Toorinen solmu

Torussolmu on erityinen solmu, joka makaa solmuttoman toruksen pinnalla vuonna . $\mathbb {R} ^{3}$

Torinen linkki on toruksen pinnalla oleva lenkki . Jokainen torussolmu on määritelty parilla koprime- kokonaislukuja ja . Toorinen linkitys tapahtuu, kun ja ei ole koprime (tässä tapauksessa komponenttien lukumäärä on yhtä suuri kuin suurin yhteinen jakaja ja ). Torussolmu on triviaali silloin ja vain jos jompikumpi tai on yhtä suuri kuin 1 tai −1. Yksinkertaisin ei-triviaali esimerkki on (2,3)-torussolmu, joka tunnetaan myös apilasolmuna . $s$ $q$ $s$ $q$ $s$ $q$ $s$ $q$

Geometrinen esitys

Torussolmu voidaan esittää geometrisesti eri tavoilla, topologisesti vastaavalla mutta geometrisesti eri tavalla.

Yleisesti käytetty käytäntö on, että -toruksen solmu pyörii kerran toruksen ympyräakselin ympäri ja kerran toruksen pyörimisakselin ympäri . Jos ja eivät ole coprime, niin saamme toric linkin, jossa on useampi kuin yksi komponentti. Sopimukset kierteiden pyörimissuunnasta toruksen ympärillä ovat myös erilaisia, useimmiten oletetaan oikeakätinen ruuvi [1] [2] [3] . $(p,q)$ $q$ $s$ $s$ $q$ $pq>0$

$(p,q)$ -torinen solmu voidaan antaa parametroinnilla :

x=r

\cos(p\phi )

y=r

\sin(p\phi )

z=-\sin(q\phi )

missä ja . Se sijaitsee toruksen pinnalla, jonka kaava antaa ( sylinterikoordinaateissa ). $r=\cos(q\phi )+2$ $0<\phi <2\pi$ $(r-2)^{2}+z^{2}=1$

Myös muut parametrisoinnit ovat mahdollisia, koska solmut määritellään jatkuvaan muodonmuutokseen asti. Esimerkkejä (2,3)- ja (3,8)-torisista solmuista voidaan saada ottamalla , ja (2,3)-torisen solmun tapauksessa vähentämällä ja yllä olevista parametroinneista ja . $r=\cos(q\phi )+4$ $3\cos((pq)\phi )$ $3\sin((pq)\phi )$ $x$ $y$

Ominaisuudet

Torussolmu on triviaali silloin ja vain jos jompikumpi tai on yhtä suuri kuin 1 tai −1 [2] [3] . $s$ $q$

Jokainen ei-triviaali torussolmu on yksinkertainen ja kiraalinen .

$(p,q)$ -toric knot vastaa -toric knot [1] [3] . -torinen solmu on käänteis (peilikuva) -toriselle solmulle [3] . -torinen solmu on sama kuin -torinen solmu suuntaa lukuun ottamatta. $(q,p)$ $(p,-q)$ $(p,q)$ $(-p, -q)$ $(p,q)$

Mikä tahansa -torinen solmu voidaan rakentaa suljetusta lankapunoksesta . Sopiva sana punoksille [4] : $(p,q)$ $s$

(\sigma _{1}\sigma _{2}\cdots \sigma _{{p-1}})^{q}

Tämä kaava käyttää käytäntöä, että punosgeneraattorit käyttävät oikeaa kiertoa [2] [4] [5] [6] .

Torisen solmun leikkauspisteiden määrä saadaan kaavalla: $(p,q)$ $p,q>0$

c=\min((p-1)q,(q-1)p)

Toric knot c -suku on : $p,q>0$

g={\frac {1}{2}}(p-1)(q-1).

Toruksen solmun Alexander-polynomi on [1] [4] :

{\frac {(t^{{pq}}-1)(t-1)}{(t^{p}-1)(t^{q}-1)))

(Oikeakätisen) toruksen solmun Jones-polynomi saadaan seuraavasti:

t^{{(p-1)(q-1)/2}}{\frac {1-t^{{p+1}}-t^{{q+1}}+t^{{p+ q }}}{1-t^{2}}}

Torussolmun komplementti 3-pallolla on Seifertin monisto .

Olkoon -ulotteinen tyhmänhattu , jonka sisältä on poistettu kiekko, -ulotteinen tyhmänpää, jonka sisäinen levy on poistettu, ja se on osamääräavaruus, joka saadaan tunnistamalla ympyrän rajaa pitkin . -torisen solmun komplementti on tilan muodonmuutosveto . Siten torussolmun solmuryhmällä on esitys : $Y$ $s$ $Z$ $q$ $X$ $Y$ $Z$ $(p,q)$ $X$

\langle x,y\mid x^{p}=y^{q}\rangle

Torussolmut ovat ainoita solmuja, joiden solmuryhmillä on ei-triviaaleja keskuksia (jotka ovat äärettömiä syklisiä ryhmiä, jotka muodostavat tämän esityksen elementti ). $x^{p}=y^{q}$

Lista

Triviaalisolmu , 3 1 -solmu (2,3) , Potentilla- solmu (5,2), 7₁-solmu (7,2), 8 19 -solmu (4,3), 9 1 -solmu (9.2) , 10 124 - solmu (5.3).

Katso myös

Vaihtoehtoinen solmu
Solmu "Cinquefoil"
Irrationaalinen kietoutuminen toruksen ympärille

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 Livingston, 1993 .
↑ 1 2 3 Murasugi, 1996 .
↑ 1 2 3 4 Kawauchi, 1996 .
↑ 1 2 3 Lickorish, 1997 .
↑ Dehornoy, P. et ai. (2000). Miksi punokset ovat tilattavissa? http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/Books/Why/Dgr.pdf Arkistoitu 15. huhtikuuta 2012 Wayback Machinessa
↑ Birman, Brendle, 2005 .

Kirjallisuus

Charles Livingston. Solmuteoria. - Mathematical Association of America, 1993. - ISBN 0-88385-027-3 .
Kunio Murasugi. Solmuteoria ja sen sovellukset . - Birkhäuser, 1996. - ISBN 3-7643-3817-2 .
Akio Kawauchi. Selvitys solmuteoriasta. - Birkhäuser, 1996. - ISBN 3-7643-5124-1 .
WBR Lickorish. Johdatus solmuteoriaan. - Springer, 1997. - ISBN 0-387-98254-X .
J.S. Birman, T.E. Brandle. Handbook of knot theory / W. Menasco, M. Thistlethwaite. - Elsevier, 2005. - ISBN 0-444-51452-X ..
J. Milnor. Monimutkaisten hyperpintojen yksittäiset pisteet. - Princeton University Press, 1968. - ISBN 0-691-08065-8 .

Linkit

36 Torus Knots , Knot Atlas.
Weisstein, Eric W. Torus Knot (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Torus-solmun renderöijä Actionscriptissä
Hauskaa PQ-Torus Knotin kanssa