Tauberin lause

Tauberin lause on lause potenssisarjojen ominaisuuksista lähellä konvergenssiympyrän rajaa . Se on yksinkertaisin käänteislause Abelin potenssisarjojen konvergenssilauseelle. Todisti A. Tauber vuonna 1897. [1] Myöhemmin muut kirjoittajat muotoilivat sen ja osoittivat sen yleisemmillä ehdoilla ( Abel-Tauber-lause ).

Sanamuoto

Jos , ja , niin sarja konvergoi lisäksi summaan . $a_{n}=o\left({\frac {1}{n))\right)$ $n\to \infty$ $\lim \limits _{x\to 1-0}\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\right)=s$ $\sum _{{n=0}}^{{\infty }}a_{{n}}$ $s$

Selitykset

Tässä tasa -arvo tarkoittaa sitä, että milloin pyrkii tiettyyn rajaan (katso O-merkintä ). $f(x)=o(\varphi (x))$ ${\frac {f(x)}{\varphi (x)))\rightarrow 0$ $x$

Todiste

Riittää todistaa, että ja , $N=\left[{\frac {1}{(1-x)))\right]$ $x\rightarrow 1-0$

\sum _{{n=0}}^{{\infty }}a_{{n}}x^{{n}}-\sum _{{n=0}}^{{N}}a_{{ n}}\rightarrow 0

tuo on

\sum _{{n=N+1}}^{{\infty }}a_{{n}}x^{{n}}-\sum _{{n=0}}^{{N}}a_ {{n}}(1-x^{{n}})\nuoli oikealle 0

Merkitse:

S_{{1}}=\summa _{{n=N+1}}^{{\infty }}a_{{n}}x^{{n}}

S_{{2}}=\sum _{{n=0}}^{{N}}a_{{n}}(1-x^{{n}})

Ilmeisesti:

\left|S_{1}\right|=\left|\sum _{n=N+1}^{\infty }na_{n}{\frac {x^{n}}{n}} \right|<{\frac {\varepsilon }{N+1}}\sum _{n=N+1}^{\infty }x^{n}<{\frac {\varepsilon }{(N+1 )(1-x)}}<\varepsilon

Johtuen siitä, että

1-x^{{n}}=(1-x)(1+x+...+x^{{n-1}})<n(1-x)

seuraa:

\left|S_{{2}}\right|<(1-x)\sum _{{n=0}}^{{N}}n\left|a_{{n}}\right|\leqslant { \frac {1}{N}}\sum _{{n=0}}^{{N}}n\left|a_{{n}}\right|

Lemman nojalla oikea puoli pyrkii nollaan, joten ja , riittävän suurelle , saamme . Lauseen todistus on valmis. $\left|S_{2}\right|<\varepsilon$ $N$ $\left|S_{1}-S_{2}\right|<2\varepsilon$

Lemma

Jos klo , niin . $b_{{n}}\rightarrow 0$ $n \rightarrow \infty$ ${\frac {b_{{0}}+b_{{1}}+...+b_{{{n}}}{n+1}}\rightarrow 0$

Aina voi löytää numeroita , , , sellaisia, että kaikille ja for . $K$ $\epsilon$ $n_{{0}}$ $\left|b_{{n}}\right|<K$ $n$ $\left|b_{{n}}\right|<\epsilon$ $n>n_{{0}}$

Otetaan ja . $n>n_{{0}}$ $n>(n_{{0))+1){\frac {K}{\epsilon }}$

Meillä on:

\left|{\frac {b_{0}+b_{1}+...+b_{n}}{n+1}}\right|\leqslant \left|{\frac {b_{0 }+b_{1}+...+b_{n_{0}}}{n+1}}\right|+\left|{\frac {b_{n_{0}+1}+b_{n_{ 0}+2}+...+b_{n}}{n+1}}\right|\leqslant {\frac {(n_{0}+1)K}{n+1}}+{\frac {(n-n_{0})\epsilon }{n+1}}<2\epsilon

Lemman todiste on valmis.

Muistiinpanot

↑ Tauber, A. Ein Satz aus der Theorie der unendlichen Reihen (Lause äärettömän sarjan teoriasta) // Monatsh. F. Math. - 1897. - V. 8. - S. 273-277. — DOI 10.1007/BF01696278

Kirjallisuus

E. Titchmarsh. Toimintojen teoria. - Nauka, 1980. - 464 s.