Moreran lause on Cauchyn integraalilauseen käänne (epätäydellinen) ja yksi kompleksisen muuttujan funktioteorian peruslauseista . Se voidaan muotoilla näin:
Jos alueella olevan kompleksisen muuttujan funktio on jatkuva ja sen integraali minkä tahansa suljetun tasasuuntautuvan ääriviivan yli on yhtä suuri kuin nolla, se on sitten on analyyttinen funktio . |
Lauseen ehtoa voidaan heikentää rajoittumalla siihen vaatimukseen, että minkä tahansa alueelle kuuluvan kolmion rajalta otetut integraalit katoavat .
Todistus perustuu siihen tosiasiaan, että lauseen ehdot täyttävällä funktiolla on antiderivaata sisällä , eli on olemassa funktio , joka täyttää lauseen ehdot.
Mutta kerran kompleksisesti differentioituva funktio on analyyttinen, joten sen derivaatta on myös analyyttinen.
Moreran lause on tärkein tapa todistaa jonkin monimutkaisesti määritellyn funktion analyyttisyys. Yksi keskeisistä väitteistä tässä on, että jos analyyttisten funktioiden sarja konvergoi tasaisesti funktioon , niin
siksi Moreran lauseen mukaan rajafunktio on myös holomorfinen. Siten monien sarjan ja integraalien määrittelemien funktioiden holomorfia on todistettu, esimerkiksi Riemannin zeta-funktio
Moreran lausetta käytetään myös todistamaan symmetriaperiaatteelle rakennetun funktion analyyttisyys .
Tämän lauseen hankki italialainen matemaatikko Giacinto Morera vuonna 1886 .