Seifertin pinta
Matematiikassa Seifertin pinta on pinta , jonka rajana on tietty solmu tai linkki . Tällaiset pinnat ovat usein hyödyllisiä tutkittaessa vastaavaa solmua tai lenkkiä. Erityisesti monet solmuinvariantit on helpoimmin laskettavissa sen avulla. Seifert-pinnat ovat sinänsä kiinnostavia tutkimuskohteena. Nimetty Herbert Seifertin mukaan .
Määritelmä
Olkoon kesy suuntautunut solmu tai linkki 3D-avaruudessa (tai 3D-pallolla). Seifert-pinta on kompakti yhdistetty orientoitu pinta , joka on upotettu kolmiulotteiseen avaruuteen siten, että sen raja on , ja pinnalla oleva orientaatio indusoi alkuperäisen suunnan .
Korostamme, että Seifertin pinnan tulee olla suunnattu.
Esimerkkejä
- Jokainen kompakti yhdistetty orientoitu pinta, jolla on ei-tyhjä raja kolmiulotteisessa avaruudessa, on rajansa Seifert-pinta.
- Normaalin Möbius-nauhan rajana on triviaalisolmu , mutta se ei ole sen Seifert-pinta, koska Möbius-nauha ei ole suuntautuva.
Solmun tyyppi
Tietyn solmun tai linkin Seifert-pinta ei ole yksiselitteisesti määritelty: samalla solmulla (tai linkillä) voi olla useita erilaisia Seifert-pintoja, tällaisen pinnan pienintä mahdollista sukua kutsutaan solmun suvuksi, se on sen invariantti ja se on merkitty .
Esimerkiksi:
- Triviaalisolmun suku on 0 (koska se on levyn raja); päinvastoin, jos solmun suku on nolla, niin solmu on triviaali.
- Shamrockilla , kuten kahdeksalla , on sukupuoli 1.
- Tyypin toorisen solmun suku on yhtä suuri kuin .
- Alexanderin polynomin aste on alaraja kaksinkertaiselle solmun suvulle.
Suvun perusominaisuus on sen additiivisuus suhteessa solmujen yhdistettyyn summaan :
Linkit
- SeifertView-ohjelma Arkistoitu 26. toukokuuta 2010 Wayback Machinessa - Seifert-pintojen rakentaminen erilaisille solmuille.