Carathéodoryn mittajatkolause

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 8. lokakuuta 2017 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Mitateoriassa Carathéodoryn lause sanoo, että mielivaltainen laskettavasti additiivinen mitta joukon joissakin osajoukkojen renkaassa voidaan laajentaa renkaan generoimaksi σ-renkaaksi . Mitan σ-ääreyden tapauksessa tällainen laajennus on ainutlaatuinen. Erityisesti Borelin ja Lebesguen suuren olemassaolo ja ainutlaatuisuus seuraa lauseesta . $\mathcal{R}$ $\Omega$ $\mathcal{R}$

Lausunto

Antaa olla joukon osajoukkojen rengas, jolla on toimenpide , ja olla σ-rengas, jonka generoi . Carathéodoryn lause sanoo, että on olemassa mitta , joka on suuren laajennus, eli . Lisäksi, jos mitta on σ-äärellinen, niin tällainen laajennus on ainutlaatuinen ja myös σ-äärellinen. $\mathcal{R}$ $\Omega$ $\mu :{\mathcal {R}}\to [0,+\infty ]$ $\sigma ({\mathcal {R}})$ $\mathcal{R}$ $\mu ':\sigma ({\mathcal {R)))\to [0,+\infty ]$ $\mu$ $\mu '|_{\mathcal {R}}=\mu$ $\mu$ $\mu'$

Puolirengas

Yleisemmin tällainen laajennus on olemassa puolirenkaalla määritetylle suurelle , toisin sanoen alajoukkojen perheelle, joka täyttää seuraavat ehdot: $S$

$\varnothing \in S$ ;
mihin tahansa risteykseen ; ${\näyttötyyli A,B\in S}$ $A\cap B\in S$
jokaiselle on sellaisia pareittain disjunktijoukkoja , missä , mitä . ${\näyttötyyli A,B\in S}$ $K_{i}\in S$ $i=1,2,\ldots ,n$ $A\setminus B=\biguplus _{i=1}^{n}{K_{i))$

Tämä tapaus voidaan kuitenkin helposti pelkistää edelliseen, koska jokainen puolijohdin muodostaa renkaan, jonka elementit ovat kaikki mahdollisia joukon äärellisiä disjunktoituja liittoja : $S$ $R(S)$ $S$

{\displaystyle R(S)=\{A:A=\biguplus _{i=1}^{n}{A_{i)),A_{i}\in S\))

ja puolirenkaaseen annettu mitta ulottuu koko renkaaseen: $\mu$

{\displaystyle \mu (A)=\sum _{i=1}^{n}{\mu (A_{i)))))

, missä , .

A=\biguplus _{i=1}^{n}{A_{i))

A_{i}\in S

Jatkoa rakentamassa

Antaa olla toimenpide, joka on määritetty joukon osajoukkojen renkaaseen . Sitten osajoukkoihin voidaan määritellä funktio $\mu$ $\mathcal{R}$ $\Omega$ $A\subset \Omega$

\mu ^{*}(A)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\mathrm {\mu } \,(E_{k})\,\mid \,E_{k}\in {\mathcal {R)),\,A\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\right\}.

Tämä funktio on suuren generoima ulkomitta . Merkitään joukon osajoukkojen perhettä siten, että kaikille . $\mu$ ${\mathcal {M}}_{\mu }$ $A$ $\Omega$ $E\subset \Omega$ $\mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\setminus A)=\mu ^{*}(E)$

Sitten on σ-rengas, ja sille on mahdollista määrittää mitta kaikille . Tällä tavalla määritelty funktio on mitta, joka on sama kuin renkaan joukoissa . Sisältää myös σ-algebran ja rajoituksen elementteihin ja on mittauksen välttämätön laajennus. ${\mathcal {M}}_{\mu }$ ${\overline {\mu }}(A)=\mu ^{*}(A)$ $A\in {\mathcal {M}}_{\mu }$ $\mu$ $\mathcal{R}$ ${\mathcal {M}}_{\mu }$ $\sigma ({\mathcal {R}})$ ${\overline {\mu ))$ $\sigma ({\mathcal {R}})$

σ-rengas on renkaan täydennys , vastaavasti, ne osuvat yhteen, jos tietty mitta on valmis. ${\mathcal {M}}_{\mu }$ $\sigma ({\mathcal {R}})$ $\sigma ({\mathcal {R}})$

Esimerkkejä

Jos reaaliviivalla otetaan välien puolijohde , jossa ja mitta on yhtä suuri , niin esitetty konstruktio antaa Borel-suuren määritelmän Borel-joukkoon . Tässä oleva joukko vastaa Lebesguen mitattavien joukkojen joukkoa. $\mathcal{S}$ $[a,b]$ $a<b$ $[a,b]$ $ba$ $\sigma ({\mathcal {S}})$ ${\mathcal {M}}_{\mu }$
σ-ääreisyysehto on välttämätön jatkuvuuden ainutlaatuisuudelle. Esimerkiksi välin kaikkien rationaalilukujen joukolle voidaan määrittää välien puolijohdin, joiden rationaaliset päät ovat rationaalisia lukuja väliltä . Tämän semiringin muodostama σ-rengas on kaikkien osajoukkojen joukko . Nyt , asettamalla , yhtä monta kuin elementtien lukumäärä , ja , meillä on, että molemmat suuret ovat yhtäpitäviä puolirenkaalla ja generoidulla renkaalla (koska kaikki puolirenkaan ja renkaan ei-tyhjät joukot ovat äärettömiä, niin molemmat suuret ovat yhtä suuria kaikilla näillä sets ), mutta eivät täsmää generoidussa σ-renkaassa. Eli tässä tapauksessa jatko ei ole ainutlaatuinen. $X$ $[0,1]$ $[a, b)$ $a<b$ $[0,1]$ $X$ $\mu (A)$ $A$ $\mu '(A)=2\mu (A)$ $\infty$

Kirjallisuus

Khalmosh P. R. Mittateoria. M.: Izd-vo inostr. lit., 1953
Dorogovtsev A. Ya. Yleisen mitta- ja integraaliteorian elementit. Kiova, 1989