Solmuteoriassa solmun tai linkin kaavio on vuorotteleva , jos risteykset vuorottelevat - alla, yli, alla, yli jne., jos kuljet linkin jokaista komponenttia pitkin. Linkki on vuorotteleva , jos siinä on vuorotteleva kaavio.
Monet solmut, joiden leikkauspisteet ovat alle 10, ovat vuorottelevia. Tämä tosiasia ja vuorottelevien solmujen hyödylliset ominaisuudet, kuten Taten arvelut , ovat antaneet joidenkin tutkijoiden, mukaan lukien Taten, mahdollisuuden laatia taulukoita, joissa on suhteellisen vähän virheitä tai puutteita. Yksinkertaisimmilla ei-vaihtuvilla yksinkertaisilla solmuilla on 8 leikkauskohtaa (ja tällaisia solmuja on kolme - 8 19 , 8 20 , 8 21 ).
On olemassa hypoteesi, että kun leikkauspisteiden lukumäärä kasvaa, ei-vuorottelevien solmujen prosenttiosuus pyrkii eksponentiaalisesti nopeasti nollaan.
Vuorottelevilla linkeillä on tärkeä rooli solmuteoriassa ja 3 -monikertateoriassa koska niiden komplementeilla on hyödyllisiä ja mielenkiintoisia geometrisia ja topologisia ominaisuuksia. Ja tämä antoi Ralph Foxille esittää kysymyksen: "Mikä on vuorotteleva solmu?" . Siten hän kysyy, mitkä solmun komplementin ominaisuudet, jotka eivät liity kaavioihin, voivat luonnehtia vuorottelevia solmuja.
Marraskuussa 2015 Joshua Evan Green julkaisi esipainoksen, jossa luonnehditaan vuorottelevia yhteyksiä kutistuvien pintojen määritelmän kannalta, ts. vuorottelevien linkkien määritelmät (joista vuorottelevat solmut ovat erikoistapaus) käyttämättä linkkikaavioiden käsitettä [1] .
Erilaisia geometrisia ja topologisia tietoja paljastetaan vuorotellen kaavioissa. Linkin yksinkertaisuus ja jaettavuus on helppo nähdä kaaviosta. Annetun vuorottelevan kaavion leikkauspisteiden lukumäärä on solmun leikkauspisteiden lukumäärä, ja tämä on yksi Taten kuuluisista olettamuksista.
Vuorotteleva solmukaavio on yksi-yhteen vastaavuus tasokaavion kanssa . Jokainen leikkauspiste liittyy reunaan ja puolet kaavion komplementin yhdistetyistä komponenteista on liitetty pisteisiin.
Taten hypoteesit:
Morven B. Thistlethwaite , Louis Kaufman ja K. Murasugi todistivat Taten kaksi ensimmäistä olettamusta vuonna 1987, ja vuonna 1991 samat Thistlethwaite ja William Menasco osoittivat Taten inversio-oletuksen.
William Menasco soveltaen Thurstonin hyperbolisaatiolausetta Hakenin monistoon osoitti, että mikä tahansa yksinkertainen erottamaton vuorotteleva linkki on hyperbolinen , ts. linkin komplementilla on Lobatševski-geometria , ellei linkki ole toorinen .
Siten hyperbolinen tilavuus on monien vuorottelevien linkkien invariantti. Mark Lakenby osoitti, että tilavuudella on lineaariset ylä- ja alarajat annetussa vuorottelevassa kaaviossa olevien kierrealueiden lukumäärän funktiona .