Skene suhde
Soluteorian keskeinen kysymys on, edustavatko kaksi kaaviota samaa solmua . Yksi työkaluista, jolla tähän kysymykseen vastataan, on solmupolynomi , joka on solmuinvariantti . Jos kaksi kaaviota vastaa eri polynomeja , ne edustavat eri solmuja. Käänteinen ei ole aina totta.
Skein-relaatiota (tai Conway-tyyppistä relaatiota ) käytetään usein määrittämään solmupolynomi yksinkertaisella tavalla. Epävirallisesti sanottuna vyyhtisuhde määrittelee lineaarisen suhteen solmupolynomin arvojen välille kolmessa linkissä , jotka eroavat toisistaan vain pienellä alueella. Joillekin polynomeille, kuten Conwayn , Alexanderin ja Jonesin polynomeille , sopiva vyyhtisuhde riittää polynomin rekursiiviseen laskemiseen . Toiset, kuten HOMFLY-polynomi , vaativat monimutkaisempia algoritmeja.
Määritelmä
Ihorelaatioon liittyy kolme linkkikaaviota , jotka ovat identtisiä kaikkialla yhtä risteystä lukuun ottamatta. Näiden kolmen kaavion pitäisi ilmaista kolme mahdollisuutta, jotka voivat tapahtua tässä risteyksessä: lanka voi kulkea toisen säikeen alta, sen yli tai ei ylittää ollenkaan. Linkkikaavioita kannattaa harkita , sillä yhdenkin risteyksen muuttaminen voi muuttaa solmukaavion linkkikaavioksi ja päinvastoin. Tietystä solmupolynomista riippuen ihorelaatiossa näkyvät linkit voivat olla suunnattuja tai suuntaamattomia.
Kolme kaaviota on merkitty seuraavasti. Käännä solmu niin, että molempien lankojen suunnat kyseisessä risteyksessä osoittavat suunnilleen pohjoiseen. Yhdessä kaaviossa luoteen suunnan lanka kulkee koillislangan yli, merkitsemme sitä . Toisessa kaaviossa koillislanka kulkee luoteislangan yli, tämä on . Viimeisessä kaaviossa ei ole tätä leikkauspistettä, ja se on merkitty .
(Itse asiassa merkintä on suunnasta riippumaton siinä mielessä, että kun kaikki suunnat käännetään, merkintätapa pysyy samana. Siksi polynomit määritellään yksiselitteisesti myös suuntaamattomissa solmuissa. Kuitenkin linkin suunta on olennaisen tärkeä muistaa, missä tilata, että rekursio suoritettiin.)
On hyödyllistä ajatella tätä kahden kaavion muodostamisena yhdestä kaaviosta korjaamalla ne sopivalla suunnalla.
Solmun (linkin) polynomin määrittämiseksi rekursiivisesti funktio ja on kiinteä kaikille kaavioiden ja niiden polynomien kolmiosaisille, jotka on merkitty kuten yllä,
tai huolellisemmin
kaikille .
(Funktion löytäminen, joka tekee polynomista riippumattoman rekursion leikkausjärjestyksestä, ei ole helppo tehtävä.)
Muodollisesti vyyhtisuhdetta voidaan pitää osamääräkartan ytimen määritelmänä litteän seppeleen algebran perusteella . Tällainen kuvaus vastaa solmupolynomia, jos kaikki suljetut kaaviot on kartoitettu monimutkaisiin tyhjien kaavioiden tyyppeihin.