Courant-Fischer-lause

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 16. syyskuuta 2018 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Courant–Fischer- lause on lause hermiittisen operaattorin ominaisuudesta Hilbertin funktion avaruudessa. Kutsutaan myös minimax-lauseeksi [1] .

Sanamuoto

\lambda _{k}=\inf \limits _{L_{k}}\sup \limits _{x\in L_{k}\cap S}{\frac {(Ax,x)}{( x,x)}}

A

on lineaarinen itseadjoint-operaattori , joka toimii äärellisulotteisessa kompleksissa tai todellisessa avaruudessa,

S

- yksi pallo

{\displaystyle e=e_{1}\dots e_{n))

on avaruuden ortonormaali kanta , joka koostuu operaattorin ominaisvektoreista ,

V

A

\lambda_k

on operaattorin ja -: s ominaisarvo

k

A

{\displaystyle \lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \dots \leq \lambda _{n))

L_{k}

— -ulotteinen aliavaruus .

k

V

Todiste

$p=n-k+1$ , — -ulotteinen aliavaruus , — vektorien lineaarinen jänneväli . . Mistä se seuraa . Anna ja . Siitä lähtien . Toisaalta siitä lähtien
$L_{k}$ $k$ $V$
$W_{n-k+1}$ ${\displaystyle e_{k}\dots e_{n))$
$\dim L_{k}+\dim W_{n-k+1}=n+1$
$L_{k}\cap W_{n-k+1}\neq {\varnothing }$ $x_{0}\in L_{k}\cap W_{n-k+1}$ $\ \|x_{0}\|=1$
$\lambda _{k}=\sup \limits _{x\in L_{k}\cap S}(Ax,x),$ ${\frac {(Ax_{0},x_{0})}{(x_{0},x_{0})}}\leq \lambda _{k}$
$x_{0}\in L_{k}$