ $d/2+\varepsilon +1,$ $2+\varepsilon .$ $2+\varepsilon$ $q^{2+\varepsilon }$ $q^{2}\ln(q)^{1+\varepsilon }$

Thue-Siegel-Rothin lause viimeisteli tehokkaasti Liouvillen aloittaman työn, sen avulla matemaatikot pystyivät todistamaan monien lukujen ylittyvyyden - esimerkiksi Champernaunin vakion . Tämä tekniikka ei kuitenkaan ole tarpeeksi vahva havaitsemaan kaikkia transsendenttisia lukuja; etenkään se ei koske numeroita ja [11] . $e$ $\pi$

Aputoiminnot: Hermitestä Bakeriin

Tällaisten lukujen analysoimiseksi, kuten 1800 - luvulla, kehitettiin muita menetelmiä. Näiden kahden vakion tiedetään liittyvän Euler-identiteettiin . Niin sanotuista apufunktioista , joissa on useita nollia tutkittavissa pisteissä, on tullut kätevä analyysityökalu . Tässä monet nollat voivat tarkoittaa kirjaimellisesti suurta määrää nollia tai vain yhtä nollaa, mutta suurella kertokertoimella, tai jopa useita nollia, joilla on suuri monikertaisuus. $e$ $\pi ,$

Charles Hermite käytti vuonna 1873 todistaakseen transsendenssin apufunktioita , jotka approksimoivat kunkin luonnollisen luvun funktiota [12] . 1880-luvulla Ferdinand von Lindemann [13] käytti Hermiten tuloksia todistaakseen, että jos on nollasta poikkeava algebrallinen luku, niin se on transsendenttinen. Erityisesti tämä tarkoittaa, että luku on transsendentti, koska se on algebrallinen luku (yhtä kuin -1). Tämä löytö sulkee sellaisen hyvin tunnetun antiikin ongelman kuin " ympyrän neliöinti ". Toinen lukuluokka, jonka ylittäminen seuraa Lindemannin lausetta, on algebrallisten lukujen logaritmit [6] . $e,$ $e^{kx}$ $k$ $\alpha$ $e^{\alpha }$ $\pi$ $e^{i\pi }$

Aihetta kehitti edelleen Karl Weierstrass , joka julkaisi Lindemann-Weierstrassin lauseen vuonna 1885 [14] . Hän laajensi merkittävästi lukujen luokkaa todistetulla transsendenssilla, mukaan lukien sini- ja kosinifunktioiden arvot lähes kaikille argumenttien algebrallisille arvoille [4] .

Vuonna 1900 David Hilbert listasi kuuluisassa raportissaan toisessa kansainvälisessä matemaatikoiden kongressissa tärkeimmät matemaattiset ongelmat . Seitsemännessä niistä , yhdessä vaikeimmista ( oman arvion mukaan), esitettiin kysymys lukujen ylityksestä muodossa, jossa on algebrallisia lukuja, ei nollaa eikä ykköstä, vaan irrationaalisesti . 1930-luvulla Alexander Gelfond [15] ja Theodor Schneider [16] osoittivat, että kaikki tällaiset luvut ovat todellakin transsendentaalisia ( Gelfond–Schneiderin lause ). Kirjoittajat käyttivät todistuksessa implisiittistä apufunktiota, jonka olemassaolon takaa Siegel-lemma . Gelfond–Schneiderin lause tarkoittaa sellaisten lukujen kuin , ja Gelfond-vakion ylittämistä [6] . $a^{b},$ $a,b$ $a$ $b$ $e^{\pi }$ $2^{{{\sqrt {2))))$

Seuraava tärkeä tulos tällä alalla tuli 1960-luvulla, kun Alan Baker eteni Gelfondin ongelmaan, joka koski lineaarisia muotoja logaritmien suhteen. Aiemmin Gelfond onnistui löytämään ei-triviaalin alarajan lausekkeelle:

|\beta _{1}\log \alpha _{1}+\beta _{2}\log \alpha _{2}|\,

jossa kaikki neljä tuntematonta suuretta ovat algebrallisia, eivätkä ne ole yhtä suuria kuin nolla tai yksi, vaan ne ovat irrationaalisia . Gelfond ei löytänyt samanlaista alarajaa kolmen tai useamman logaritmin summalle. Bakerin lauseen todistus sisälsi tällaisten rajojen löytämisen ja Gaussin luokkien lukumäärän ongelman ratkaisemisen . Tämä työ voitti Bakerille vuoden 1970 Fields - palkinnon sen käytöstä diofantiiniyhtälöiden ratkaisemisessa . ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2))$ $\beta _{1},\beta _{2}$

Bakerin lauseesta seuraa, että jos algebralliset luvut eivät ole yhtä suuria kuin nolla tai yksi ja ovat algebrallisia lukuja, jotka ovat lineaarisesti riippumattomia rationaalisten lukujen kentässä , niin luku on transsendentaalinen [17] . ${\displaystyle \alpha _{1}\dots \alpha _{n))$ ${\displaystyle \beta _{1}\dots \beta _{n))$ ${\displaystyle 1,\beta _{1}\dots \beta _{n))$ $\alpha _{1}^{\beta _{1}}\alpha _{2}^{\beta _{2}}\cdots \alpha _{n}^{\beta _{n}}$

Muut menetelmät: Kantor ja Silber

Vuonna 1874 Georg Cantor osoitti joukkoteoriaansa kehittäessään , että algebralliset luvut voidaan asettaa yksi-yhteen vastaavuuteen luonnollisten lukujen joukon kanssa . Toisin sanoen algebrallisten lukujen joukko on laskettava , ja silloin transsendenttisten lukujen joukon täytyy olla paitsi ääretön, myös enemmän kuin laskettava ( jatkuva ) [18] . Myöhemmin, vuonna 1891, Cantor käytti yksinkertaisempaa ja tutumpaa diagonaalimenetelmää [19] todistaakseen sen . On olemassa mielipiteitä, että nämä Cantorin tulokset eivät sovellu konkreettisten transsendenttisten lukujen muodostamiseen [20] , mutta itse asiassa molempien yllä olevien dokumenttien todistukset tarjoavat menetelmiä transsendenttisten lukujen muodostamiseen [21] . Cantor käytti joukkoteoriaa todistaakseen transsendenttisten lukujen joukon täydellisyyden .

Yksi viimeisimmistä suuntauksista transsendenttisten lukujen teorian ongelmien ratkaisussa on ollut malliteorian käyttö . Ongelmana on määrittää kentän transsendenssin aste

K=\mathbb {Q} (x_{1},\ldots ,x_{n},e^{x_{1)),\ldots ,e^{x_{n)))

kompleksiluvuille , jotka ovat lineaarisesti riippumattomia rationaalisten lukujen kentästä. Stephen Schanuel ehdotti , että vastaus on vähintään n , mutta tästä ei ole vielä todisteita. Vuonna 2004 Boris Zilber julkaisi kuitenkin artikkelin, jossa malliteoreettisten menetelmien avulla luodaan rakenne, joka käyttäytyy hyvin samankaltaisesti kuin kompleksiluvut, ja joka sisältää yhteen-, kerto- ja eksponentiooperaatiot. Lisäksi tässä abstraktissa rakenteessa Chenyulin olettamus pätee [22] . Valitettavasti ei ole vielä varmaa, onko tämä rakenne todella sama kuin kompleksiluvut, joissa on nimetyt toiminnot. $x_{1},\ldots ,x_{n},$

Lähestymistavat

Edellä on jo mainittu, että algebrallisten lukujen joukko on vain laskettavissa ja näin ollen "melkein kaikki" luvut ovat transsendentaalisia. Numeron ylittäminen on siis tyypillinen tapaus; ei kuitenkaan yleensä ole helppoa todistaa, että tietty numero on transsendenttinen. Tästä syystä transsendenssiteoria suosii usein kvantitatiivisempaa lähestymistapaa: annetaan kompleksiluku α; kysymys kuuluu, kuinka lähellä se on algebrallisia lukuja? Jos esimerkiksi voidaan osoittaa, että mikään polynomin asteen tai sen kertoimien lisäys ei voi tehdä α:sta sen juuria, tämän luvun on oltava transsendentaalinen.

Tämän idean toteuttamiseksi löydät lomakkeen alareunan:

|P(\alpha )|>F(A,d),

jossa oikea puoli on jokin positiivinen funktio, joka riippuu jostain polynomin kertoimien ja sen asteen mittasta . Tapaus vastaa klassista diofantiiniapproksimaatioiden ongelmaa eli lausekkeen alarajan löytämistä: $A$ $d;$ $d = 1$

|ax+b|

Transsendenssiteorian menetelmillä ja diofantinisilla approksimaatioilla on paljon yhteistä: ne molemmat käyttävät apufunktioiden käsitettä.

Yleistykset

Transsendenssin määritelmä voidaan yleistää. Lukujoukon sanotaan olevan algebrallisesti riippumaton kentässä, jos ei ole nollasta poikkeavaa polynomia , jolla on kertoimet siten , että rationaalisten lukujen kentän ja yhden luvun joukon osalta tämä määritelmä vastaa yllä annettua transsendenssin määritelmää . Myös teoria transsendentaalisista p-adic-luvuista on kehitetty [6] . ${\displaystyle \alpha _{1}\dots \alpha _{n))$ $K$ $P(x_{1}\dots x_{n})$ $K$ $P(\alpha _{1}\dots \alpha _{n})=0.$ $\alpha$ $\alpha$

Avoimet numerot

Yllä mainittu Gelfond–Schneiderin lause avasi suuren luokan transsendenttisia lukuja, mutta tämä luokka on vain laskettavissa, ja monien tärkeiden vakioiden osalta ei vieläkään tiedetä, ovatko ne transsendenttisia. Aina ei edes tiedetä, ovatko ne irrationaalisia. Niistä esimerkiksi erilaisia yhdistelmiä ja e , Aperi -vakio , Euler-Mascheroni-vakio [23] . $\pi$

Nykyiset teorian edistysaskeleet koskevat pääasiassa eksponenttiin liittyviä lukuja . Tämä tarkoittaa, että tarvitaan täysin uusia menetelmiä. Suurin ongelma transsendenttiteoriassa on todistaa, että tietty joukko transsendenttisia lukuja on algebrallisesti riippumaton , mikä on vahvempi väite kuin se, että joukon yksittäiset luvut ovat transsendenttisia. Tiedämme, että ja e ovat transsendenttisia, mutta tämä ei tarkoita, että näiden lukujen muut yhdistelmät ovat transsendenttisia (lukuun ottamatta Gelfond-vakiota , joka, kuten jo tiedämme, on transsendentti). Chenyulin olettamus ratkaisee ongelman, mutta se koskee myös vain eksponenttiin liittyviä lukuja. $\pi$ ${\näyttötyyli \pi +e}$ $e^{\pi },$ ${\näyttötyyli \pi +e,}$

Muistiinpanot

↑ Bourbaki N. Elements of the History of Mathematics, Springer (1994).
↑ Gelfond, 1952 , s. kahdeksan.
↑ Euler, L. Introductio in analysin infinitorum (neopr.) . - Lausanne, 1748.
↑ 1 2 Zhukov A. .
↑ J. Liouville . Sur les classes très étendues de quantités dont la valeur n'est ni algébrique ni même réductible à des irrationelles algébriques, Comptes Rendus Acad.
↑ 1 2 3 4 Mathematical Encyclopedia, 1985 , s. 426-427.
↑ Gelfond, 1952 , s. 9.
↑ Thue, A. Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen (uuspr.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1909. - T. 135 . - S. 284-305 . - doi : 10.1515/crll.1909.135.284 .
↑ Siegel, CL Approximation algebraischer Zahlen (englanti) // Mathematische Zeitschrift : Journal. - 1921. - Voi. 10 , ei. 3-4 . - s. 172-213 . - doi : 10.1007/BF01211608 .
↑ Roth, KF Rational approksimaatiot algebrallisiin lukuihin (englanniksi) // Mathematika : journal. - 1955. - Voi. 2 , ei. 1 . - s. 1-20 . - doi : 10.1112/S0025579300000644 .
↑ Mahler, K. π:n (epämääräinen) approksimaatiosta // Proc. Akad. Wetensch. Ser. A. - 1953. - T. 56 . - S. 30-42 .
↑ Hermite, C. Sur la fonction exponentielle (neopr.) // CR Acad. sci. Pariisi . - 1873. - T. 77 .
↑ Lindemann, F. Ueber die Zahl π (määrätön) // Mathematische Annalen . - 1882. - T. 20 , nro 2 . - S. 213-225 . - doi : 10.1007/BF01446522 .
↑ Weierstrass, K. Zu Hrn. Lindemann's Abhandlung: 'Über die Ludolph'sche Zahl' (saksa) // Sitzungber. Konigl. Preuss. Akad. Wissensch. zu Berlin: kauppa. - 1885. - Bd. 2 sivua = 1067-1086 .
↑ Arkistoitu kopio (linkki ei saatavilla) . Haettu 9. elokuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 17. lokakuuta 2011. (määrätön) Arkistoitu kopio (linkki ei saatavilla) . Haettu 9. elokuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 17. lokakuuta 2011. (määrätön) .
↑ Schneider, T. Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen. I. Transzendend von Potenzen (saksa) // Journal für die reine und angewandte Mathematik : magazin. - 1935. - Bd. 172 . - S. 65-69 . - doi : 10.1515/crll.1935.172.65 .
↑ Baker A. Lineaariset muodot algebrallisten lukujen logaritmeissa.
↑ Cantor, G. Ueber eine Eigenschaft des Ingebriffes aller reelen algebraischen Zahlen (saksa) // Journal für die reine und angewandte Mathematik : magazin. - 1874. - Bd. 77 . - S. 258-262 . - doi : 10.1515/crll.1874.77.258 .
↑ Cantor, G. Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre (saksa) // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung: magazin. - 1891. - Bd. 1 . - S. 75-78 . Arkistoitu 7. toukokuuta 2021.
↑ Kac, M.; Stanislaw, U. Matematiikka ja logiikka (määrittelemätön) . - Fredering A. Praeger, 1968. - s. 13.
↑ Gray, R. Georg Cantor ja transsendenttiset numerot // Amer . Matematiikka. Kuukausi : päiväkirja. - 1994. - Voi. 101 , ei. 9 . - s. 819-832 . — . Arkistoitu alkuperäisestä 21. tammikuuta 2022.
↑ Zilber, B. Pseudoeksponenttiointi ominaisnollan algebrallisesti suljetuilla kentillä // Annals of Pure and Applied Logic: Journal. - 2005. - Voi. 132 , nro. 1 . - s. 67-95 . - doi : 10.1016/j.apal.2004.07.001 .
↑ Hyun Seok, Lee .

Kirjallisuus

Gelfond A. O. Transsendentaaliset ja algebralliset luvut. - M .: GITTL, 1952. - 224 s.
Transsendenttinen luku // Mathematical Encyclopedia (5 osassa) . - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja , 1985. - T. 5.
Feldman N.I. Hilbertin seitsemäs ongelma. - M .: Moskovan valtionyliopiston kustantamo, 1982. - 312 s.
Khinchin A. Ya Jatkuu murtoluvut . - M .: GIFML, 1960.
Baker, Alan. Transsendenttinen lukuteoria. - Cambridge University Press , 1975. - ISBN 0-521-20461-5 .
Baker, Alan; Wüstholz, Gisbert. Logaritmiset muodot ja diofantiinigeometria, uudet matemaattiset monografiat 9 . - Cambridge University Press , 2007. - ISBN 978-0-521-88268-2 .
Lang, Serge. Johdatus transsendenttisiin numeroihin. - Addison-Wesley, 1966. - ISBN 0-521-20461-5 .

Linkit

Zhukov A. Algebralliset ja transsendentaaliset luvut . Haettu: 9. elokuuta 2017. (määrätön)
Feldman N. Algebralliset ja transsendentaaliset luvut . Haettu: 9. elokuuta 2017. (määrätön)
Filaseta Michael. Transsendenttisten lukujen alku . (Englanti)
Hyun Seok Lee. Transcendenssiteoriasta vähän historiaa, uusia tuloksia ja avoimia ongelmia . Haettu: 9. elokuuta 2017. (määrätön)