Kolmogorovin lause kolmesta sarjasta

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 23. joulukuuta 2019 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Kolmogorovin kolmen sarjan lause , nimetty Andrei Kolmogorovin mukaan, asettaa todennäköisyysteoriassa kriteerin konvergenssille todennäköisyydellä, joka on yksi äärettömästä satunnaismuuttujien sarjasta niiden todennäköisyysjakaumiin liittyvien sarjojen konvergenssin kautta . Kolmogorovin kolmen sarjan lauseella yhdistettynä Kroneckerin lemmaan voidaan todistaa suurten lukujen vahva laki .

Määritelmät

Olkoon jokin vakio. Sitten $c$

\xi ^{c}={\begin{cases}\xi ,&|\xi |\leqslant c,\\0,&|\xi |>c.\end{cases}}

$minä$ on indikaattori satunnaismuuttujan arvojoukolle.

Lauseen lause

Antaa olla sarja riippumattomia satunnaismuuttujia. Jotta sarja lähentyisi todennäköisyydellä yksi , sarjan on suppeneva mille tahansa $\xi _{1},\xi _{2}...$ $\sum \xi$ $c>0$

\sum \mathbb {E} \xi _{n}^{c},

\sum D\xi _{n}^{c},

\sum P(|\xi _{n}|\geqslant c)

ja riittää, että nämä sarjat lähentyvät joillekin . $c>0$

Todiste

Riittävyys

Kahden sarjan lauseen mukaan sarja konvergoi todennäköisyydellä yksi. Mutta jos , niin Borel-lemmalla - Cantelli todennäköisyydellä yksi , ja siten kaikille , paitsi ehkä äärellinen luku. Siksi sarja myös lähentyy. ${\displaystyle \sum \xi _{n}^{c))$ $\sum P(|\xi _{n}|\geqslant c)<\infty$ $\sum I(|\xi _{n}|\geqslant c)<\infty$ ${\displaystyle \xi _{n}=\xi _{n}^{c))$ $n$ $\sum \xi$

välttämättömyys

Jos sarja konvergoi, silloin ja siten kaikille ei voi tapahtua enempää kuin rajallinen määrä tapahtumia . Siksi Borel-Cantelli-lemman toisessa osassa . Lisäksi sarjan konvergenssista seuraa sarjan lähentyminen . Siksi kaksisarjalauseen mukaan kukin sarja konvergoi . ${\displaystyle \sum \xi _{n))$ $\xi _{n}\rightarrow 0$ $c>0$ ${\displaystyle {|\xi _{n}|\geqslant c))$ $\sum I(|\xi _{n}|\geqslant c)<\infty$ $\sum P(|\xi _{n}|\geqslant c)<\infty$ ${\displaystyle \sum \xi _{n))$ ${\displaystyle \sum \xi _{n}^{c))$ ${\displaystyle \sum \mathbb {E} \xi _{n}^{c))$ ${\displaystyle \sum D\xi _{n}^{c))$

Seuraus

Antaa olla riippumattomia satunnaismuuttujia kanssa . Sitten jos $\xi _{1},\xi _{2}...$ $\mathbb {E} \xi _{n}=0$

\sum \mathbb {E} {\frac {\xi _{n}^{2}}{1+|\xi _{n}|}}<\infty ,

silloin sarja konvergoi todennäköisyydellä yksi. ${\displaystyle \sum \xi _{n))$

Esimerkki

Harkitse esimerkkinä satunnaista harmonista sarjaa :

\sum _{n=1}^{\infty }\pm {\frac {1}{n))

jossa " " tarkoittaa, että kunkin termin etumerkki valitaan satunnaisesti, itsenäisesti ja todennäköisyyksillä , . Valitsemalla sarjaksi, jonka jäsenet ovat yhtä suurella todennäköisyydellä, on helppo varmistaa, että se täyttää lauseen ehdot ja konvergoi todennäköisyydellä yksi. Toisaalta samanlainen sarja käänteisiä neliöjuuria satunnaisilla merkeillä: $\pm$ $1/n$ $1/2$ $1/2$ $\xi _{n}$ $1/n$ $-1/n$

\sum _{n=1}^{\infty }\pm {\frac {1}{\sqrt {n}}},

eroaa todennäköisyydellä yksi, koska sarja eroaa. ${\displaystyle \sum D\xi _{n}^{c))$

Kirjallisuus

Shiryaev A. N. Todennäköisyys. - 3. painos, tarkistettu. ja muut .. - M . : MTSNMO , 2004. (Luku 4 § 2 § 1)

Linkit

Aurinko, Rongfeng. Luentomuistiinpanot (downlink) . Haettu 22. syyskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 17. huhtikuuta 2018. (määrätön)