Kiraalinen solmu

Solmuteoriassa kiraalinen solmu on  solmu , joka ei vastaa peilikuvaansa. Suuntautunutta solmua, joka vastaa peilikuvaansa, kutsutaan amfikiraaliseksi solmuksi tai akiraaliseksi solmuksi . Solmun kiraalisuus on solmun invariantti . Solmujen kiraalisuutta voidaan edelleen luokitella sen mukaan, onko se palautuva vai ei.

Kiraalisuuden ja palautuvuuden määrittelemiä solmusymmetrioita on vain 5 tyyppiä - täysin kiraalinen, palautuva, positiivisesti amfikiraalinen irreversiibeli, negatiivisesti amfikiraalinen irreversiibeli ja täysin amfikiraalinen palautuva [1] .

Tausta

Max Dehn on jo pitkään epäillyt ja todistanut joidenkin solmujen kiraalisuutta vuonna 1914. P. G. Tet arveli, että kaikilla amfikiraalisilla solmuilla on parillinen määrä risteyksiä , mutta Morven Thisluit vuonna 1998 löysi vastaesimerkin [2] . Taten arvelu on kuitenkin todistettu yksinkertaisten vuorottelevien solmujen osalta [3] .

• Molemmat mahdolliset apilat .

• Vasen apila.

• Oikea apila.

Yksinkertaisin kiraalinen solmu on apila , jonka kiraalisuuden osoitti Max Dehn . Kaikki toruksen solmut ovat kiraalisia. Alexander-polynomi ei voi määrittää solmun kiraalisuutta, mutta Jones-polynomi voi joissakin tapauksissa määrittää. Jos V k ( q ) ≠  V k ( q −1 ), niin solmu on kiraalinen, mutta päinvastoin ei välttämättä pidä paikkaansa. HOMFLY-polynomi tunnistaa kiraalisuuden vielä paremmin, mutta vielä ei tiedetä polynomin solmuinvarianttia , joka määrittäisi kiraalisuuden täysin [4] .

Bilateral knot

Reversiibeliä kiraalista solmua kutsutaan bilateraaliksi [5] . Esimerkkejä kaksipuolisista solmuista on apila.

Täysin kiraalinen solmu

Jos solmu ei vastaa käänteis- tai peilikuvaansa, sitä kutsutaan täysin kiraaliseksi, esimerkkinä on 9 32 [5] solmu .

Amfikiraalinen solmu

Amfikiraalinen solmu on solmu, jossa on α 3 -pallon autohomeomorfismi , joka kääntää suunnan ja kiinnittää solmun joukkona.

Kaikilla amfikiraalisilla vuorottelevilla on parillinen määrä leikkauskohtia . Ensimmäisen amfikiraalisen solmun, jossa oli pariton määrä risteyksiä, eli 15 risteystä, löysivät Hoste ym. [3]

Täysi amfikiraalisuus

Jos solmu on isotooppinen käänteis- ja peilikuvaansa nähden, sen sanotaan olevan täysin amfikiraalinen. Yksinkertaisin solmu tällä ominaisuudella on numero kahdeksan .

Positiivinen amfikirisuus

Jos autohomeomorfismi α säilyttää solmuorientaation, puhutaan positiivisesta amfikiraalisuudesta. Tämä vastaa solmun isotoopiaa sen peilikuvaan. Yksikään solmuista, joissa on alle kaksitoista leikkauskohtaa, ei ole positiivisesti amfikiraalinen [5] .

Negatiivinen amfikiraalisuus

Jos autohomeomorfismi α kääntää solmun suunnan, puhutaan negatiivisesta amfikiraalisuudesta. Tämä vastaa solmun isotooppisuutta käänteisessä peilikuvassa. Solmu, jolla on tämä ominaisuus ja jossa on minimimäärä risteyksiä, on 8 17 [5] .

Muistiinpanot

1. ↑ Hoste, Thistlethwaite, Weeks, 1998 , s. 33-48.
2. ↑ Jablan, Slavik & Sazdanovic, Radmila. " Solmuteorian historia ja tietyt solmujen ja linkkien sovellukset arkistoitu 20. elokuuta 2011 Wayback Machinessa " , LinKnot .
3. ↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Amphichiral Knot  (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla . Käytetty: 5.5.2013.
4. ↑ "Kirality of Knots 9 42 and 10 71 and Chern-Simons Theory", P. Ramadevi, TR Govindarajan ja RK Kaul
5. ↑ 1 2 3 4 Kolmiulotteiset invariantit Knot Atlas

Kirjallisuus

• Jim Hoste, Morwen Thistlethwaite, Jeff Weeks. Ensimmäiset 1 701 936 solmua // The Mathematical Intelligencer. - 1998. - T. 20 , no. 4 . - doi : 10.1007/BF03025227 . Arkistoitu alkuperäisestä 15. joulukuuta 2013.