Fari-Milnorin solmun kiertolause

Fary-Milnorin lauseessa sanotaan, että minkä tahansa solmun kiertovaihtelu ylittää .

Historia

Kysymyksen muotoili Karol Borsuk , ja sen todisti itsenäisesti kolme matemaatikkoa: Istvan Fary , Heinz Hopf vuonna 1949 ja John Milnor vuonna 1950 . Heinz Hopf ei julkaissut todistustaan. Tämän todisteen todistaa huomautus, jonka Istvan Fari on lisännyt artikkelinsa todisteisiin. Siinä sanotaan, että Hopf käytti Erkika Panwitzin työtä sellaisen suoran olemassaolosta, joka leikkaa solmun neljässä pisteessä.

Sanamuoto

Olkoon solmu kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa . Jos kiertovaihtelu ei ylitä , solmu on triviaali .

Erityisesti, jos  on sileä solmu ja on sen kaarevuus kohdassa , niin

tarkoittaa, että solmu on triviaali .

Tietoja todisteista

Milnorin todistus perustuu Croftonin kaavan muunnelmaan käyrän käännöksen vaihteluun ja yksinkertaiseen tosiasiaan, että solmun projektiolla mihin tahansa viivaan on vähintään 4 käännepistettä. Fareyn todistus on monimutkaisempi, se käyttää myös Croftonin kaavan analogia käyrän kiertoliikkeen vaihtelulle ja ei-triviaalia tosiasiaa, että solmun projektion pyörimisen vaihtelu missä tahansa tasossa ei ole pienempi kuin .

Alexanderin ja Bishopin todistus on alkeellisempi, ei käytä Croftonin kaavoja ja perustuu toistuvaan käyttöön, että sisäänkirjoitetun moniviivan kierron vaihtelu ei ylitä käyrän kierron vaihtelua.

Toinen todiste perustuu vuorottelevan nelinkertaisen sekantin olemassaoloon. Toisin sanoen minkä tahansa solmun kohdalla voit löytää suoran, joka leikkaa sen neljässä virrassa , jotka näkyvät viivalla samassa järjestyksessä ja käyrällä järjestyksessä . [1] Ilmeisesti tämä on todiste, joka löydettiin, mutta Heinz Hopf ei ole julkaissut sitä.

On olemassa myös todistus, joka perustuu minimaalisten pintojen käyttöön, se perustuu siihen, että jos käyrän kierto ei ylitä , niin levy, jonka raja on käyrän päällä, minimoi alueen, on sisäkkäin. [2]

Muunnelmia ja yleistyksiä

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ Denne, Elizabeth Jane (2004), Solmujen vuorottelevat kvadrisekantit , Ph.D. opinnäytetyö, Illinoisin yliopisto Urbana-Champaignissa  .
  2. ↑ Ekholm T., White B., Wienholtz, D. Minimaalisten pintojen upottaminen, joiden rajakaarevuus on enintään 4π   // Ann . Math.. - 2002. - S. 209–234 . Arkistoitu alkuperäisestä 15. helmikuuta 2022.
  3. ↑ Aleksanteri, Stephanie B.; Bishop, Richard L. Fary–Milnor-lause Hadamardin monissa   // Proc . amer. Matematiikka. Soc.. - 1998. - Voi. 126 , nro. 11 . — s. 3427–3436 .

Kirjallisuus