Solmu (matematiikka)

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 4. elokuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 4 muokkausta .

Solmu matematiikassa on ympyrän (yksiulotteisen pallon) upottaminen kolmiulotteiseen euklidiseen avaruuteen , jota pidetään isotoopiana . Soluteorian pääaine . Kaksi solmua ovat topologisesti samanarvoisia , jos toinen niistä voidaan muuttaa toiseksi, eikä muodonmuutosprosessissa pitäisi olla itseleikkauksia.

Erityinen tapaus on kysymys tietyn solmun triviaalisuuden tunnistamisesta, toisin sanoen siitä, onko tietty solmu isotooppinen triviaaliseen solmuun (voidaanko se irrottaa).

Erilaisia solmuinvariantteja voidaan käyttää määrittämään, onko tietty solmu triviaali, kuten Alexanderin polynomi tai komplementin perusryhmä . Yleensä ne voidaan laskea solmukaaviosta .

Topologiassa solmut huomioidaan vain suljetuilla linjoilla, koska sulkemattomia ei voida irrottaa [1] .

Määritelmä

Solmu on kolmiulotteisen pallon tasainen osajoukko , homeomorfinen . Solmu ymmärretään suuntautuneeksi kolmiulotteiseksi palloksi, eikä ympyrän suunnalla yleensä ole merkitystä. $S^{3},$ $S^{1}.$ $S^{3}$ $S^{1}$

Solmun sanotaan olevan katkaistu , jos on olemassa kaksiulotteinen levy , joka (katso Boundary (topologia) ja Circle bundle ). $Y$ $D\subset B^{4},$ $Y=\osittainen D$

Solmut ovat samansuuntaisia , jos on olemassa tasaisesti upotettu rengas, joka leikkaa kohdassa ( ) (katso perhe (matematiikka) ). Knot cobordism ryhmä - cobordant orientoituneet solmut yhdistetty summaus operaatio . Tarkastellaan palloja pallona Jos parillinen, niin $Y_{1},Y_{2}$ $S^{3}\times I$ ${\displaystyle S\times \{t\))$ ${\näyttötyyli Y_{t))$ $t=0,1$ ${\displaystyle K_{1}^{3))$ $K_{n}^{n+2}$ $S^{n+2}.$ $n$ $K_{n}^{n+2}=0.$

Bundle

Punoksen ja solmun käsitteet yleistyvät käsitteellä nippu. Yhteys tuloilla ja lähdöillä (eli -yhteys) on järjestelmä ei-leikkaavista kaareista ja ympyröistä, jotka on upotettu tasaisesti kaistaleeseen siten, että kaarien päät ovat pisteitä ja ympyrät ovat ns . liitännän komponentit [2] . $k$ $l$ ${\näyttötyyli (k,l)}$ $\mathbb {R} ^{2}\times [0,1],$ ${\näyttötyyli (1,0,0),\,(2,0,0),\,...,(k,0,0)}$ ${\näyttötyyli (1,0,1),\,(2,0,1),\,...,(l,0,1);}$ $\mathbb {R} ^{2}\times (0,1).$ $\mathbb {R} ^{2}\times [0,1]$

Luokitus

Shamrock - solmuon ensimmäinen ei-triviaali solmu ja ainoa solmu, jossa onkolme risteystä . Se on ensisijainen ja se on listattu numerolla 3 1 Alexander - Briggin notaatiossa . Dowkerin apilven merkintä on 4 6 2 ja Conwayn shamrockin merkintä on [3]. $3_{1}$

Apila on ei-triviaali, mikä tarkoittaa, että apilaa ei ole mahdollista "irrottaa" 3D-muodossa leikkaamatta sitä. Matemaattisesti tämä tarkoittaa, että apila ei ole isotooppi triviaaliseen solmuun . Erityisesti ei ole olemassa Reidemeisterin liikesarjaa , jolla solmu avautuu.

Kahdeksan , nelinkertainen solmu tai listaussolmu , solmuon yksi yksinkertaisimmista ei-triviaalisista solmuista. Kahdeksan edustaa symboli. Listing , Gaussin opiskelija,harkitsi sitä ensimmäisen kerran vuonna 1847 . $4_{1}$ $4_{1}$

Apila on kiraalinen siinä mielessä, että apila eroaa omasta peilikuvastaan. Sharockin kaksi muunnelmaa tunnetaan vasenkätisenä ja oikeakätisenä. Vasemmanpuoleista varianttia on mahdotonta muuttaa jatkuvalla tavalla oikeanpuoleiseksi tai päinvastoin muodonmuutoksen avulla. (Toisin sanoen nämä kaksi apilaa eivät ole isotooppisia.)

Voidaan myös osoittaa, että apila (sekä oikea että vasen) ei ole isotooppi kahdeksaan.

Cinquefoil , joka tunnetaan myös nimellä solmuAlexanderin ja Briggsin merkinnässä, Potentilla-solmu ja Salomonin sinetti , on solmu, jonka leikkauskohtien lukumäärä (pienin mahdollinen itseleikkausten lukumäärä kaaviossa - tasainen kuvio - a) solmu) on viisi. $5_{1}$

Monikomponenttisolmuissa komponenttien lukumäärä ilmoitetaan yläindeksissä: esimerkiksi kahden renkaan yhdistämisessä on symbolinen merkintä . $2_{1}^{2}$

Nämä olivat esimerkkejä polynomisista [3] solmuista. Ei-polynomisolmu on villi solmu [4]

Villi solmu on euklidisessa avaruudessa sellainen solmu , jossa itsessään ei ole homeomorfia , jonka alta se siirtyy suljetuksi katkoviivaksi, joka koostuu rajallisesta määrästä segmenttejä. $L$ $E^{3}$ $E^{3}$ $L$

Solmut ja linkit

Ympyrän esiintymien irrotetun summan upottamista ( useammin sen kuvaa) kutsutaan moninkertaisuuslinkiksi . $\mu$ $\mathbb {R} ^{3}$ $S^{3}$ $\mu$

Moninkertaisuuslinkkiä kutsutaan solmuksi . $\mu=1$

Tietyn linkin muodostavia solmuja kutsutaan sen komponenteiksi .

Solmuinvariantit

Solmuteoriassa solmun leikkausnumero on pienin määrä leikkauskohtia missä tahansa solmukaaviossa. Leikkausten lukumäärä on solmuinvariantti .

Esimerkiksi triviaalisessa solmussa on nolla risteystä, apilalla on kolme risteystä ja kahdeksalla on neljä risteystä.

Solmun lisäys

Gordon-Lycken teoreema sanoo, että solmun komplementti ( topologisena avaruutena ) on solmun "täydellinen invariantti" siinä mielessä, että se erottaa tietyn solmun kaikista muista aina ympäristön isotoopiaan asti . ja peiliheijastus . Solmun komplementtiin liittyvien invarianttien joukossa on solmuryhmä , joka on yksinkertaisestisen komplementin perusryhmä .

Muistiinpanot

↑ Boltyansky V.G., Efremovich V.A. Visuaalinen topologia. - M .: Nauka, 1983. Sarjakirjasto "Quantum", numero 21. - P.87
↑ Kassel K., Rosso M., Turaev V. - Kvanttiryhmät ja solmuinvariantit. - Moskova: Computer Research Institute, 2002, 140 sivua.
↑ Armstrong (1983 ), s. 215.
↑ Livingstone (1996 ), jakso 2.1 Wild Knots and Unknottings, s. 11-14.

Kirjallisuus

Simon Jonathan. Mathematical Approaches to Biomolecular Structure and Dynamics / Jill P. Mesirov, Klaus Schulten, De Witt Sumners. - 1996. - V. 82. - (IMA Volumes in Mathematics and its Applications). - doi : 10.1007/978-1-4612-4066-2_4 .
PG Tait. tieteellisiä papereita. - Cambridge University Press, 1898. - V. 1.
C. A. Adams. Solmukirja: Perusjohdanto solmujen matemaattiseen teoriaan. - American Mathematical Society, 2004. - ISBN 9780821836781 .
Crowell R., Fox R. Johdatus solmuteoriaan / Per. englannista. - Cherepovets: Mercury-Press, 2000. - 348 s. — ISBN 5-1148-0112-0 . .
Manturov V. O. Solmuteoria . - M. : RHD, 2005. - 512 s. — ISBN 5-93972-404-3 . .
Manturov V. O. Luennot solmuteoriasta ja niiden invarianteista. — M. : Pääkirjoitus URSS, 2001. — 204 s. — ISBN 5-8360-0287-8 . .
Milnor J. Monimutkaisten hyperpintojen yksittäispisteet / Per. englannista. - M .: Mir, 1971. - 127 s.
Mandelbaum R. Neliulotteinen topologia / Per. englannista. - M .: Mir, 1981. - 286 s.
Hillman JA Alexander linkkien ihanteet B. - HDlb. – NY, 1981.
Jones, Vaughan F. R. Knot Theory and Statistical Mechanics // Scientific American (venäläinen painos). - Nro 1. - 1991. - S. 44-50.
Sosinsky, A. B. Knots and Braids . - M. : MTsNMO , 2001. - T. 10. - 24 s. - (Kirjasto "Matemaattinen koulutus"). - ISBN 5-900916-76-6 . .
Artikkelit "Solmuteoria 1900-luvun lopulla" // Matemaattinen koulutus . - Nro 3. - 1999.
Manturov V. O. Excursus solmuteoriaan // Verkkokoulutuslehti . - 2004. - T. 8 , nro 1 . - S. 122-127 .
H. Gruber. Arviot vähimmäisristeysmäärästä . - 2003. - arXiv : math/0303273 .
Yuan Diao. Ristikkäislukujen additiivisuus // Journal of Knot Theory and its Ramifications. - 2004. - T. 13 , no. 7 . - doi : 10.1142/S0218216504003524 .
Marc Lackenby. Yhdistelmäsolmujen risteytysmäärä // Journal of Topology. - 2009. - Osa 2 , numero. 4 . - doi : 10.1112/jtopol/jtp028 .
Honda K. 3-ulotteiset menetelmät kosketingeometriassa . (Englanti)
Etnyre JB Legendriaan ja Transversal Knots . (Englanti)
Birman JS Punokset, solmut ja kontaktirakenteet . (Englanti)
Weisstein, Eric W. Knot Theory (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .

Solmujen ja linkkien teoria
Hyperbolinen	Kahdeksan (4 1 ) Kolme puolikierrosta (5 2 ) Ahtaus (6 1 ) 6 2 6 3 74 _ Mat Carrick (8 18 ) Perco-pari (10 161 ) Pitsi (−2,3,7) (12n242) Whitehead (52 1) Borromean renkaat (63 2) L10a140
satelliitti	Yhdiste ( vauva ) suoraan Solmujen summa
toric	Triviaali (0 1 ) Shamrock (3 1 ) Potentilla (5 1 ) Seitsemänlehtinen (7 1 ) Linkitetty (02 1) Hopf (22 1) Salomo (42 1)
Invariantit	vuorotellen Arfa invariant Siltojen määrä ( 2 siltaa ) Brunnian linkki Kiraalisuus ( palautuva ) Elokuvien määrä Risteysten lukumäärä Vasiliev invariantti Hyperbolinen tilavuus Khovanovin homologia Suku Solmuryhmä Vaihteistoryhmä Välityssuhde Polynomit ( Aleksanteri Kauffmanin kiinnike HOMFLY Jones Kaufman ) Pitsikihlausta Yksinkertainen solmu ( luettelo ) Segmenttien lukumäärä Tricolor-värien määrä Sidottamisen määrä ja tehtävä
Merkinnät ja operaatiot	Alexander-Briggin notaatio Conway-merkintä Docker-merkintä Mutaatio Reidemeister liike Skene suhde
Muut	Aleksanterin lause Bergen solmu punos teoria Conway-pallo Solmun valmistuminen Kaksoistorussolmu Kerroksellinen solmu Nauha Leikata Solmujen summa Taten hypoteeseja Kierretty Villi Kierrä numero Seifertin pinta