Ulkoinen mitta

Ulkoinen mitta on yksi pituuden, pinta-alan ja tilavuuden käsitteiden yleistyksistä; on reaaliarvoinen funktio, joka on määritelty tilan kaikille osajouksille ja joka täyttää useita lisämäärityksiä.

Historia

Yleisen ulkomitan teorian kehitti Constantine Carathéodory tarjotakseen perustan mitattavien joukkojen ja laskettavasti additiivisten mittojen teorialle. Carathéodoryn ulompaa mittaa koskeva työ löysi monia sovelluksia mitattavien joukkojen teoriassa (esimerkiksi ulompaa mittaa käytetään Carathéodoryn peruslaajennuslauseen todistuksessa), ja Hausdorff käytti sitä määrittääkseen metrisen invariantin, joka yleistää ulottuvuuden. kutsutaan Hausdorffin ulottuvuudeksi .

Numerorivin tapaus

Reaaliviivan mielivaltaiselle osajoukolle voidaan löytää mielivaltaisesti monia erilaisia järjestelmiä, jotka koostuvat äärellisestä tai laskettavasta määrästä intervalleja, joiden liitto sisältää joukon . Kutsumme tällaisia järjestelmiä pinnoitteiksi. Koska minkä tahansa kannen muodostavien välien pituuksien summa on ei-negatiivinen, se on rajoitettu alla, ja siten kaikkien kansien pituuksien joukolla on tarkka alaraja. Näitä kasvoja vain sarjasta riippuen kutsutaan ulkomittaksi : $E$ $E$ $E$

{\displaystyle m^{*}E=\inf \left\{\sum _{i}\Delta _{i}\right\))

Vaihtoehdot ulkoisen toimenpiteen määrittämiseen:

m^{*}E=\varphi (E)=|E|^{*}

Muodollinen määritelmä

Olkoon kiinteä joukko . Ulkomitta on sellainen funktio , että $X$ $\mu ^{*}\colon 2^{X}\longrightarrow [0,\,+\infty ]$

$\mu ^{*}(\varnothing )=0$ ;
$\forall A\subseteq X,\,\forall A_{n}\subset X,n\geqslant 1,\,A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\ kaksoispiste \mu ^{*}(A)\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }\mu ^{*}(A_{n})$ .

Antaa olla mitta määritelty rengas . Suuren generoima ulkomitta on sellainen funktio , että $\mu$ $K$ $\mu$ $\mu ^{*}\colon 2^{X}\longrightarrow [0,\,+\infty ]$

${\displaystyle \mu ^{*}(A)=\inf {\bigl \{}\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}){\bigr \)),\ ;A_{n}\subset K,n\geqslant 1,\,A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n))$ jos sarjassa on vähintään yksi tällainen peite ; $A$
$\mu ^{*}(A)=+\infty$ muuten.

Lause . Mitan luoma ulkomitta on ulompi mitta. $\mu ^{*}$ $\mu$

$\vartriangleright$ Tarkastetaan ensimmäinen piste ulkomitan määritelmästä. . määritelty . $\mu \geqslant 0\Rightarrow \mu ^{*}\geqslant 0$ $\mu ^{*}$ $2^{{X}}$

\varnothing \in K\colon \mu ^{*}(\varnothing )\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }\mu (\varnothing )=0\Rightarrow \mu ^{* }(\varnothing )=0

Tarkastellaan määritelmän toista kohtaa. Anna . Jos kannesta on sellainen joukko , että , niin epätasa-arvo pätee. Olkoon edelleen kaikki kattavuuden joukot sellaisia, että . Otetaan mielivaltainen , tarkan alarajan määritelmän mukaan ${\displaystyle A\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n))$ $A_{{n}}$ $\mu ^{*}(A_{n})=+\infty$ $\mu ^{*}(A_{n})<+\infty ,\,\forall n\geqslant 1$ $\varepsilon > 0$

{\displaystyle \forall n\geqslant 1\,\exists B_{n_{k}}\in K,k\geqslant 1,\,A_{n}\subseteq \bigcup _{k=1}^{\infty } B_{n_{k}}\colon \mu ^{*}(A_{n})>\sum _{k=1}^{\infty }\mu (B_{n_{k)))-{\frac {\varepsilon }{2^{n))))

Sitten

\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=1}^{\infty }B_{n_{k))\supseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\supseteq A

Koska on renkaan elementtien määrättävä liitto , sitten $\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=1}^{\infty }B_{n_{k))$ $K$

\mu ^{*}(A)\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }\mu (B_{n_{k)) )<\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\mu ^{*}(A_{n})+{\frac {\varepsilon }{2^{n))}{\ isompi )}=\summa _{n=1}^{\infty }\mu ^{*}(A_{n})+\varepsilon ,\varepsilon \longrightarrow 0+

\vartriangeleft

Ulkomitan ominaisuudet

Ulkoisen mittauksen ominaisuudet : $\mu ^{*}$

$\forall n\geqslant 1,\,A\subseteq \bigcup _{k=1}^{n}A_{k}\colon \mu ^{*}(A)\leqslant \sum _{k= 1}^{n}\mu ^{*}(A_{k})$ .

$\vartriangleright$ Todella,

A\subseteq \bigcup _{k=1}^{n}A_{k}\cup \varnothing \cup \varnothing \cup \cdots \Rightarrow \mu ^{*}(A)\leqslant \sum _ {k=1}^{n}\mu ^{*}(A_{k})+\mu ^{*}(\varnothing )+\mu ^{*}(\varnothing )+\cdots =\sum _ {k=1}^{n}\mu ^{*}(A_{k})

\vartriangeleft

$A\subseteq B\Rightarrow \mu ^{*}(A)\leqslant \mu ^{*}(B)$ ( monotonisuus ).

$\vartriangleright$ Seuraa edellisestä kiinteistöstä osoitteessa . $n = 1$ $\vartriangeleft$

𝜇*-mitattavat sarjat

Antaa olla jokin ulkoinen toimenpide, joka on määritelty joukon osajoukoissa . Sitten asettaa niin, että tasa-arvo pätee kaikkiin $\mu ^{*}$ $X$ $E\alajoukko X$ $A\alajoukko X$

\mu ^{*}(A)=\mu ^{*}(A\cap E)+\mu ^{*}(A\cap {\overline {E)))

kutsutaan mitattavissa oleviksi. -mitattavat joukot muodostavat σ-renkaan, ja tämän σ-renkaan elementeille määritetty funktio on :n generoima mitta . Jos ulkomitta on generoitu jollakin renkaaseen määritellyllä suurella , se on suuren laajennus (missä on edellä määritelty mitta, jonka generoi ). $\mu ^{*}$ $\mu ^{*}$ $\mu ^{*}$ $\mu ^{*}$ $\mu ^{*}$ $\mu$ $K$ ${\overline {\mu ))$ $\mu$ ${\overline {\mu ))$ $\mu ^{*}$

Jos sen määrittelee jokin suuren generoima ulkoinen mitta , niin jos ja vain jos ulkoinen mitta itse generoi jonkin suuren . ${\overline {\mu }}^{*}$ ${\overline {\mu ))$ $\mu ^{*}={\overline {\mu }}^{*}$ $\mu ^{*}$ $\mu$

Katso myös

Kirjallisuus

Dorogovtsev A.Ya. Yleisen mitta- ja integraaliteorian elementit. Kiova, 1989
Khalmosh P.R. mittateoria. M.: Izd-vo inostr. lit., 1953