Usovin geodeettinen lause

Usovin geodeettinen teoreema antaa tarkan arvion geodeettisen rotaation vaihtelusta konveksin Lipschitz-funktion kuvaajalla.

Todisti Vladimir Usov. [1] Todistuksessa käytetään Liebermanin lemmaa .

Sanamuoto

Olkoon kaavio kupera Lipschitz-funktio ja geodeettinen on . Tällöin kiertovaihtelu ei ylitä , missä on Lipschitzin vakio . $\Sigma \subset \mathbb {R} ^{3}$ $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ $\gamma$ $\Sigma$ $\gamma$ $2\cdot L$ $L$ $f$

Muistiinpanot

Tämä arvio saavutetaan esimerkiksi kartiolle . On myös mahdollista tasoittaa funktio nollan ympärille, jolloin saadaan tasa-arvoinen esimerkki. ${\displaystyle f=L\cdot {\sqrt {x^{2}+y^{2))))$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Mielivaltaisen -Lipschitz-funktion geodeettisen osagraafin rotaatiovariaatio ei ylitä . [2] $L$ $2\cdot L$
Lyhimmän käyrän kiertovaihtelu suljetulla kuperalla pinnalla on rajattu universaaliin vakioon. [3]

Muistiinpanot

↑ V. V. Usov. "Kuperalla pinnalla olevan geodeettisen aineen pallokuvan pituudesta." Siberian Mathematical Journal 17.1 (1976), s. 233-236
↑ ID Berg. "Arvio geodeettisen kokonaiskaarevuuden euklidisessa 3-avaruudessa rajalla." Geom. Dedicata 13 (1982), ss. 1–6.
↑ N. Lebedeva, A. Petrunin. Geodesiikan minimoinnin kokonaiskaareudesta kuperilla pinnoilla // Algebra i Analiz. - 2017. - T. 29 , nro 1 . — S. 189–208 . (Venäjän kieli)