Alexanderin polynomi

Alexanderin polynomi on solmuinvariantti , joka kartoittaa polynomin kokonaislukukertoimilla minkä tahansa tyyppiseen solmuun. James Alexander löysi sen, ensimmäisen solmupolynomin , vuonna 1923. Vuonna 1969 John Conway esitteli version tästä polynomista, jota nyt kutsutaan Alexander-Conway-polynomiksi . Tämä polynomi voidaan laskea käyttämällä vyyhtisuhdetta , vaikka tämän tärkeys tunnistettiin vasta Jones-polynomin löytämisessä vuonna 1984. Pian Conwayn Alexanderin polynomin tarkentamisen jälkeen kävi selväksi, että samanlainen vyyhtisuhde oli Alexanderin artikkelissa. hänen polynominsa [1] .

Määritelmä

Olkoon K solmu 3-pallolla . Olkoon X solmun K komplementin ääretön syklinen peite . Tämä päällyste voidaan saada leikkaamalla solmukomplementti solmun K Seifert-pintaa pitkin ja liimaamalla rajaton määrä kopioita tuloksena olevasta jakoputkesta. X :ään vaikuttaa peittävä muunnos t . Merkitse ensimmäistä kokonaislukuhomologian ryhmää X muodossa . Muunnos t vaikuttaa tähän ryhmään, joten voimme ajatella sitä moduulina . Sitä kutsutaan Alexanderin invariantiksi tai Alexanderin moduuliksi . $H_{1}(X)$ $H_{1}(X)$ ${\mathbb {Z}}[t,t^{{-1}}]$

Tämä moduuli on tietysti luotu. Tämän moduulin esitysmatriisi on nimeltään Alexander-matriisi . Jos generaattoreiden lukumäärä r on pienempi tai yhtä suuri kuin relaatioiden lukumäärä s, niin katsotaan ideaalia, joka on generoitu r -asteen Alexander-matriisin molaarien avulla . Tämä on Fittingin nollaideaali tai Alexanderin ideaali , eikä se riipu esitysmatriisin valinnasta. Jos r > s , asetetaan ideaali 0:ksi. Jos Alexanderin ideaali on pääasiallinen , niin tämän ihanteen generoivaa elementtiä kutsutaan annetun solmun Alexanderin polynomiksi. Koska generaattori voidaan valita yksilöllisesti Laurentin monomilla kertomiseen asti , se johtaa usein tiettyyn ainutlaatuiseen muotoon. Alexander valitsi normalisoinnin, jossa polynomilla on positiivinen vakiotermi. $\pm t^{n}$

Aleksanteri osoitti, että Aleksanterin ihanne on nollasta poikkeava ja aina pääasiallinen. Siten Alexander-polynomi on aina olemassa, ja on selvää, että tämä on solmuinvariantti, jota merkitään . Yksittäisen säikeen muodostaman solmun Alexanderin polynomin aste on 2, ja solmun peilikuvassa polynomi on sama. $\Delta _{K}(t)$

Polynomilaskenta

J. V. Alexander antoi artikkelissaan seuraavan algoritmin Alexanderin polynomin laskemiseksi.

Ota suunnattu solmukaavio, jossa on n leikkauskohtaa. Kartta-alueita on n + 2. Saadaksemme Alexander-polynomin, konstruoimme ensin insidenssimatriisin, jonka koko on ( n , n + 2). n riviä vastaa n leikkauspistettä ja n + 2 saraketta vastaa alueita. Matriisielementtien arvot ovat 0, 1, −1, t , − t .

Tarkastellaan jotakin aluetta ja leikkauspistettä vastaavaa matriisielementtiä. Jos alue ei ole risteyksen vieressä, elementti on 0. Jos alue on risteyksen vieressä, elementin arvo riippuu sijainnista. Oikeanpuoleisessa kuvassa näkyy matriisin elementtien arvo risteyskohdalle (solmun alaosaan on merkitty kulkusuunta, ylemmällä suunnalla ei ole väliä). Seuraava taulukko asettaa elementtien arvot riippuen alueen sijainnista suhteessa alla olevaan viivaan.

vasemmalta risteykseen: − t oikeus risteykseen: 1 vasemmalle risteyksen jälkeen: t heti ylityksen jälkeen: −1

Poistetaan kaksi vierekkäisiä alueita vastaavia sarakkeita matriisista ja lasketaan tuloksena olevan n x n -matriisin determinantti. Riippuen siitä, mitkä sarakkeet poistetaan, vastaus eroaa kertoimella . Epäselvyyden välttämiseksi jaamme polynomin t:n suurimmalla mahdollisella potenssilla ja kerromme tarvittaessa arvolla −1 positiivisen kertoimen saamiseksi. Tuloksena oleva polynomi on Alexanderin polynomi. $\pm t^{n}$

Alexander-polynomi voidaan laskea Seifert-matriisista .

Alexanderin työn jälkeen R. Fox harkitsi esitystä solmuryhmästä ja ehdotti ei-kommutatiivista laskentamenetelmää [2] , jonka avulla voidaan myös laskea . Yksityiskohtainen kuvaus tästä lähestymistavasta löytyy julkaisusta Crowell & Fox (1963 ). $\pi _{1}(S^{3}\backslash K)$ $\Delta _{K}(t)$

Esimerkki polynomin muodostamisesta

Muodostetaan apilalle Alexander-polynomi . Kuvassa näkyvät alueet (A0, A1, A2, A3, A4) ja leikkauspisteet (P1, P2, P3) sekä taulukkomerkintöjen arvot (leikkauspisteiden lähellä).

Alexanderin apilapöytä on muodossa:

Piste	A0	A1	A2	A3	A4
P1	-yksi	0	-t	t	yksi
P2	-yksi	yksi	-t	0	t
P3	-yksi	t	-t	yksi	0

Hylkäämme kaksi ensimmäistä saraketta ja laskemme determinantin: . $-t^{3}-t+t^{2}$

Jakamalla tuloksena oleva lauseke luvulla , saadaan shamrockin Alexander-polynomi: . $-t$ $t^{2}-t+1$

Polynomin perusominaisuudet

Alexanderin polynomi on symmetrinen: kaikille solmuille K. $\Delta _{K}(t^{{-1}})=\Delta _{K}(t)$

Yllä olevan määritelmän näkökulmasta tämä on Poincarén isomorfismin ilmaus missä on renkaan murto-osien kentän osamäärä , jota pidetään -moduulina ja on k : n konjugaattimoduuli (abelilaisena ryhmä, se on identtinen , mutta peittävä kartoitus toimii nimellä ).

{\overline {H_{1}X}}\simeq \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} [t,t^{-1}]}(H_{1}X,G)

G

\mathbb {Z} [t,t^{-1}]

\mathbb {Z} [t,t^{-1}]

\overline {H_{1}X}

\mathbb {Z} [t,t^{-1}]

H_{1}X

H_{1}X

t

t^{{-1}}

Lisäksi Alexanderin polynomi saa arvon 1, modulo yhtä kuin yksi: . $\Delta _{K}(1)=\pm 1$

Määritelmän näkökulmasta tämä on ilmaus siitä tosiasiasta, että solmun komplementti on homologinen ympyrä , jonka ensimmäinen homologia syntyy peittävällä transformaatiolla . Yleisemmin, jos on 3-moniosainen sellainen, että , Sillä on Alexanderin polynomi , joka määritellään äärettömän syklisen peita-avaruuden järjestyksenideaaliksi. Tässä tapauksessa merkkiin asti on yhtä suuri kuin vääntöalaryhmän järjestys .

t

M

\mathrm {rank} (H_{1}M)=1

\Delta _{M}(t)

\Delta _{M}(1)

H_{1}M

Tiedetään, että mikä tahansa Laurent-polynomi kokonaislukukertoimilla, joka on symmetrinen ja jonka modulo 1 on pisteessä 1, on jonkin solmun Alexander-polynomi [3] .

Polynomin geometrinen merkitys

Koska Alexanderin ideaali on pääasiallinen silloin ja vain, jos solmuryhmä on täydellinen (sen kommutaattori on sama kuin koko solmuryhmä). $\Delta _{K}(t)=1$

Topologisesti katkaistulle solmulle Alexander-polynomi täyttää Fox-Milnor-ehdon , jossa on jokin muu Laurent-polynomi kokonaislukukertoimilla. $\Delta _{K}(t)=f(t)f(t^{{-1}})$ $f(t)$

Solmun kaksoissukua rajoittaa alempana Alexanderin polynomin aste.

Michael Friedman osoitti, että solmu 3-pallolla on topologisesti katkaistu , eli "paikallisesti litteän" topologisen levyn rajat 4-pallolla, jos solmun Alexander-polynomi on triviaali [4] .

Kaufman [5] kuvaa Alexanderin polynomin rakentamista fysikaalisten mallien tilojen summan kautta. Yleiskatsaus tästä lähestymistavasta sekä muista linkeistä fysiikkaan on annettu Kauffmanin julkaisussa ( Kauffman, 2001 ).

On myös muita yhteyksiä pintoihin ja tasaiseen 4-ulotteiseen topologiaan. Esimerkiksi joidenkin oletusten mukaan leikkaus 4 -jakoputkella on sallittua , jossa kaksiulotteisen toruksen lähialue korvataan solmun komplementilla kerrottuna S1 : llä . Tuloksena on tasainen 4-monikertainen homeomorfinen alkuperäiseen nähden, vaikka Seiberg-Wittenin invariantti muuttuu (kerrotaan Alexanderin solmupolynomilla) [6] .

Tiedetään, että symmetriset solmut ovat rajanneet Alexanderin polynomeja. Katso Kawauchin työn symmetriaa käsittelevä osio [3] . Alexander-polynomista voi kuitenkin puuttua joitain symmetrioita, kuten vahvaa palautuvuutta.

Jos solmun komplementti on nippu ympyrän päällä, niin solmun Alexander-polynomi on monareeni (ylemmän ja alemman termin kertoimet ovat yhtä suuret ). Antaa olla nippu, jossa on solmun komplementti. Merkitse monodromiakuvaus muodossa . Sitten , missä on indusoitu kartoitus homologiassa. $\pm 1$ $S\to C_{K}\to S^{1}$ $C_{K}$ $g:S\to S$ $\Delta _{K}(t)=Det(tI-g_{*})$ $g_{*}:H_{1}(S)\to H_{1}(S)$

Yhteys satelliittitoimintoihin

Antaa olla satelliittisolmu satelliitin kanssa , eli on olemassa upottaminen siten, että , Jossa on unnotted kiinteä torus sisältää . Sitten . Tässä on kokonaisluku, joka edustaa . $K$ $K'$ $f:S^{1}\kertaa D^{2}\-S^{3}$ $K=f(K')$ $S^{1}\kertaa D^{2}\osajoukko S^{3}$ $K$ $\Delta _{K}(t)=\Delta _{{f(S^{1}\times \{0\})}}(t^{a})\Delta _{{K'}}(t )$ $a\in {\mathbb Z}$ $K'\alajoukko S^{1}\kertaa D^{2}$ $H_{1}(S^{1}\times D^{2})={\mathbb Z}$

Esimerkki: Yhdistetylle solmusummalle . Jos on kiertämätön kaksoisvalkopääsolmu, niin . $\Delta _{{K_{1}\#K_{2}}}(t)=\Delta _{{K_{1}}}(t)\Delta _{{K_{2}}}(t)$ $K$ $\Delta _{K}(t)=\pm 1$

Alexander-Conway-polynomi

Alexander osoitti, että Alexanderin polynomi tyydyttää vyyhtisuhteen. John Conway löysi tämän myöhemmin uudelleen eri muodossa ja osoitti, että vyyhtisuhde yhdessä triviaalisolmun arvon valinnan kanssa riittää määrittelemään polynomin. Conway-versio on polynomi z :ssä, jossa on kokonaislukukertoimia, ja jota kutsutaan Alexander-Conway-polynomiksi (ja myös Conway-polynomiksi tai Conway-Alexander-polynomiksi ). $\nabla (z)$

Tarkastellaan kolmea suuntautuneiden linkkien kaaviota . $L_{+},L_{-},L_{0}$

Conwayn vyyhtisuhteet:

$\nabla (O)=1$ (jossa O on triviaali solmukaavio )
$\nabla (L_{+})-\nabla (L_{-})=z\nabla (L_{0})$

Yhteys standardin Alexander-polynomin kanssa saadaan relaatiosta . Tämä on normalisoitava oikein (kerrottamalla : lla), jotta vyyhtisuhde pätee . Huomaa, että tämä antaa Laurentin polynomin t 1/2 :ssa . $\Delta _{L}(t^{2})=\nabla _{L}(tt^{{-1}})$ $\Delta _{L}$ $\pm t^{{n/2}}$ $\Delta (L_{+})-\Delta (L_{-})=(t^{{1/2}}-t^{{-1/2}})\Delta (L_{0})$

Yhteys Khovanovin homologiaan

Ozwatin ja Sabon [7] ja Rasmussenin [8] teoksissa Alexander-polynomi esitetään Euler-ominaisuudena kompleksille, jonka homologia on tarkasteltavana olevan solmun isotoopiainvariantti , joten Floerin homologiateoria on kategorisointi Alexanderin polynomi. Katso lisätietoja artikkelista " Khovanov homology " [9] . $K$

Muunnelmia ja yleistyksiä

HOMFLY-polynomi on samanlainen, mutta hienovaraisempi invariantti solmuista ja linkeistä.

Muistiinpanot

↑ Alexander kuvailee vyyhtisuhdetta artikkelin lopussa otsikon "sekalaiset lauseet" alla, minkä vuoksi niitä ei ehkä huomattu. Joan Bierman mainitsee artikkelissaan " New points in knot theory " ( Bull. Amer. Math. Soc. (NS) 28 (1993), no. 2, 253-287), että Mark Kidwell kiinnitti hänen huomionsa Alexander-suhteeseen vuonna 1970.
↑ Fox, 1961 .
↑ 12 Kawauchi , 1996 .
↑ Freedman, Quinn, 1990 .
↑ Kauffman, 1983 .
↑ Fintushel ja Stern (1997) - Solmut, linkit ja 4-jakoputket . Haettu 9. kesäkuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 29. kesäkuuta 2021. (määrätön)
↑ Ozsvath, Szabo, 2004 .
↑ Rasmussen, 2003 .
↑ Khovanov, 2006 .

Kirjallisuus

JW Alexander. Solmujen ja linkkien topologiset invariantit // Trans. amer. Matematiikka. soc. . - 1928. - T. 30 , no. 2 . — S. 275–306 . - doi : 10.2307/1989123 .
R. Crowell, R. Fox. Johdatus solmuteoriaan . – Ginn and Co. vuoden 1977 jälkeen Springer Verlag, 1963.
Colin C. Adams. Solmukirja: Alkuperäinen johdanto solmujen matemaattiseen teoriaan. — Vuoden 1994 alkuperäisen tarkistettu uusintapainos. - Providence, RI: American Mathematical Society, 2004. - ISBN 0-8218-3678-1 . (käytettävissä oleva johdanto vyyhtisuhteen lähestymistapaa käyttäen)
R. Fox. Nopea matka solmuteorian läpi, In Topology of ThreeManifold // Proceedings of 1961 Topology Institute at Univ. Georgia, toimittanut MKFort. - Englewoodin kalliot. NJ: Prentice-Hall, 1961. s. 120–167 .
Michael H. Freedman, Frank Quinn. 4-jakosarjan topologia. - Princeton, NJ: Princeton University Press, 1990. - V. 39. - (Princeton Mathematical Series). - ISBN 0-691-08577-3 .
Louis Kauffman. Muodollinen solmuteoria. - Princeton University Press, 1983.
Louis Kauffman. Solmut ja fysiikka. — World Scientific Publishing Company, 2001.
Akio Kawauchi. Solmuteorian tutkimus. — Birkhauser, 1996. (kattaa useita erilaisia lähestymistapoja, selittää suhteita Alexanderin polynomin eri versioiden välillä)
M. Khovanov. Linkkien homologia ja luokittelu . - 2006. - arXiv : math/0605339 .
Peter Ozvath, Zoltan Szabo. Holomorfiset levyt ja solmuinvariantit // Adv. Math., no., 58--6. - 2004. - T. 186 , no. 1 . — s. 58–116 . - doi : 10.1016/j.aim.2003.05.001 . - . - arXiv : math/0209056 .
J. Rasmussen. Floer homologia ja solmu täydentävät . - 2003. - S. 6378 . - . - arXiv : math/0306378 .
Dale Rolfsen. Solmut ja linkit. – 2. - Berkeley, CA: Publish or Perish, 1990. - ISBN 0-914098-16-0 . (selittää klassisen lähestymistavan Alexanderin invariantilla; solmu- ja linkkitaulukko Alexanderin polynomeilla)

Linkit

Matematiikan tietosanakirja / Michiel Hazewinkel. - Springer, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Pääsivu ja Alexander-Conway-polynomi , Solmukartasto. - taulukko solmuista ja linkeistä lasketuilla Alexanderin ja Conwayn polynomeilla

Solmujen ja linkkien teoria
Hyperbolinen	Kahdeksan (4 1 ) Kolme puolikierrosta (5 2 ) Ahtaus (6 1 ) 6 2 6 3 74 _ Mat Carrick (8 18 ) Perco-pari (10 161 ) Pitsi (−2,3,7) (12n242) Whitehead (52 1) Borromean renkaat (63 2) L10a140
satelliitti	Yhdiste ( vauva ) suoraan Solmujen summa
toric	Triviaali (0 1 ) Shamrock (3 1 ) Potentilla (5 1 ) Seitsemänlehtinen (7 1 ) Linkitetty (02 1) Hopf (22 1) Salomo (42 1)
Invariantit	vuorotellen Arfa invariant Siltojen määrä ( 2 siltaa ) Brunnian linkki Kiraalisuus ( palautuva ) Elokuvien määrä Risteysten lukumäärä Vasiliev invariantti Hyperbolinen tilavuus Khovanovin homologia Suku Solmuryhmä Vaihteistoryhmä Välityssuhde Polynomit ( Aleksanteri Kauffmanin kiinnike HOMFLY Jones Kaufman ) Pitsikihlausta Yksinkertainen solmu ( luettelo ) Segmenttien lukumäärä Tricolor-värien määrä Sidottamisen määrä ja tehtävä
Merkinnät ja operaatiot	Alexander-Briggin notaatio Conway-merkintä Docker-merkintä Mutaatio Reidemeister liike Skene suhde
Muut	Aleksanterin lause Bergen solmu punos teoria Conway-pallo Solmun valmistuminen Kaksoistorussolmu Kerroksellinen solmu Nauha Leikata Solmujen summa Taten hypoteeseja Kierretty Villi Kierrä numero Seifertin pinta